Chuyên đề Phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9

Tính giá trị các biểu thức nghiệm Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp d[r]

Trang 1

Chuyên đê

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1.Tóm tắt lý thuyết

1.1 Cách giải phương trình bậc hai: ax” + bx + ce=0(az 0) A= bŸ - 4ac

—b+VA oy aoe VA

* Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x; = 2

* Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ch

a

* Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm oo ;

1.2 Chú ý : Trong trường hợp hệ sô b là sô chăn thì giải phương trình trên băng công thức nghiêm

thu gọn

A =b’-ac

_ abv

a

2

* Nêu ' > 0 phương trình có hai nghiém phan biét x; = aba’ ;X

a

* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: xị = xa = ”

* Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

1.3 Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :

1 Nêu x:; xa là hai nghiệm của phương trình thì :

2 Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uy = P, ta giải phương trình : X?-X.S+P=0

(Điều kiện để có u và v là S’ > 4P)

3 Nêu a + b + c =0 thì phương trình có hai nghiệm : x, = l;x; =

Nếu a - b + c =0 thì phương trình có hai nghiệm : x, =—1;x¿ = x

1.4 Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax”+bx+c = 0 (a # 0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm)

Vô nghiệm

Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)

Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)

Hai nghiệm cùng dâu

Hai nghiệm trái dâu

Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)

Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)

9 Hai nghiệm đối nhau

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn © a.c < 0 và S<0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn © a.c < 0 và S >0

4 Tính giá trị các biểu thức nghiệm

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức

có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rồi tính giá trị của biểu thức

Om

2 Bài tập vận dụng

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phương trình x” +zzm0w+1)x+ 5+ 220 =0 Có một nghiệm x = -

5 Tim nghiệm kia

W: www.hoc247.net =F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang 2

Bài tập 2: Cho phương trình xỞ+zmx+3=0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm băng 1? Tìm nghiệm kia

Bài (tập 3: Cho phương trình x-8x+m+5=0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của

phương trình trong trường hợp này

Bài tập 4: Cho phương trình (m—4)x”—2mx+m—2=0 — (1)

a) m =? thi (1) có nghiệm là x = A/2

b) m=? thi (1) c6 nghiém kép

Bai tap 5: Cho phuong trinh x*-2(m+1)x+m—-4=0 (1)

a) Chung minh (1) cé hai nghiém voi moi m

b) m =? thi (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Giả sử x,,x; là nghiệm của phương trình (1) CMR: M =(1—x,)x,+(1—x,)x, khong phu thudc m

Bài tập 6: Cho phương trình x“—2ø#—1)x+m—3=0 (1)

a) Chứng minh (I) có nghiệm với mọi m

b) Đặt M = xỶ +x;j (x,,x; là nghiệm của phương trình (1)) Tìm min M

Bài tập 7: Cho 3 phương trình

x +axt+b-1=0();

x +bx+c-1=0(2);

x’ +ext+a—1=0(3)

Chứng minh rằng trong 3 phương trình ít nhất một phương trình có nghiệm

Bài tập 8: Cho phương trình

x-(a-l)x-a +a-2=0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấâuvới mọi a

b) x,,x; là nghiệm của phương trình (1) Tìm min B = xỶ + x;

Bài tập 9: Cho phương trình xˆ—2(z-1)x+2ø-5=0 (1)

a) Chứng minh (lI) có hai nghiệm với mọi a

b)a= ? thì (1) có hai nghiệm x,,x, thoa man x, <I<x,

c) a= ? thì (1) có hai nghiệm x,,x„ thoả mãn x/ +x¿ = 6

2x° +(2m—1)x+m-1=0 (1)

a)mm = 2 thì (1) có hai nghiệm x,,x, thoa man 3x, —4x, =11

Trang 3

b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa +x,, x, không phụ thuộc m

Goi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý

Bài tập 11: Cho hai phương trình

x*—(2m+n)x— 3m = 0()

x’ —(m+3n)x—6=0(2)

Tìm m và n để (1) và (2) tương đương

ax’ +bx+c =0(a #0) (1)

điều kiện cần và đủ để phương trình (1) cé nghiém nay gap k lan nghiém kia 1a kb” —(k +1)’ ac = O(k #0)

Bai tap 13: Cho phuong trinh mx? +2(m—4)x+m+7=0 (1)

a) Tim m để phương trình có hai nghiệm phân biệt XisX;

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x,,x; thoả mãn x¡—2x; =0

c) Tìm một hệ thức giữa x,,x„ độc lập với m

Bài tập 14: Cho phương trình x” —(2„+3)x+m”+3m+2=0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m

b) Tim m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

c) Tìm một hệ thức giữa x,,x„ độc lập với m

Bai tap 15: Cho phuong trinh (m—2)x7 +2(m—4)x+(m—4)(m+2)=0 — (1)

a) V0i gid tri nao cua m thi phuong trinh (1) co nghiém kép

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm *x,,x„ Tìm một hệ thức giữa x,,x, độc lập với m

+ 1 X,+1 x, +1

c) Tính theo m biểu thức A= 9

d) Timm dé A =2

Bài tập 16: Cho phuong trinh x*-mx-4=0 (1)

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

` cp tae ÂU sa 2 , 2(x, +x,)+7

b) Tìm giá trị lớn nhât của biêu thức A = mat

X: +4;

c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên

Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phương trình xŸ + kx+7 =0 có hai nghiệm hơn kém nhau một đơn

VỊ

Bài tập 18: Cho phương trình x“—-(w+2)x+m+1=0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dau

Trang 4

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

c) Tim m để phương trình có nghiệm âm

Bài tập 19: Cho phương trình x—-(@n+l)x+m=0 — (1)

a) CMR phuong rinh (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x,,x, là hai nghiệm của phương trình Tính xý +x; theo m

c) Tim m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x, thoaman x, +x; =5

Bài tập 20: Cho phương trình x“ +(2m+1)x+m°+3m=0 — (1)

a) Giải phương trình (1) với m = -3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó băng 4 Tìm hai nghiệm đó

Bai tap 21: Cho phuong trinh x7-12x+m=0 — (1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x,,x, toa man x, =x,

Bài tập 22: Cho phương trình (w—2)xˆ—2zmx+1=0 — (1)

a) Giải phương trình với m = 2

b) Tìm m đề phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x,,x; thoa man (1+ 2x,)(1+2x,)=-1

Bài tập 23: Cho phương trình xÝ—2ø—1)x+m—3=0 — (1)

a) Giải phương trình với m = 5

b) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m

Cc) Tinh A= +44 theo m

XX

d) Tim m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau

Bài tập 24: Cho phương trình (w—2)x“—2zmx+m—4=0 — (1)

a) Tìm m đề phương trình (1) là phương trình bậc hai

b) Giai phuong trinh khi m = 5

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm

Bai tap 25: Cho phuong trinh x°+ px+q=0 (1)

a) Giai phuong trinh khi p = -(3+3) ;q= 34/3

b) Tìm p, q để phương trình (1) có hai nghiệm : x, =—2,x, =1

c) CMR : nêu (1) có hai nghiệm dương x,,x; thì phương trình 4x” + px+1=0 có hai nghiệm dương

N35 X4

Trang 5

d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3x,va3x, ; z và z : xi a :

x° =(2m—1)x—m =0 (1)

a) CMR phương trinh (1) lu6n có hai nghiêm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x¡— +; =l;

xˆ-20n+1)x+2m+10=0 (1)

a) Giải phương trình với m = -6

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x; Tìm GTNN của biểu thức A =x) + x5 +10x,x,

(m+1)x°—(2m—3)x+m+2=0 — (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dâu

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x,,x; Hãy tính nghiệm này theo nghiệm Kia

xÃ—20n—2)x+(” +2m— 3) =0 (1)

) z eo: " A TA — l1 Ll x+x

Tìm m đê (1) có hai nghiệm x,,x„ phân biệt thoả mãn —+—— = a

x 4¿

Bai tap 30: Cho phuong trinh

x*+mx+n=0 có 3mˆ= lồn

CMR hai nghiệm của phương trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia

Bai tap 31: Goi x,,x„ là các nghiệm của phương trình 2xˆ - 3x—- 5 = 0 Không giải phương trình , hãy

1

tính : a) —+—; b) @&—x,) ; c) 3, 3 d) x—x

Bai tap 32: Lap phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

Bai tap 33: CMR tổn tại một phương trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :

Bai tap 33: Lap phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) Bình phương của các nghiệm của phương trình x”—2x—1=0;

b) Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình x” +zz—2=0

Trang 6

Bài tập 34: Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phương trình

x’ +mx+n=0 cing lam van

Bai tap 35: Cho phuong trinh

x —2mx+(m-1ly =0 (1)

a) Giai phuong trinh (1) khim=-1

b) Xác định m dé phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình phuong

nghiệm còn lại

2x* —5x+1=0 (1)

Tinh x,/x, +x,.Jx, ( Với x,„ +, là hai nghiệm của phương trình)

a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoang (-1; 0 )

b)Xác định m để phương trình có hai nghiệm x,,x, thoả mãn lx — x3 | =]

Bai tap 38 : Cho phuong trinh x” - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham sô)

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm

Bài tập 39:

Tìm các giá rị của a để ptrình :

(a* —a-3)x* +(a+2)x—3a? =0

Nhận x=2 là nghiệm Tìm nghiệm còn lại của ptrình ?

Bài tập 40 Xác định giá trị của m trong phương trình bậc hai : x7 —8x+m =0 để 4 + 43 là nghiệm

của phương trình Với m vừa tìm được , phương trình đã cho còn một nghiệm nữa Tìm nghiệm còn lại

ay?

Bài tập 4l: Cho phương trình: X ~20#+l)x+z—4=Ô (1), (m là tham số)

1) Giải phương trình (1) với m = -5

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm ”!?`2 phân biệt mọi m

3) Tìm m dé "1 ~ x,| đạt giá trị nhỏ nhất ( ”!' `2 là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phan 2/

)

Bai tap 42:

Cho phuong trinh +? +bz+c=0

1 Giải phương trình khi b= -3 và c=2

2 Tìm b,c đê phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng băng ]

Bài tập 43:

Cho phương trình x”— 2mx + m — m + 1 =0 với m là tham sô và x là ân sô

Trang 7

a) Giải phương trình voi m = 1

b) Tìm m đê phương trình có hai nghiệm phân biỆt xi ,X¿

c) Với điêu kiện của câu b hay tim m dé biéu thitc A = x; x2 - x1 - X2 dat gid tri nhoé nhật

Bai tap 44:

Cho phuong trinh ( an x) : x* - 2mx? + m?— 3 =0

1) Giai phuong trinh voi m = V3

2) Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài tập 45: Cho phương trình ( ân x) : x7 - 2mx + m”— 3 =0 (1)

1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau

2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ây là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam

giác vuông có cạnh huyện băng 3

Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

x, = va x, =———

4 \" 4 \"

1 Tinh : P = | —— ———

Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x”—2x— |x — | +7 =0 có đúng hai nghiệm phân biệt

Bài tập 48: Cho hai phương trình sau :

x —m—3)X+6= Ô Tân „m là tham số )

2x +x+m-—5=0

Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng một nghiệm chung

Bai tap 49:

Cho phuong trinh ; x? —2(¢m+1)x+m’ -1=0 véix 1a an, m 1a tham sé cho truéc

1) Giải phương trình đã cho kho m = 0

2) _ Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương x,,x„ phân biệt thoả mãn điều kiện

x xy = A42

Bai tap 50: Cho phuong trinh :

(m+2)x° +(1-2m)x+m-—3=0 (x 1a an; m là tham số )

1) Giải phương trình khi m = - 3

2) CMR phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba

lân nghiệm Kia

Bài tập 51:

Trang 8

l) Cho a,b, c, là các số dương thoả mãn đăng thức za?+””—-ab=c?” CMR phương trình

x’ —2x+(a—c)(b—c) =0 cé hai nghiém phân biệt

2) Cho phương trình x-x+jp=0 có hai nghiệm duong x,,x, Xdc định giá trị của p khi

x' +3; —x —x; đạt giá trị lớn nhất

Bài tập 52: Cho phương trình x“+x— =0

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Gọi +x, là nghiệm âm của phương trình Hãy tính giá trị biểu thức: P= Vx +10x, +13 +4%, Bài tập 53: Cho phương trình với ân số thực x:

Tim m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

Bài tập 54:

Cho phương trình : x7 + 2(m-l) x+2m -5=0 (1)

a) CMR phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bai tap 55:

a) Choa= Vl1+6V2,b=V11—6V2 CMR a,,b 1a hai nghiém cua phuong trinh bac hai v6i hé s6 neuyén

b) Cho c=4/6V3 +10,d = /6V3—-10 CMR c?,đ?là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số

nguyên

Bài tập 56: Cho phương trình bậc hai:

x*+2@n+1)x+m”h+m+I=0_ (xlà ân, m là tham số)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề phương trình có 2 nghiệm x,,x„ thoả mãn : x, + |x, | =3

3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số y = x°>+2(m4+)xt+m +m4+1

chứa đoạn [2;3]

Bài tập 57:Cho phương trình : xŸ - 2(m-1) x +2m - 3 =0

a) Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm trái dâu

b) Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia

Bài tập 58: Cho phương trình : x*° +6x+6a—a* =0

1) Với giá trị nào của a thi phương trình có nghiệm

2) Giả sử x,,x; là nghiệm của phương trình nay Hay tim gia tri cla a sao cho x, = x; —8x,

Bài tập 59: — Cho phương trình :

Trang 9

mx7 -5x—(m+5)=0_ (1) trong đó m là tham số, x là ân

a) Giải phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x,,x, , hay tinh theo m giá trị của biểu

thức B = I0x,x; —3(xŸ +x?) Tìm m để B =0

Bài tập 60:

a) Cho phương trình :x*`—2mx+m —I=0 (m]à tham số „x là ấn số) Tìm tất cả các giá trị nguyên của

m đê phương trình có hai nghiệm +x,,x, thoả mãn điêu kiện 2000 < x¡ < x; < 2007

b) Cho a, b,c, d e R CMR ít nhất một trong 4 phương trình sau có nghiệm

ax’ +2bx+c=0;

bx’ +2cx+d =0;

cx’ +2dx+a=0;

dx’ +2ax+b=0;

Trang 10

Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thị Online

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi - Tiết kiệm 90%

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPỀTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vat Ly, Hoa Hoc va Sinh Hoc

-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Déo va Thầy Nguyễn Đức Tan

IILKhoá Học Nâng Cao và HSG

Học Toán Online cùng Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS

Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cần cùng

doi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí

HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng

Anh

W: www.hoc247.net =F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	482,85 KB