Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 2017 môn: Toán32729

Chứng mινη rằng α=β=χ.. Kẻ đường χαο ΑΗ Η ΒΧ.. ĐỀ ΧΗ⊆ΝΗ THỨC.

ΠΗΝΓ GD&ĐT Ν∨Ι ΤΗℵΝΗ

TRƯỜNG ΤΗΧΣ TRẦN ΘΥ⇑ ΧℑΠ

(Đề τηι gồm χ⌠ 01 τρανγ)

ĐỀ ΤΗΙ ΗỌΧ ΣΙΝΗ ΓΙỎΙ ΛỚΠ 9 NĂM HỌC 2015 − 2017 Μν: Το〈ν

Thời γιαν: 150 πητ (κηνγ kể thời γιαν γιαο đề)

Νγ◊ψ τηι: 24 τη〈νγ 10 năm 2017

Β◊ι 1 (4.0 điểm).

α/ Χηứng mινη rằng: 32ν+1 + 2ν+2 7,   ν Ν

β/ Χηο α+β+χ0; α3+β3+χ3=3αβχ Chứng mινη rằng α=β=χ

Β◊ι 2 (5.0 điểm).

1) Τm χ〈χ cặp số νγυψν (ξ; ψ) thỏa mν: 8ξψ+6ξ −12ψ+134=0

2) Χηο α, β, χ > 0 Chứng mινη rằng : α2 β2 χ2 α β χ 0

 

Β◊ι 3 (2 điểm)

Χηο biểu thức :

Μ ξ  ξψ ξψ ψ Với γι〈 trị ν◊ο của ξ, ψ τη Μ đạt γι〈 trị nhỏ nhất ? Τm γι〈 trị nhỏ nhất đó

Β◊ι 4 (3 điểm).

Χηο tứ γι〈χ ΑΒΧD χ⌠ Ο λ◊ γιαο điểm ηαι đường χηο ϖ◊ diện τχη ταm γι〈χ ΑΟΒ bằng 4 ,diện τχη ταm γι〈χ ΧΟD bằng 9 Τm γι〈 trị nhỏ nhất của diện τχη tứ γι〈χ ΑΒΧD

Β◊ι 5 (3 điểm).

Χηο ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ ⊥ 0 Đường τρυνγ tuyến ΒΜ ϖ◊ đường πην γι〈χ ΧD cắt νηαυ tại

105



ΒΑΧ

Κ σαο χηο ΚΒ = ΚΧ Kẻ đường χαο ΑΗ (Η ΒΧ) Chứng mινη ΗΑ = ΗΒ.

Β◊ι 6 (3 điểm).

Χηο Ταm γι〈χ ΑΒΧ χν ở Α χ⌠ γ⌠χ ΑΒΧ bằng 1080 Chứng mινη λ◊ số ϖ tỉ

ΑΧ ΒΧ

Họ τν học σινη: ; Số β〈ο δανη: Γι〈m thị 2: Κ τν

ĐỀ ΧΗ⊆ΝΗ THỨC

ΠΗΝΓ GD&ĐT Ν∨Ι ΤΗℵΝΗ

TRƯỜNG ΤΗΧΣ TRẦN ΘΥ⇑ ΧℑΠ

(Đề τηι gồm χ⌠ 04 τρανγ)

ĐỀ ΤΗΙ ΗỌΧ ΣΙΝΗ ΓΙỎΙ ΛỚΠ 9 NĂM HỌC 2016 − 2017 Μν: Το〈ν

Β◊ι 1(4đ)

α/ (2đ) 32ν+1 + 2ν+2 = 3.32ν + 22.2ν

= 3.9ν + 4.2ν = 3( 7 + 2 )ν + 4.2ν = 7Κ + 3.2ν + 4.2ν = 7Κ + 7.2ν 7,   ν Ν

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ b/(2đ) ℑπ dụng hằng đẳng thức:(A+B)3=Α3+Β3+3ΑΒ(Α+Β)

Α3+Β3=(Α+Β)(Α2−ΑΒ+Β2)

α3+β3+χ3=3αβχ(α+β)3+χ3−3αβχ−3αβ(α+β)=0

(α+β+χ)[(α+β)2−(α+β)χ+χ2]−3αβ(α+β+χ)=0

(α+β+χ)(α2+β2+χ2−αβ−βχ−χα)=0 ς α+β+χ0 νν

α2+β2+χ2−αβ−βχ−χα=0 (α−β)2+(β−χ)2+(χ−α)2=0 α=β=χ

0.5 0.5 0.5 0.5

Β◊ι 2(5 đ)

α)

2,5 đ Τα χ⌠: 8ξψ+6ξ −12ψ−134=0<=>4ψ(2ξ−3)+3(2ξ−3)−134=0

<=> (2ξ−3)(4ψ+3)=−143

=13.−11=−11.13=−13.11=11.−13=−1.143=143.−1=1.−143=−143.1



ξ

ξ ψ ξ ψ ξ

ξ ψ ξ ψ















ξ

ξ









Vậy χ〈χ cặp (ξ;ψ) νγυψν thỏa mν λ◊ (−5 ;2), (7; −4), ( 1; 35), (73; −1),

0.5 0.5

1

0.5

β/ 2.5đ ς α, β, χ >0 , 〈π dụng bất đẳng thức Χσι τα χ⌠ :

2 2

α

β

χ

Συψ ρα :

2

α β χ

β χ χ α α β

 

(đpcm)

2

β χ χ α α β

 

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ

Β◊ι 3

(2đ)

Μ ξ  ξψ ξψ ψ

 2 4 4  2 2 1  2 2 2007

Μ  ξ  ξ  ψ  ψ  ξψ ξ ψ 

  2  2  

Μ  ξ  ψ  ξ ψ 

  1  2 3 2

Dο  2 ϖ◊

2

2007

Μ

(0,5đ) (0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

Β◊ι 4

Τα χ⌠ :

ΑΟΒ ΑΟD

ΒΟΧ ΧΟD

Μ◊ Σ ΑΟΒ 4 ,Σ ΧΟD 9 , ν ν Σ ΑΟD.Σ ΒΟΧ Σ ΑΟΒ.Σ ΧΟD 4.936

ℑπ dụng bất đẳng thức χαυχηψ χηο ηαι số dương ,τα χ⌠

ΑΟD ΒΟΧ ΑΟD ΒΟΧ

Vậy: Σ ΑΒΧD Σ ΑΟDΣ ΒΟΧΣ ΑΟΒΣ ΧΟD 25

Đẳng thức xảy ρα κηι ϖ◊ chỉ κηι ΣΑΟD=ΣΒΟΧ ηαψ tứ γι〈χ ΑΒΧD λ◊

ηνη τηανγ

Vậy γι〈 trị nhỏ nhất của diện τχη tứ γι〈χ ΑΒΧD λ◊ 25

0.5

0.5 0.5 0.5

0.5 0.25

Β◊ι 5

(3 đ)

Τα χ⌠ ΜΑ = ΜΗ = ΜΧ => < ΜΗΧ =<ΜΧΗ=2γ⌠χΒΧΚ

Μ◊ ΒΚ = ΧΚ =γ⌠χ ΒΧΚ=γ⌠χ ΚΒΧ=>γοχΜΗΧ=2γ⌠χ ΚΒΧ

Lại χ⌠ γ⌠χ ΜΗΧ=γ⌠χΚΒΧ+γ⌠χ ΚΜΗ

=> ΒΗΜ χν  tại Η => ΗΜ = ΗΒ

Giả sử ΗΑ > ΗΒ(1) Τα χ⌠:

γ⌠χ ΑΒΗ>γ⌠χ ΒΑΗ=>γ⌠χ ΒΑΗ<450=>ΗΑΧ>600

=>γ⌠χ ΑΜΗ<600 =>ΑΗ<ΗΜ=>ΑΗ<ΗΒ (Μυ thuẩn với (1))

Tương tự chứng mινη được ΑΗ <ΗΒ κηνγ xảy ρα

Vậy ΑΗ = ΗΒ

0.25đ

0.5đ 0.5đ 0.5đ

0.5đ

0.5đ 0.25đ

Β◊ι 6

Kẻ τια Χξ σαο χηο τια Χα λ◊ τια πην γι〈χ γ⌠χ ΒΧξ, τια Χξ cắt τια ΒΑ

ται D Κηι đó τα χ⌠ γ⌠χ DΧΑ = γ⌠χ ΑΧΒ = 360 Γ⌠χ ΒΑΧ = 720 , γ⌠χ

D = 720, γ⌠χ ΧΑD = 720 Συψ ρα ταm γι〈χ ΧΑD χν tại Χ, Ταm γι〈χ

ΒΧD χν tại Β

Συψ ρα ΒΧ=ΒD

ΑΧ=ΑΒ=DΧ

Τηεο τνη chất đường πην γι〈χ τρονγ của ταm γι〈χ ΒΧD τα χ⌠:

ϖ◊ τα χ⌠ ΒΧ=ΒD Συψ ρα

ΧΑ ΒD

ΧΑ ΧΑ

ΧΒ ΑD

ΑΒ ΧD

ΧΒ









ΧΑ Βχ

ΧΑ ΧΑ

ΧΒ





<=> ΒΧ(ΒΧ−ΧΑ)= ΧΑ2 <=> ΒΧ2 −ΒΧ.ΧΑ= ΧΑ2

ΒΧ2 − ΒΧ.ΧΑ −ΧΑ2 =0 <=>

































2

1 4

1 1 4

1 2

1 2

ΧΑ

ΧΒ ΧΑ

ΒΧ ΧΑ

ΧΒ

4 5

Συψ ρα

λ◊ số ϖ tỉ 2

5

1



ΧΑ

ΧΒ

0.5đ

0.5đ

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ

Hết