BÀI GI NG 4 HAI M T PH NG SONG SONG
ph n 1
Biên so n: ng Th Ph ng Bài toán 1: Ch ng minh hai m t ph ng song song
Ph ng pháp gi i
PP1: Ch ng minh 2 m t ph ng đó cùng song song v i 1 m t ph ng th 3
PP2: Ta ch ng minh m t ph ng này ch a 2 đ ng th ng c t nhau cùng song song v i m t
ph ng kia
( ), ( )
( ) / /( ) / /( ), / /( )
a b I
Ví d 1: Cho t di n ABCD G i G G G1, 2, 3l n l t là tr ng tâm c a các tam giácABC ACD ABD , ,
Ch ng minh m t ph ng ( G G G 1 2 3 )song song v i m t ph ng( BCD )
Gi i:
có:
1 1
2 ,
3
AG
AM
2 2
2 ,
3
AG
N AG
AM
3 3
2 ,
3
AG
P AG
AM
1 2 / /
G G MN
AM AN
Mà MN ( BCD ) nên G G1 2 / /( BCD ) (1)
T ng t : 1 3
1 3 / / AG
AG
G G MP
AM AP
Mà MP ( BCD ) nên G G 1 3 / /( BCD ) (2)
T (1) và (2) ta có ( G G G 1 2 3 ) / /( BCD )
b
a M
C
A
M
P N
G1
G3 G3
Trang 2A B
M
N
M' N'
Ví d 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không n m trên m t m t ph ng và có c nh chung
AB L y hai đi m M và N trên hai đ ng chéo AC, BF sao cho AM = BN Hai đ ng th ng song song v i AB k t M và N l n l t c t AD t i M’ và AF t i N’
a) Ch ng minh m t ph ng (ADF) và (BCE) song song
b) Ch ng minh MN//(CDF)
Gi i:
a) Vì ABCDvà ABEFlà hình vuông có chung c nh AB nên
/ /
( ) / /( )
AF / /
AD BC
BE
b) Ta có '/ /
AB / /
CD
Trong ACDcó MM '/ / CD AM' AM
Trong ABF có '/ / '
AF
BF
Mà AM BN AC , BF(đ ng chéo hai hình vuông b ng nhau)
AF
T (1) và (2) ta có: ( CDF ) / /( MM NN ' ') MN / /( CDF )
Ví d 3:Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O G i M, N l n l t là trung đi m c a SA, CD a) Ch ng minh m t ph ng ( OMN ) / /( SBC )
b) G i I là trng đi m c a SC, J là đi m thu c
(ABCD) và cách đ u AB , CD Ch ng minh
IJ / /( SAB ) c) Gi s hai SAD , ABCđ u cân t i A AE,
AF là các đ ng phân giác trong c a
, ACD SAB
Ch ng minh EF / /( SAD )
Gi i:
I
O A
D
B
C
S
M
N
P Q
J
Trang 3a) Vì O là tâm c a hình bình hành ABCD nên OA=OCM là trung đi m c a SA nên
SM =MA
N là trung đi m c a DC nên ND = NC
Trong SAC và DACcó OA = OC; SM =
/ /
b) G i P và Q l n l t là trung đi m c a AD và
BC J PQ
Ta có / / ( ) / /( ) IJ / /( )
/ /
PQ AB
IQ SB
c) T E k EH//SD, HSC (1)
Ta có: HS ED AD AS FS
SC EC AC AB SB
/ / / /
HF BC HF AD
T (1) và (2) ta có : ( EF) / /( H SA D) EF / /( SAD )
Ví d 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD M t m t ph ng (P) c t b n
c nh bên c a hình chóp t i các đi m A’,B’,C’,D’ Ch ng minh r ng n u t giác A’B’C’D’ là hình bình hành thì P / /( ABCD )
Gi i:
G i là giao tuy n c a ( SAB )và ( SCD )
G i 'là giao tuy n c a ( SAD )và ( SBC )
Gi s A’B’C’D’ là hình bình hành ta có:
' '/ / ' ' ' ' ( )
' ' ( )
A B C D
A B SAB
C D SCD
nên giao tuy n / / ' '/ / ' A B C D '
Mà
/ / ( ) / / / / ( )
AB CD
CD SCD
Nên AB / / ' ' A B A B ' '/ /( ABCD ) (1)
T ng t ta có A D ' '/ / AD A D ' '/ /( ABCD ) (2)
'
D
S
D'
C'
O A
D
B
C
S
Q
E F
H
Trang 4T (1) và (2) ( ABCD ) / /( ' ' ' A B C D ')hay P / /( ABCD )
V y n u t giác A’B’C’D’ là hình bình hành thì P / /( ABCD )
Bài t p:
Bài 1: Cho hai đ ng th ng chéo nhau a và b G i là m t ph ng ch a a và song song v i b,
là m t ph ng ch a b và song song v i a Ch ng minh: / /
H ng d n: L y đi m O trên m t ph ng T O k b’ //b
L y O’ trên m t ph ng T O’ k a’//a
N u suy ra vô lí ; phân bi t Ch ng minh / / theo ph ng pháp 2
Bài 2: Cho 3 tia Ax, By Cz , song song và cùng chi u Ba đi m M, N, P chuy n đ ng l n l t trên
Ax, By Cz , v i AM=BN CP Ch ng minh ( MNP )song song v i m t ph ng c đ nh
H ng d n: ( MNP )//( ABC )
Bài 3: Cho hình l ng tr tam giác ABCA’B’C’ G i I, K, G l n l t là tr ng tâm c a , ' ' ', '
ABC A B C ACC
a)( IKG ) / /( BCC ') b) ( ' A KG ) / /( AIB ')
H ng d n:
/ / '; / / ( ) / /( ')
Bài 4: Cho hai góc AOB A O B ; ' ' ' không cùng n m trên m t m t ph ng; OA O A OB O B / / ' '; / / ' '
Ch ng minh: ( AOB ) / /( ' ' ') A O B
Bài 5: Hai m t ph ng (P) và (Q) c t nhau theo giao tuy n M t m t ph ng (R) song song v i
c t (P) và (Q) theo giao tuy n a và b Ch ng minh a//b
H ng d n: Ch ng minh a và b cùng song song v i giao tuy n
Bài 6: Trong m t ph ng cho hình bình hành ABCD D ng các tia Ax, By,Cz,Dt n m cùng v
m t phía so v i M t ph ng 'c t tia Ax, By,Cz,Dt l n l t t i A’; B’; C’; D’
a) Ch ng minh (AA’BB’) //(CC’DD’)
b) Ch ng minh t giác A’B’C’D’ là hình bình hành
H ng d n:
Ta minh A’B’//D’C’, A’D’//B’C’ vì m t ph ng
Trang 5Bài 7: Cho m t ph ng (P) và m t đi m n m ngoài (P) Ch ng minh r ng t t c nh ng đ ng
th ng đi qua A và song song v i (P) đ u cùng n m trong m t m t ph ng (Q) song song v i (P)
H ng d n: G i (Q) là m t ph ng duy nh t đi qua A và song song v i(P) Gi s a là m t
đ ng th ng b t kì qua A và song song v i (P).Ta ph i ch ng minh đ ng th ng a n m trên (Q)
Bài 8: Cho t di n ABCD G i M, N l n l t là tr ng tâm c a các tam giác ACD, BCD Ch ng minh MN song song v i các m t ph ng (ABC) và (ABD)
H ng d n: G i I là trung đi m c a CD
AI là trung tuy n c a 1
2
IM ACD
IA
T ng t BI là trung tuy n c a BCD suy ra đi u ph i ch ng minh
Bài 9: Cho đi m O n m ngoài m t ph ng ( ) G i M là đi m thay đ i n m trên ( ) Tìm qu tích trung đi m c a đo n OM
Gi i:
Thu n: G i I là đi m c đ nh trên ( ) và J là trung đi m c a OI J c đ nh
Trong OIM có JM’ là đ ng trung bình
'/ / ( ) '/ /( )
V y M’ n m trong m t ph ng ( ) đi qua J và song song v i ( )
o: G i M’ là đi mb t kì c a ( ) n i dài OM’ c t ( ) t i M
Vì ( ) //( ) nên JM’//IM,mà J là trung đi m c a IO nên M’ là trung đi m c a OM
V y qu tích trung đi m M’c a OM là m t ph ng ( ) đi qua trung đi m J c a OI và song song
v i m t ph ng ( ) cho tr c