Hỏi tỉ lệ giữa bán kính đáy và chiều cao của hình trụ là bao nhiêu để nguyên liệu tức là diện tích toàn phần sử dụng là ít nhất.. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN Khối 12
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số 2 2 (1)
1
x y x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y x 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB3 2
Câu 2 (2 điểm)
1) Giải bất phương trình 1
2
3 2
1
x x
2) Giải phương trình 6x+12= 3.2x+4.3x
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân 2 2
0
(2 1 cos ) cos
p
= ò - +
Câu 4 (1 điểm) Người ta muốn sản xuất những chiếc hộp hình trụ có thể tích là 2 lít Hỏi tỉ
lệ giữa bán kính đáy và chiều cao của hình trụ là bao nhiêu để nguyên liệu (tức là diện tích toàn phần) sử dụng là ít nhất
Câu 5 (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của OC Góc giữa mặt phẳng (SAB) và đáy là 600
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
b) Tính góc giữa SD và mặt phẳng (SBC)
Câu 6 (1 điểm) Giải hệ phương trình 222 2 2 2 2 1 2
Câu 7 (0,5 điểm) Cho x y z; ; là ba số dương thỏa mãn x y z 3 Chứng minh bất đẳng thức
x y z y z x z x y
xyz
Hết
Họ và tên thí sinh : Số báo danh :
Trang 2SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN 12
1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2
1
x y x
TXĐ: \ 1 ' 4 2 0, 1
( 1)
x
hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1), ( 1; ) 0,25
tiệm cận ngang là đt
2 2
1
x
x x
TCĐ:
0,25
Vẽ đúng đồ thị, thể hiện được tính trơn, tiệm cận với hai đường thẳng
và đồng thời đi qua 2 điểm và 2
1 2 Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y x 2m cắt đồ thị hàm
số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB3 2 1,00 phương trình hđgđ 2 2 2 Với đk phương trình
1
x
x
(1)
2
2x 2 (x2 )(m x 1) x (1 2 )m x 2 2m0 0,25 Hai đồ thị cắt nhau tại A và B pt (1) có 2 nghiệm khác -1
1
7
2
m
m
0,25
Gọi x x1, 2 là 2 nghiệm của (1) lúc đó A x x( ;1 12 ), ( ;m B x x2 22 )m
AB x x x x x x x x m m 0,25
(TM)
4
m
m
Vậy m = 1 hoặc m = -4
0,25
2
3 2
1
x x
3 2
0
3 2
1 1
x
x
x
0,25
2 3
0 1
x x
( ; 1) 3 / 2;
x
Vậy tập nghiệm của bpt là ( ; 1) 3;
2
S
Trang 32 2 Giải phương trình 6x+12= 3.2x+ 4.3x 1,00
Pt 3 (2x x 4) 3(4 2 ) x 0 (2x4)(3x 3) 0 0,25
2
2
0
(2 1 cos ) cos
p
2
(2 1) cos cos cos
2
(2x 1) cosxdx (2x 1) (sin )d x (2x 1) sinx 2 sinxdx
p
(2x 1) sinx 2 cosx 3
p
0
cos cos (1 sin ) sin sin sin
ç
I
0,25
4
Người ta muốn sản xuất những chiếc hộp hình trụ có thể tích là 2 lít
Hỏi tỉ lệ giữa bán kính đáy và chiều cao của hình trụ là bao nhiêu để
nguyên liệu (tức diện tích toàn phần) sử dụng là ít nhất 1,00 Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ
Theo GT ta có 2
2
2 2
R
Diện tích toàn phần là
2
tp
0,25
tp
2
R
Kẻ HK AB (K AB) AB (SHK) 0
60
Tam giác SHK vuông tại H 0 3 3
tan 60
4
.
Gọi I là hình chiếu của D trên (SBC) góc giữa SD và (SBC) là góc
Trang 4K
H
C
A
D
B
F
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên BC và SE
(H SBC;( ))
DI d( ;(D SBC)) 2d( ;(O SBC)) 4d(H SBC;( )) 4HF 0,25
Tam giác SHE vuông tại H suy ra
1
a
HE AB
Trong tam giác SDI ta có
3 21
6 21 6 777 14
sin
259
37 7 37 4
a DI
DSI
SD a
0,25
ĐK: 2, 1 Hệ
2
x y
x x x y y y
0,25
(2x) (2 x) 2 x (1 2 )y (1 2 )y 1 2 y 0,25 Xét hàm số 2
f t t t t t
3
2
( )
f t
0; 2x, 1 2 y0;
f x f y x y x y
Thế vào (2) ta được 2
(TM)
Vậy hệ có hai nghiệm là ( 1; 1) và 2; 1
3 6
0,25
Trang 57 Chứng minh
x y z y z x z x y
xyz
Chia hai vế cho xyz ta được
(1)
y z
yz yz
yz
y z
t yz
0,25
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương
3
1 ( ) 4
f t
t t
1 1;
3
trình 4 Ta sẽ cm
9
t
t
t
t t
Điều này 2 2 đúng
0;3
2
t
yz
y z
Tương tự, cộng lại
đpcm
0,25
