(SKKN CHẤT 2020) hướng dẫn học sinh giải bài toán bất đẳng thức bằng kĩ thuật chọn điểm rơi

Qua nhiềunăm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận ra rằng rất nhiềuhọc sinh, kể cả học sinh giỏi khi tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức đềurất ngại.. Vì vậy,

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Quảng Bình, tháng 12 năm 2018

download by : skknchat@gmail.com

MỤC LỤC Trang

PHẦN I MỞ ĐẦU : 1

1.1 Lý do chọn đề tài : 1

1.2 Mục đích nghiên cứu : 1

1.3 Phạm vi nghiên cứu : 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu : 1

PHẦN 2 NỘI DUNG : 2

2.1 Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Bunhiacopxki 2

2.2 Hiểu thế nào là điểm rơi 2

2.3 Các bài toán : 3

PHẦN 3 KẾT LUẬN: 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO:……… 19

download by : skknchat@gmail.com

1 MỞ ĐẦU.

1 1.Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một chuyên đề khó trong chương trình phổ thông Qua nhiềunăm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận ra rằng rất nhiềuhọc sinh, kể cả học sinh giỏi khi tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức đềurất ngại Ngoài một số lượng các bất đẳng thức tên tuổi còn rất nhiều kĩ thuậtkhó, chưa kể phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng lại với nhau Phải là người có tưduy tốt và nhiều kinh nghiệm mới xử lí được Trong số các kĩ thuật nói trên, kĩthuật sử dụng điểm rơi là rất quan trọng Người ta đã ví rằng, nếu bạn là một dukhách nước ngoài, muốn biết được đường đến hồ Gươm nhưng trong tay chỉ cótấm bản đồ của Thành phố Hồ Chí Minh và cố gắng tìm kiếm thì điều này hoàntoàn vô vọng Ít nhất bạn cũng phải có tấm bản đồ của địa phương có địa điểm

đó Bất đẳng thức cũng vậy, nếu ta không khoanh vùng được rất khó để tìm rahướng giải quyết Điều ta có thể làm là dựa vào đặc điểm của bài toán chọn mộtđiểm rơi thích hợp Từ đó sử dụng các biến đổi khác để chứng minh hay tìmkiếm kết quả Vì vậy, với sự mong muốn tìm hiểu và áp dụng để truyền đạt chohọc sinh, tôi đã lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải bài toán bất đẳng thứcbằng kĩ thuật chọn điểm rơi”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh khá giỏi sử dụng thành thạo bất đẳng thức AM-GM và bấtđẳng thức Bunhiacopxki kết hợp với kĩ thuật chọn điểm rơi hoặc điểm rơi giảđịnh để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củabiểu thức

1.3 Phạm vi nghiên cứu

Giải một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức hoặc bài toán tìm cực trịbằng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hợp với kĩ thuậtchọn điểm rơi

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Đọc hiểu các tài liệu tham khảo

- Trao đổi, semina với các đồng nghiệp cũng như phỏng vấn, trao đổi vớicác học sinh khá giỏi Tìm hiểu kỹ năng giải các bài toán về chuyên đề này củahọc sinh khá giỏi

• Bất đẳng thức AM-GM tổng quát cho n số không âm: Cho n số không âm

2.2 Hiểu thế nào là điểm rơi

Chọn điểm rơi nghĩa là dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi nào để ta có nhữngđánh giá từ đó đưa ra phương pháp hợp lí Trong quá trình chứng minh bất đẳngthức, kĩ thuật chọn “điểm rơi” là kĩ thuật rất quan trọng Việc này sẽ ít phức tạp hơn nếu bất đẳng thức chứa các biến có “tính đối xứng hoặc có thể hoán vị vòngquanh” Trong một số trường hợp bất đẳng thức không có tính chất trên, ta có thể dùng mở rộng của phương pháp này, còn gọi là “điểm rơi giả định”

Để chọn được điểm rơi, thường ta chú ý đến các điều kiện của bài toán đặt

ra từ ban đầu Nếu bài toán chỉ có một biến thì điểm rơi chính là giá trị của biếnkhi dấu “=” xảy ra Nếu bài toán chứa nhiều biến có tính đối xứng hoặc hoán vị

vòng quanh thì ta có thể chia đều giá trị đó cho số biến và điểm rơi là giá trị được chia đều đó.

Trang 2

download by : skknchat@gmail.com

Nếu bài toán không có điều kiện ban đầu hoặc điều kiện ban đầu không đủ để

dự đoán, ta có thể quan sát tiếp bất đẳng thức cần chứng minh Điểm rơichính là sự bằng nhau của các biến nếu các biến có tính đối xứng

Dựa trên những kinh nghiệm đó, ta xét một vài ví dụ sau:

2.3 Các bài toán.

Bài 1: Cho x 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  3x  41x

Giải:

Nhìn qua có vẻ rất đơn giản Theo thói quen, rất nhiều học sinh sẽ làm như sau:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương 3 x, 41x ta được:

S  3 x  41x  2 3 x  41x   3 hay min S   3

Tuy nhiên phải nhắc nhở các em rằng dấu bằng xảy ra khi nào? Rõ ràng nếu xét

dấu bằng xảy ra thì 3x  41  x  1 (không thỏa mãn điều kiện đặt ra ban

đầu của bài toán)

Từ đó giáo viên đưa ra cách giải đúng: Nhận xét với điều kiện ban đầu x 1 thì

S sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi x 1 Trong biểu thức S, ta đã tìm được minx

nhưng 41x thì không đánh giá trực tiếp được Do đó ta nghĩ đến việc khử x ở

mẫu bằng bất đẳng thức AM-GM Muốn đẳng thức xảy ra thì các số hạng của vế trái phải bằng nhau Khi đó phải tìm một số k sao cho k x  41x Vì x 1 nên

download by : skknchat@gmail.com

Cách giải đúng: Chọn điểm rơi x  2

Khi đó phải tìm một số k sao cho x 

Cách giải đúng: Do S là một biểu thức đối xứng với x, y , z nên dự đoán MinS

đạt tại điểm rơi x  y  z  1

2

Khi đó phải tìm một số k sao cho k x  1

a b c2

Lời giải đúng:

Trang 5

download by : skknchat@gmail.com

Quan sát S là một biểu thức đối xứng với a , b, c nên dự đoán minS đạt tại

số hạng thứ ba thì chưa thể thực hiện ngay được Vì thế ta có thể quy đồng hai

số hạng đầu để xuất hiện tổng a  b

Trong bài toán này, điều kiện ban đầu rất đơn giản nên không đủ để ta dự

đoán điểm rơi Tuy nhiên lại thấy rằng vế trái của bất đẳng thức cần chứng

minh đối xứng đối với a ,b Do đó ta có thể dự đoán dấu “=” xảy ra khi a 

b Từ đó ta phải tìm k, l sao cho

Nhận xét: vế trái của bất đẳng thức có tính chất “xoay vòng” Ta có thể dự đoán

điểm rơi: a  b  c 1 Khi đó b  3c  c  3a  a  3b  4

Ta có khéo léo chèn thêm 4 vào trong căn thức

4 a (b  3c)  4 a  b  3c

2

4b ( c  3a)  4b  c  3a

2

Trang 7

download by : skknchat@gmail.com

a 3   b 6   9

Nhận thấy biểu thức trong bất đẳng thức không đối xứng nên khó có thể

dự đoán điểm rơi Vì thế ta có thể áp dụng phương pháp điểm rơi giả định.Giả sử a  x, b  y. Khi đó

download by : skknchat@gmail.com

Trang 10

download by : skknchat@gmail.com

aczt  c2 z2   a 2 t2

2

actx  a2 t2   c 2 x2

2

Nếu cộng vế theo vế ta không đưa về được gì Do đó cần thêm một bước

biến đổi như sau:

Từ (1) suy ra b  4c thay vào (2). a.5b  1

Điểm rơi không chỉ được sử dụng trong bất đẳng thức AM-GM mà còn có

thể dùng với bất đẳng thức Bunhiacopxki Sau đây là một số ví dụ

Mặt khác, nhận thấy biểu thức A có dạng tổng của hai bình phương nên ta nghĩ

đến việc dùng bất đẳng thức Bunhicopxki với chiều ngược lại Giả sử với các

số α,β ta có

A  x 2

 1 ( 2  2)  1 x   

Ta cần chọn hai số α,β sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại x = 2 Từ

min A  2 2  x  y 1 Trái giả thiết

Lời giải đúng: Dự đoán A đạt GTNN khi x  y  2 Áp dụng bất đẳng

Trang 15

download by : skknchat@gmail.com

KẾT QUẢ

Chuyên đề này hằng năm vẫn được sử dụng để bồi dưỡng đội tuyển học sinhgiỏi và bước đầu cũng cho thấy đã có được một số kết quả Khi chưa được tiếpxúc với chuyên đề, bất cứ học sinh nào cũng thấy khó khăn đối với các bài toán

về bất đẳng thức Nhiều em cứ thấy bài toán về bất đẳng thức là có cảm giácnản Có học sinh nói rẳng “nếu em gặp bài toán bất đẳng thức trong đề thi em sẽ

bỏ qua” Tuy nhiên sau khi được bồi dưỡng về phần này, các em đã cảm thấy tựtin hơn và hứng thú hơn trong các bài toán về bất đẳng thức Các em đều nóirằng bất đẳng thức khó thật nhưng rất hay Nếu đề bài không quá khó thì luôn

có thể cố gắng hết sức để làm Chính điều này cho thấy mỗi dạng bài tập khi đã

hé lộ được con đường để đi thì không những người ta sẽ đi mà còn thấy thú vịtrên mỗi bước đi ở con đường đó Đó là lí do vì sao bất đẳng thức khó mà tôihay các đồng nghiệp và các em học sinh vẫn muốn tìm tòi nghiên cứu nhữngchuyên đề như thế này, cái mà người ta vẫn nói “vẻ đẹp của Toán học”

Để thấy rõ kết quả này, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra trước và sau bồidưỡng Sau đây là kết quả của việc bồi dưỡng học sinh giỏi của chuyên đềnày

kiểm tra kiểm tra

Trang 16

download by : skknchat@gmail.com

10 Đoàn Kim Nhân 4,0 8,5 Giải nhì HSG lớp 12

download by : skknchat@gmail.com

KẾT LUẬN

Cũng như mọi thứ, “điểm rơi” không phải ngẫu nhiên có, mà phải qua quan sát, tính toán Tuy nhiên với một biểu thức không quá phức tạp thì việc tính toán điểm rơi là điều không khó, hoàn toàn vừa sức đối với học sinh Chỉ cần

quyết một cách tự nhiên, không gượng ép Bất đẳng thức vì vậy mà cũng không quá xa lạ

Ở bài viết này, tôi đã trình bày lời giải của một số bài toán liên quan chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN mà trong đó, kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Bunhiacopxki là điểm mấu chốt

Vì thời gian hạn chế nên tôi chưa thể trình bày được nhiều dạng của phương pháp này và khó tránh khỏi sai sót Kính mong sự quan tâm, góp ý của độc giả

để bài viết hoàn thiện hơn

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các đồng nghiệp đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để hoàn thành bài viết

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao (2012)- Nxb giáo dục Việt Nam

2 Võ Quốc Bá Cẩn- Trần Quốc Anh (2013), Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức- Nxb Đại học sư phạm

3 Trần Đức Huyên (2012), Tài liệu chuyên toán trung học phổ thôngchuyên đề: Bất đẳng thức và bài toán min- max- Nxb giáo dục Việt Nam

4 T.S Lê Hoành Phò (2013), Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số Nxb Đại học quốc gia Hà Nội

10-Trang 19

download by : skknchat@gmail.com

PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ

I Nhận xét, đánh giá của Hội đồng khoa học trường THPT Đào Duy Từ

1 Nhận xét:

2 Xếp loại:

II Nhận xét, đánh giá của Hội đồng khoa học Sở GD và ĐT Quảng Bình

download by : skknchat@gmail.com