Chuyên đề 3: Ôn tập giải tích 1132056

Các quy tắc tính giới hạn: lim fx gx lim fx lim gx xlim fx.gxx0 xlim fx... 2 Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ thương của hai đa thức liên tục trên tập xác định của chúng tức là liên

Chuyên đề 3: ÔN TẬP GIẢI TÍCH 11

A Giới hạn

1 Các giới hạn cơ bản:

1) (C là h฀ng s฀)

x x0

lim C C

 

xlim f(x)x0 f(x )

x lim C C

 

x

1

x

x

1

x

x

C

x

 

Một vài giới hạn đặc biệt

a) k với k nguyên dương

xlim x

  

b) k với k là số lẻ

xlim x

  

a) k với k là số chẵn.

xlim x

  

2 Các quy tắc tính giới hạn:

lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

xlim f(x).g(x)x0 xlim f(x) lim g(x)x0 x x0







x x0

x x0

x x0

lim f(x) f(x)

lim g(x) lim g(x)

0

xlim f (x)x

0

xlim g(x)x L 0

0

xlim f (x).g(x)x ?

0

xlim f (x)x

0

xlim f (x).g(x)x











+

 +











(Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau: xx ; x0 x ; x0    ; x )

0

xlim f (x)x L 0

0

xlim g(x)x 0

  g(x)0 g(x)0 xI\ x0 trong đó I là một khoảng nào đó chứa x0 thì được cho trong bảng sau:

0

x x

f (x)

g(x)

Dấu của L Dấu của g(x)

0

x x

f (x) lim g(x)

 +

+





+

 +











(Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau: xx ; x0 x ; x0    ; x )

3 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

xlim x 3x 4x 2

xlim x 3x 4

xlim x 2x 3

x



Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

x

2x 1 lim

x 2





2 x lim 2x 1







x 2

2x 1 lim

x 2







x 2

2 x lim

2x 1



 

  

 





Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau

a) b)

2 2 x

lim





2 x

x 2



2

x 2

lim

x 2







2

x 2

lim

x 2







B Liên tục

Các định nghĩa:

 Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng  a; b và x0 a; b

Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0nếu

0

0

xlim f (x)x f (x )

 Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng  a; b

Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng  a; b nếu nĩ liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng  a; b

 Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn  a; b

Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn  a; b nếu nĩ liên tục trên khoảng  a; b và x a

x b

lim f (x) f (a) lim f (x) f (b)















Định lý:

1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đĩ

2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng

(tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng)

3) Các hàm lượng giác ysin x, ycos x, ytan x, ycot x liên tục trên tập xác định của chúng.

C Đạo hàm

1) Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0(a;b)

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f'(x0) hay y'(x0) là giới hạn hữu hạn (nếu có) của







0

f(x) f(x ) lim

x x

0

f(x) f(x )

f '(x ) lim

x x









2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 là f'(x0) (C) là đồ thị của hàm số

M (x ;f(x )) (C)0 0 0  và là tiếp tuyến của (C) tại M

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

 Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M (x ;f(x ))0 0 0

với ) 0

k f '(x ) (ktan  ox;

b) Phương trình tiếp tuyến:

 Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm

M0(x0;f(x0)) là:

y f '(x )(x x ) f(x )  

hay: y y0  k x x0 trong đĩ : 0 0

0

y f(x )

k f '(x )





 



3 Các quy tắc tính đạo hàm:

Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số

a Đạo hàm của tổng ( hiệu ): uv uv

b Đạo hàm của tích:

 u.v  u.vu.v Đặc biệt  C.u  C.u Với C là hằng số

c Đạo hàm của thương:

2 Đặc biệt và

v

v u v u v

















2

 

  

 

 



 

 

 

  2

C C.v'

d Đạo hàm của hàm số hợp:

Cho hai hàm số yf u và ug x khi đó yf g x được gọi là hàm hợp của hai

hàm số trên, khi đó: y x  y u u x

3 Đạo hàm của các hàm số cơ bản:

 C  0 ( C là hằng số )  x ' 1  C.x 'C

Với u là một hàm số

 n n 1

x  n.x 

 nN, n2  n n 1

u  n.u .u





2



   

 

   

 

 

(C): y=f(x)

0

0 f(x )

y

0

 

x

x 2

1



u

u u

2







sinx cosx sinu ucosu cosx sinx cosu usinu

2

1

cos x

2

u

cos u



2

1

sin x

2

u

sin u



 2 d cx

b c d a d cx

b ax

























 2

1 1

1 1 1

2 1 1

1

b x a

c a b b x b a x a a b

x a

c bx ax





























Ví dụ 1 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau



4

2

1) y x 4x 5x 11 2) y x

3) y= 4) y

Ví dụ 2 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

1) y 2sin x sin2x 2) y 3cos2x 2 cosx

3) y= 2sinx sin x 4) y sin x

Ví dụ 3 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

1) y x 2x 5 2) y x 1 4 x 3) y= 3 x x 1   2  4)

1 2

2





x

x y

Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

1) y x 4x 2)

1 2

3







x

x y

3) y x2 4x 4) y x 2x2

Ví dụ 5: Tính f '(x) và giải phương trình f '(x)0 khi biết

1) f (x)2x33x236x 10 2) 4 2

f (x)x 2x 3 3) 4)

2

f (x)

x 1





2 2

f (x)





Ví dụ 6: Tính f '(x) và lập bảng xét dấu của f '(x)khi biết

1) f (x) 1x3 3x2 5 2)

f (x)  x 8x 6

3) f (x) 3x 1 4)

1 x







2

f (x)

x 1

 





Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

1) 3 tại điểm trên (C) cĩ hồnh độ bằng 2

yx 3x2 2) 4 2 tại điểm trên (C) cĩ tung độ bằng 8

yx 2x 3) y 2x 3 tại giao điểm của (C) với trục tung

2x 1







Ví dụ 8 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

1) 3 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

yx 3x2 2) yx42x2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y24x 3) y 2x 3 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

2x 1







1

2



C VI PHÂN

Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích f '(x) x gọi là vi phân của hàm số yf (x), ký hiệu là

df (x)f '(x) x (1) Đặc biệt với hàm số yx ta có dx x ' x  x nên (1) có thể viết thành:

df (x)f '(x).dx