Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Việt Yên năm học 2010 2011 môn: Toán 733145

Gọi S là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số cú được từ 4 số này.. S cú thể đạt được giỏ trị lớn nhất bằng bao nhiờu?... Gọi S là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp

Phòng Giáo dục & Đào tạo

Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 7

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: ( 4 điểm)

a)Tính A = ( - 1 ) ( - 1 ) ( 1 - 1 ) ……( -1 ) ( - 1 )

4

1 9

1 16

1 100

1 121

b) S = 22010 22009 22008    2 1

Bài 2 : ( 4 điểm)

a) Tìm x , y nguyên biết xy + 3x – y = 6

b) Cho A = 1 + + ……+

1.2

1 3.4

1 37.38

B = 1 + +……….+

20.38

1 21.37

1 38.20

CMR là một số nguyên.A

B

Bài 3 ( 4 điểm ):

a) Cho S= 17 + 172+173+…… +1718 chứng tỏ rằng S chia hết cho 307

b) Cho đa thức f (x)= a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0

Biết rằng : f( 1 )  f(  1 ); f( 2 )  f(  2 )

Chứng minh : f(x)  f( x) với mọi x

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC Đường thẳng đi

qua M vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E và F Chứng minh :

a) 2BME = ACB - B

2

4

FE

c) BE = CF

Bài 5 ( 2 điểm)

Cho 4 số khụng õm a, b, c, d thỏa món a + b + c + d = 1 Gọi S là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số cú được từ 4 số này S cú thể đạt được giỏ trị lớn nhất bằng bao nhiờu?

Phòng Giáo dục & Đào tạo

Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 7

Bài 1

a)

3 8 15 99 120 1.3 2.4 3.5 9.11 10.12

1.2.3.4 10.3.4.5.6 11.12 1.2.11.12 12

2 3 11 2 11 22



1 1

b) S = 22010 22009 22008    2 1

2S = 22011  22010  22009  22  2 0.5đ 2S - S =

1 2 2 2 2

2 2

2 2

22011  2010  2010  2009  2009  2  2   

0.5đ

S = 22011 2 22010  1 22011 22011 11 1 đ

Bài 2 a)xy + 3x – y = 6 => (x – 1) (y+3) = 3 => x – 1 và y+3 là Ư( 3)

Tìm ra các cặp (x, y ) thoả mãn (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6)

b)A = 1 1 1 = 1.2  3.4   37.38 1 1 1 1 1 1

1     2 3 4  37  38 = ( 1 + +1 ) –

3

5   37 1 1 1

= 1 1 1 1 1 2 1 1 1

           

= 1 1 1

20  21   38

B = 1 1 1 =>

20.38  21.37   38.20 58B=

2

2 A



B = 2 58 29

A

B

   

1 1

1

1

Bài 3 : Mỗi ý đúng cho 1 điểm

a) S = 17( 1+17+17 2 ) + 17 4 ( 1+17+17 2 ) + +17 16 ( 1+17+17 2 )

= 17 307 + 17 4 307 + + 17 16 307

0,5

= 307( 17+ 17 4 +……….+ 17 16 ) 0, 5

Vì 307 307 nên 307( 17+ 17  4 +……….+ 17 16 ) 307 

Vaọy S 307 

b) f( 1 ) a4 a3 a2 a1a0

f(  1 ) a4 a3 a2 a1a0

Do f( 1 ) f(  1 ) nên a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a3 + a2 - a1 + a0

a3 + a1 = - a3 - a1



a3 + a1 = 0 (1)



0.25đ

Tương tự: f( 2 )  16a4  8a3  4a2  2a1a0

0 1 2 3

16

)

2

Vì f( 2 ) f(  2 ) nên 4a3 + a1 = 0 (2)

0.25đ

2 4 4

)

(x a x a x a

với

0 2 2 4 4 0 2 2 4

)

( x a x a x a a x a x a

với

)

(

)

(x f x

0.25đ

Bài 4

a) AEH  AFH (cgc) Suy ra E฀1F฀

Xét CMFcó ฀ACB là góc ngoài suy ra CMF฀  ฀ACB ฀F

BME có ฀ là góc ngoài suy ra

1

1

BMEE B

0.5đ

Vậy CMF฀ ฀BME (฀ACBF฀) (  E฀1 ฀B)

hay 2BME฀ ฀ACBB฀(đpcm)

0.25đ b) áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 0.75đ

1

C H

M E

D B

A

F

ta có HF2 + HA2 = AF2 hay 2 2 (đpcm)

4

FE

c) C/m AHE AHF g(  c g) Suy ra AE = AF và ฀E1฀F

Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) 

C/m được BME CMD g(  c g) BECD (1)

và có ฀E1 CDF฀ (cặp góc đồng vị)

do do đó CDF฀ ฀F  CDF cân  CF = CD ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra BE = CF

0.75đ

Bài 5 Cho 4 số khụng õm a, b, c, d thỏa món a + b + c + d = 1 Gọi S là

tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số cú được từ 4 số này S cú

thể đạt được giỏ trị lớn nhất bằng bao nhiờu?

Giả sử a  b c d khi đú

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 ) ( 3 )

            

              

Do c 3d    0 S 3a b ; S 3a b khi c = d = 0, lỳc đú a + b = 1

Do a 1 ta cú S = 2a + (a + b) = 2a + 1 2.1 + 1 hay S  3

Kết luận

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ