thi th i h c l n III n m 2013 – Tr ng THPT chuyên HSP Hà N i
2x 1
x 1
Câu 1 (2 đi m)
Cho hàm s y = 2x 1
x 1
2
sin(x ) cos( x)
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s
2) Cho đi m A (0; 5) và đ ng th ng ∆ đi qua đi m I (1; 2) có h s góc k Tìm các giá tr
c a k đ đ ng th ng ∆ c t (C) t i hai đi m M, N sao cho tam giác AMN vuông t i A
Câu 2 (1 đi m)
Gi i ph ng trình: 1 2 cos x sin(x 6 ) cos( 3 x) sin x.tanx
2
2
x 24 x 27(12 x x 24x )
x 24 x 8(12 x x 24x )
Câu 3 (1 đi m)
Gi i b t ph ng trình:
2 2 x 24 x
27(12 x x
24x ) x 24 x
8(12 x x 24x )
3
3 0
x tan sin x.(1 sinx)
4 2
dx
cos x
Câu 4 (1 đi m)
Tính tích phân: I = 3
3 0
x tan sin x.(1 sinx)
4 2
dx
cos x
a 10
Câu 5 (1 đi m)
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có đ dài c nh b ng 3a, đ ng cao SH
b ng a 10
x y 3x2 y
, H là tr ng tâm tam giác ABD G i M là trung đi m c a SD M t ph ng (BCM) c t
SH và SA l n l t t i K và N Tính th tích kh i chóp S.BCMN và ch ng minh đi m K là tr c tâm c a tam giác SAC
Câu 6 (1 đi m)
Tìm các giá tr c a a đ t n t i duy nh t c p s (x, y) th a mãn
a x y 3x 2 y
x 1 y 1 z 2
Câu 7 (1 đi m)
Trong m t ph ng Oxy, cho đ ng tròn (C): x2
+ y2– 4x – 2y – 5 = 0 và đi m A (5; 2) Vi t
ph ng trình đ ng th ng d c t (C) t i hai đi m B, C sao cho tam giác ABC đ u
Câu 8 (1 đi m)
Trong không gian Oxyz, cho hai đ ng th ng
d1: x 1 y 1 z 2
x 4 y 5 z 7
và d2 : x 4 y 5 z 7
0 30
L p ph ng trình m t ph ng (P) ch a d1và t o v i d2m t góc b ng 0
30
100
(1 i) (1 i) i(1 i)
Câu 9 .(1 đi m)
Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z = (1 i)96 100 98
(1 i) i(1 i)
ｂ ｖｔｅSｔ S 7
Trang 22x 1
k(x 1) 2
x 1
2
pt kx 2kx k 3 0
thi th i h c l n III n m 2013 – Tr ng THPT chuyên HSP Hà N i
Câu 1 (2 đi m)
1 (1 đi m) H c sinh t gi i
2 (1 đi m)
Pt c a ∆: y = k(x – 1) + 2 ∆ c t (C) t i hai đi m phân bi t khi và ch khi pt sau có hai nghi m phân bi t : 2x 1 k(x 1) 2
x 1
2
pt kx 2kx k 3 0
(*) có hai nghi m phân bi t khác 1
− N u k = 0 thì (*) tr thành −3 = 0
k0
vô lý
Tr ng h p này không th a mãn (lo i)
k k(k 3) 0
thì Pt (*) có hai nghi m phân bi t khác 1 ' k 2k k 3 0 2 k 0
k k(k 3) 0
(0,5 đi m)
Gi s M (x1 ; y1), N (x2 ; y2) trong đó x1, x2là nghi m c a pt (*)
Theo h th c Viet ta có x1 + x2 = 2 x1 + x2 = 2x1 I là trung đi m c a MN Do
2AIMNMN 40(x x ) (y y ) 40
(x x ) k (x x ) 40
(x x ) (k 1) 40 (x x ) 4x x (k 1) 40
2
k 3
4 4 (k 1) 40
k
∆AMN vuông t i A nên
2 1 2 1
2AI MN MN 40 (x x ) (y y ) 40
(x x ) k (x x ) 40
(x x ) (k 1) 40 (x x ) 4x x (k 1) 40
2
k 3
4 4 (k 1) 40
k
k 3 k
(vì x1x2 =k 3
k
) 1 3
Gi i ph ng trình trên ta đ c hai giá tr k = 3, k = 1
3 đ u th a mãn bài toán
(0,5 đi m)
Câu 2 (1 đi m)
x cos x 0, cos 0
2
i u ki n: cos x 0, cos x 0
2
2
x sin x sin x sin x.sin
cos x x
cos x cos x
cos 2
Pt 2
x sin x sin x sin x.sin
x cos x cos x
cos 2
2sin x.cos sin x.sin cosx.cos
x cosx
cos 2
=
2sin x.cos sin x.sin cosx.cos
x cosx
cos 2
2
x k tan x 0
1 tan x 3 tan x 1
tan x 3
3
(0,5 đi m)
2
x k tan x 0
1 tan x 3 tan x 1
x k tan x 3
3
ｂ ｖｔｅSｔ S 7
Trang 3x 2k
K t h p v i đi u ki n, ta có nghi m c a ph ng trình là:
3
và x k
3
(k ) (0,5 đi m) ZZ
x0
Câu 3 (1 đi m)
i u ki n x 0
24 x 2 x(24 x) x
x 24 x 27
8
x 24 x 24 x 2 x(24 x) x
2 2
x 24 x 27( x 24 x )
x 24 x 8( x 24 x )
B t ph ng trình đã cho t ng đ ng v i
24 x 2 x(24 x) x
x 24 x 27
8
x 24 x 24 x 2 x(24 x) x
2 2
x 24 x 27( x 24 x )
x 24 x 8( x 24 x )
8 x 24 x 27 x 24 x
2( x 24 x ) 3( x 24 x )
5 5 x 24 0 25x x 0 x 1
(0,5 đi m)
8 x 24 x 27 x 24 x
2( x 24 x ) 3( x 24 x )
5 5 x 24 0 25x x 0 x 1
0 x 1
Câu 4 (1 đi m)
2
2
tan sin x(1 sin x) sin cos sin cos sin
cos x.cos x
cos sin cos x cos sin
2
s inx
cos x
Ta có
2
2
tan sin x(1 sin x) sin cos sin cos sin
cos x.cos x
cos sin cos x cos sin
2
s inx
cos x
cos x cos x cos x
0
Suy ra 3 3
cos x cos x cos x
0
BC AD
Câu 5 (1 đi m)
Vì BC ADvà ADADmp(SAD) nên giao tuy n c a (BCM) v i (SAD) là đ ng th ng qua M song song v i AD, suy ra MN AD do đó N là trung đi m c a SA
1
3
.a 10 a a 10
S.BMN
S.ABD
S.BCM
S.BCD
,
Ta có V S.BCD V S.BAD 1SH.SABD
3
.a 10 a a 10
3 2 2
S.BMN
S.ABD
S.BCM
S.BCD
V SN SM 1
,
V SA SD 4
V SM 1
V SD 2
S.BCMN S.BCM S.BMN S.BCD S.ABD
Suy ra V S.BCMN V S.BCM V S.BMN 1 V S.BCD 1VS.ABD
3
S.HCMN
9 10a V
8
V y V S.HCMN 9 10a3
8
S
A
D
N K M
Trang 42 2
2
CH AC 2a 2 SC SH CH 3a 2 AC
3
Trong mp(SAC), n i CN c t SH t i K là giao đi m c a (BCM) v i SH
Ta có CH 2AC 2a 2 SC SH 2 CH 2 3a 2 AC
3
CNSA
V y tam giác SAC cân t i C và N là trung đi m c a SA, nên CN SA , do đó K là tr c tâm
c a tam giác SAC
(0,5 đi m)
0, y 0
Câu 6 (1 đi m)
i u ki n: x 0, y 0
x y 3x2 y
Nh n xét: V i m i a ph ng trình a x y 3x 2 y (*) luôn có ít nh t m t nghi m là (0; 0)
Ta s tìm a đ pt (*) không có nghi m (x; y) v i x + y > 0
x y x y
pt (*) 3x 2 y a
x y x y
vô nghi m v i x + y > 0 (0,5 đi m) x
t , 0 t 1
x y
t t x , 0 t 1
x y
Xét f(t) = 3t3t 2 1 t , t 2 1 t , t 0;10;1
f (t)
2 t 1 t
Ta có f (t) ' 3 1
2 t 1 t
t(0;1) '
f (t) 0
7
v i t (0;1) '
f (t) 0
7
3
3, f 7 7
và f(0) = 2, f(1) = 3, f 3 7
7
t 0;1
min f (t) 3
Suy ra min t 0;1 f (t) 3 và maxmax tt 0;10;1f (t)f (t) 77
a 3
Do đó ph ng trình f(t) = a không có nghi m trong đo n 0; 1 a 7
a 3
a 7
a 3
áp s : a 7
a 3
ABC
Câu 7 (1 đi m)
Nh n th y A (5 ; 2) thu c đ ng tròn (C), mà ABC đ u nên tâm I (2; 1) c a (C) là tr ng tâm c a tam giác ABC
AHBC
G i H(x ; y) là trung đi m c a BC thì AH BC AH 3AI H 1 1;
và AH 3 AI H 1 1;
(0,5 đi m)
IA(3;1) Suy ra đ ng th ng d đi qua H và nh n IA (3;1)
n(A; B; C)
làm vect pháp tuy n
V y ph ng trình đ ng th ng d là : 3x + y – 2 = 0 (0,5 đi m)
Câu 8 (1 đi m)
G i ph ng trình m t ph ng (P) ch a d1có d ng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A2
+ B2 +
C2 ≠ 0
Vect pháp tuy n c a (P) là n(A; B; C)vect ch ph ng c a d1, d2l n l t là u (1; 1;1)u (1; 1;1)11
2
u (2;1; 1)
và
2
u (2;1; 1)
Trang 530
M t ph ng (P) ch a d1t o v i d2 góc 300 1 0
2
n.u 0 cos(n,u ) sin 30
0 2
n.u 0 cos(n,u ) sin 30
(0,5 đi m)
A B C 0
2
6 A B C
T đó ta có h ph ng trình:
2 2 2
A B C 0 2A B C 1
2
6 A B C
1
d (P)
Gi i h trên ta đ c (P) : x + 2y + z + D1 = 0; x – y – 2z + D2= 0 M t khác đi m M (1 ; 1 ; 2) d 1 (P)
(1 i) 2i (1 i) (2i) 4
T đó suy ra có hai m t ph ng th a mãn bài toán là:
(P1) : x – y – 2z + 4 = 0 và (P2) : x + 2y + z – 5 = 0 (0,5 đi m)
Câu 9 (1 đi m)
(1 i) 2i (1 i) (2i) 4
(1 i) 2i (1 i) ( 2i) 4
(1 i) 2i (1 i) ( 2i) 4
25 4
(1 i) z
(1 i) i(1 i) (1 i)
Suy ra
25 4
(1 i) z
(1 i) i(1 i) (1 i)
( 4) 2i ( 4) 3.4 3
(0,5 đi m)
24 2 24 24
( 4) ( 4) 4
( 4) 2i ( 4) 3.4 3
4 3
V y s ph c z có ph n th c b ng 4
3
và ph n o b ng 0