Chứng minh rằng: dãy số xn tăng... hai số dương bất kỳ... Tìm giới hạn đó.. 17 Cho xn được xác định như sau.. 18 Cho xn được xác định như sau.. Hỏi với giá trị nào của a thì dãy an hội t
Trang 1A- Giới hạn dãy số
*Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim1 = 0 > 0 ; lim =
n
1 n
0 ; limqn = 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
lim(un vn) = limun limvn ; lim(un.vn) =
limun ;
limvnlimun =
vn
limun limvn
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì
có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới
thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)
Nếu n ta có un≤ vn≤ wn và
limun = limwn = A thì limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim1 =
un Nếu limun = thì lim = 0 1
un
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là
S = u1
1 – q
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a) lim 2 b) lim c) lim
n + 1
2n + 1
n - 1
1 n2
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim2n2 + n – 3 b) lim
n2 + 1
– n2 + n – 1 2n2 – 1 c) lim3n – 1 d) lim
n2 – 2
4n – 1
n + 1 e) lim f)lim( )
1 n n
3 n
2
n2 – 2n – n
g) lim2sinn + 3cosn
3n – 2
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim2n – 3 b) lim( )
c) lim n)
d) lim n – 1)
e) limn n – 1 f) lim 3n2 + 2
2n n2 + n 3n2 + 2n + 1
g) lim
1 3 n
1 n 3 n n
h) lim 2n – 3 – n i)lim(
3n + 1 n2 + n – n2 + 1 )
j) lim n( n2 + 1 – n2 – 2) k) lim(3 n3 2n2 n)
l) lim 4n2 + 1 – 2n – 1
n2 + 4n + 1 – n m) lim(1 + n2 – n4 + 3n + 1) n) lim n2 +
3
1 – n6 n4 + 1 – n2 4.Tính các giới hạn a) lim 2n – 5.3n b) lim
3n + 1
2n + 2n + 1 2n + 4.3n c) lim4.3n + 7n + 1 d) lim
2.5n + 7n
3n – 4n 3n + 4n e) lim (– 2)n + 3n f) lim (– 2)n + 1 + 3n + 1
(– 1)n + 2n
1 + (– 3)n g) lim 1 + a + a2 + … + an với |a| < 1 ;
1 + b + b2 + … + bn
|b| < 1
4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = 2 ; un+1
= 2 + un a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2
và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
5.Cho dãy (un) xác định bởi
u1 = ; u1 n+1 = 2
1
2 – un a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và
là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
6.Tìm các số hữu tỉ sau : a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515
7.Tính
lim(1 – 1).(1 – ).(1 – )…(1 – )
22
1 32
1 42
1 n2
8 Cho dãy (xn) thỏa
0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ 1
4
Trang 2Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính
limxn
9 Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 +
xn – x1 n n N
2
a)Chứng minh rằng: |xn – 2| < ( )1 n n ≥ 3
2 b) Tính limxn
10.Cho dãy số xác định bởi :
u1 = ; u1 n +1=
2
un2 + 1 2 a) Chứng minh rằng: un < 1 n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn
trên
c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1
= 6 và un +1= 6 + un
a) Chứng minh rằng un < 3 n
b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c) Tính limun
B- Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)
x a
x a
x a
lim f (x)
f (x)
lim
g(x) lim g(x)
lim f (x) lim f (x)
*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn
đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng
xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x)
lim g(x) lim h(x) L
x a
lim f (x) L
Định lý 3: Nếu
1 lim f (x) 0 thì lim
f (x)
Nếu
1 lim f (x) thì lim 0
f (x)
Định lý 4:
x 0
s inx
x
x 0
x
sinx
x 0
sin kx
kx
x 0
kx
sin kx
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; 0
0 ; 0. ; –
1.Tính các giới hạn sau: a)
2 x
2 x x lim
2
2
1 x
3 x 5 x x
2 3 1
c) d)
4 x 4 x
x x lim 2
2
2
2 x x
1 x x x
2 3
1
9 x x
9 x x x
2 3
3
3 x 2 x
1 x lim
2 3 4 1
g) h)
1 x x
3 x x
2
1
2 3
2
2 x x lim
1 x
x x x
5 6
1
1 x lim n
m
1
2.Tính các giới hạn sau:
x 4
3 5 x lim 4
x 1 x 1 lim
0 x
d) e)
49 x
3 x 2
7
3 1 x lim 2
2
f)
3 1 x
x 2 x lim
2
x 5 3 lim 4
3 x
2 x 3 x lim
1
i) j) 3
x 4 x
4 x 7 x 2
1
x x lim 2 1
k)
2 3 x
1 x lim
1
x 2 x lim 2
3 x 2
3 7 x 2 lim 1
1 x
1 x 1 x lim
2
1
o) 1
x
2 x x
3 1
x x 3 x lim
3 2
1
3.Tính các giới hạn sau:
Trang 3a) b)
3 3
x
lim
2 x x lim 3
3 5 1
c) d)
1 x
1
x
lim
3
0
0
1 x 1
e)
4 x
x
x 4
x
lim 2
3
4
9 x
5 x 10
x
2
lim
2 3 3
2
x
2 x x
10
lim
3
2
4 x
2 x 6
x
3
2
i)
3
2
x 2
lim
x 3x 2
4
x 1
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
lim
(1 x)
h)
n
2
x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
4.Tính các giới hạn sau:
a) b)
x
x
sin
lim
0
x lim
0 x
c) d)
x
sin
x
sin
lim
0
x
x cos 1 lim
x cos
1
x cos
1
lim
0
x
x cos x cos lim
g) h)
2
0
x cos
1
lim
x cos x sin 3 lim
6 x
i) j)
x
sin
x
cos
x
sin
lim
4
x
1 x sin x cos lim
2
4 4
0
x cos x sin
1
x cos x sin
1
lim
0
x cos
1 x sin
1 ( lim 0
2
(
lim
0
x
x cos 1 2 lim
2 0
x
2 0
x 2 cos x
cos
1
lim
x tg
x cos x
sin
1
lim
2 0
x
x cos x sin lim 4
r)
2 0
1 x
2
cos
lim
4.Tính các giới hạn sau:
x 0
s inx sin 3x x
x 0
tgx s inx lim
x
2
x 0
1 cosx lim
tg x
x 2
cosx lim x- /2
2
lim(1 cos2x)tgx
f) x 4
1 tgx lim
1 cot gx
x 4
s inx - cosx lim
1 - tgx
3
x 3
tg x 3tgx lim
cos(x + )
6
i) x
lim x.sin
x
x 0
2 1 cosx lim
tg x
x 0
1 sin 2x 1 sin 2x lim
x
x lim(sin x 1 sin x )
x lim(cos x+1 cos x )
5.Tính các giới hạn sau:
a) ) b)
1 x
3 1 x
1 (
1
x
) 4 x
4 2 x
1 (
2
x
x 2
lim
x x
) x x )(
1 x ( lim
3 2
1 x
x x x lim
2
e)lim ( x2 x 3 x ) f)
) x 5 x 3 ( lim
g)limx( x2 5 x) h)
) x 1 x ( x
i) lim ( x 2 x 1 x 2 x 3 ) i)
2
2 x
x x 2 3x lim
4x 1 x 1
x
lim
x 1
2
3 3 x
x 2x 3 lim
Trang 4j) k)
1 x x
1 x x 1 x
x
lim
2
2 2
1 x x 16 x
14
1
x lim
2
6.Tính giới hạn các hàm số sau
a) b)
2 x
x x
lim
2
) 1 x x
x
(
c) d)
x
1
sin
x
lim 2
0
x cos 3 x sin lim 2
1 x
x x
cos
5
2
2 x
lim( x x x
x
lim(2x 1 4x 4x 3)
h)
x
lim(x 3x x )
x
7.Tìm 2 số a,b để
a)lim ( x 2 x 1 ax b ) 0
b) ax b ) = 0
1 x
1 x
(
lim
2
8 Tính các giới hạn sau:
xlim x x 2x 2 x x x
3 3 2 2
C- Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo
o
o
xlim f (x)x f (x )
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b)
nếu nó liên tục tại mọi điểm xo (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu
nó liên tục trên khoảng [a;b]
và
xlim f (x)a f (a) và lim f (x)x b f (b)
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác
là các hàm số liên tục trên tập xác định của
chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm
liên tục là một hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = 3x – 5
x2 + 3x c)f(x) = x + 2
x2 + 4 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = tại xo = 1
1 x khi 3
2x
1
x khi 4 x
x2
b) f(x) = tại xo = 2
2 x khi 3
11
2 x khi 2 x x
6 x x 2 3
c) f(x) = tại xo = 1
sin x
khi x 1
x 1 khi x 1
d) f(x) = tại xo = 1
2
2
x 3x 2
khi x 1
x 1 x khi x 1 2
e) f(x) = tại xo = 2
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
f) f(x) = tại xo = 0
3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
g) f(x) = tại xo = 0
3
2
khi x 0 sin x
1 khi x 0 6
h) f(x) = tại xo = 2
1 2x 3
khi x 2
2 x
1 khi x 2
3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) = tại x0 = 1
1 x khi a
2x
1
x khi 1 x 2
x2
Trang 5b) f(x) = tại x0 = 1
1 x khi a
1
x khi 1
x
3 x x
2 3
khi x 0 x.sin 2x
khi x 0
x 1
khi x 0 x
4 x
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
2 x khi
x 1
2
x khi 7 x
x2
5
x khi 4
3x
5 x 2 khi 2
x
3 2x
2 x khi 4
x
10 x 3 x
2 2
5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
3
khi x 2
1
4
b) f(x) =
sin(x )
3 khi x
3
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
2
x khi x
cos
2
x 2 khi b asinx
2
x khi x sin 2
b) f(x) =
3 x khi
x 4
3 x 1 khi b ax
1
x khi
x2
6 Chứng minh rằng các phương trình sau có
nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7 Chứng minh rằng phương trình a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8 Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0
có nghiệm trong [0; ]1
3 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình
ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn :
= 0 a
m + 2 +
b
m + 1 +
c m a)Chứng minh rằng af( m ) < 0 với a 0
m + 1 b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0 c)Chứng minh rằng phương trình
ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) [a;b] x [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x [a;b]
12 Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 c) a(x – b)(x – c)+b(x – c)(x – a)+c(x – a)(x – b)
= 0 d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và , là
Trang 6hai số dương bất kỳ Chứng minh rằng: phương
trình f(x) = f(a) + bf() cĩ nghiệm trên [a;b]
+
14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình cĩ nghiệm xo (1;2)
và xo > 7
12
1) Tính các giới hạn
3
2 lim
n
2) Tính các giới hạn
lim(1n n 3n1) 2 3 6
1 lim
1
lim ( 1)( 2)
3) Tính các giới hạn
2.5 7
n n
n n
1
lim
2 5.3
n n
2
2
n n
4) Tính các giới hạn
a)lim 1 1 1
1.2 2.3 n n( 1)
b)lim(1 12)(1 12) (1 12)
c) lim 12 32 52 2n2 1
d)
2 1 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1
f) lim1.3.5.7 (2 1)
2.4.6 (2 )
n n
g)lim2.12 3.22 (4 n 1).n2
n
h)lim1 22 33
n n
n n
i) Tính lim 1
!
n
j) Tính limn n
Trang 75) Tính các giới hạn của dãy (un)
a) u n 2 2 2
4
c) u0 u1 1, u n1 u n u n1
6) Chứng minh dãy 1 1 có giới hạn
n n
u
n
7) Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn
n
u
n
n
c) 1 12 12 12
n
u
n
n
u
n
e) u1 2,u n1 2u n
2
u u u
8) Cho a1,k1 Chứng minh rằng lim 0
k n
n
a 9) Cho dãy (un) xác định bởi công thức
Chứng minh rằng (un) có giới 2
1
1, 3 2
n
n
u
hạn và tìm giới hạn đó
10) Giả sử x0 và y n y n1(2xy n1) Chứng minh
rằng , nếu mọi y i 0 thì dãy (yn) hội tụ và
1
limy n
x
11) Cho dãy (xn) xác định như sau 0
1
1 1,
1
n
n
x
1
1 lim
1x n
12) Xét dãy số nguyên dương (an) thỏa điều kiện
Tính giới hạn
*
1 1
a a a n N
2
n
13) Cho dãy (un) thỏa điều kiện
Chứng minh rằng
u u u u u
dãy (un) có giới hạn Tìm giới hạn đó
2 cos
n n
k
k
n
15) Cho dãy số (xn) thỏa
Chứng minh rằng
1
k
x
tồn tại 2 số dương , A sao cho limx n
A n
16) Cho dãy (xn) xác định theo công thức
Giả sử và f 1
x f x n x n[ , ]a b n N
là hàm tăng trên [a.b] Chứng minh rằng a) Nếu x1 ≤ x2 thì (xn) là dãy tăng
b) Nếu x1 ≥ x2 thì (xn) là dãy giảm
c) Nếu f bị chặn thì (xn) hội tụ
17) Cho (xn) được xác định như sau
Chứng
1
1
2
n
a
x
minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy 18) Cho (xn) được xác định như sau
Chứng
1
1
3
n
a
x
minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy 19) Xác định x1 để dãy (xn) xác định như sau là dãy hội tụ : 2
x x x n 20) Cho dãy (xn) với 0x n 1 và 1(1 ) 1
4
x x Chứng minh rằng lim 1
2
n
x 21) Cho dãy số (yn) xác định theo công thức
x n
Ax
y
A0, 0 x 1,y0 0
Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn và tìm giới hạn đó
22) Cho a1 = a, an+1=an(an – 1) Hỏi với giá trị nào của
a thì dãy (an) hội tụ
23) Cho 11 2 22 23 2 Tính limSn
n
n S
n
24) Cho dãy (un) và (vn) được xác định như sau u1 = a,
Chứng minh rằng 2( )(1 11),
u a b a
1
v a b a 25) Cho dãy (an) và (bn) được xác định như sau a1 = a
> 0, v1 = b > 0, a n 1 b n 1 ,
Trang 8Chứng minh rằng
2
( 2)
n
a b
lima n limb n ab
26) Các dãy (xn) và (yn) được xác định như sau x1 = a
> 0, y1 = b > 0, 1 1
, 2
n
.chứng tỏ rằng các giới hạn
1 1( 2)
y x y n
của chúng tồn tại và bằng nhau
27) Cho các dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định như sau
x1=a, y1 = b, z1 = c, 1 1,
2
n
2
n
, 1 1 Chứng minh rằng các dãy số này
2
n
đều hội tụ và lim lim lim
3
a b c
28) Cho các dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định như sau
x1= a > 0, y1 = b > 0, z1 = c > 0, x n y n1z n1 ,
, Chứng minh rằng
1 1
y z x z n x n1y n1
3 limx n limy n limz n abc
29) Xét dãy số (xn) được xác định bởi 1 1 1 ,
1
n
n
x
x
x0 = 1 Chứng minh rằng limx n 2
30) Cho f là hàm dương,liên tục và nghịch biến trên
[0,∞) Giả sử rằng hệ phương trình
có nghiệm duy nhất ( ), ( )
Chứng minh rằng dãy số dương x n1 f x( n)với
x0 > 0 cho trước hội tụ tới l
31) Xét dãy số (xn) được xác định bởi
.Khảo sát sự hội tụ của dãy
2
1
n
n
x
(xn)
32) Cho a ≠ 1 Xét dãy (xn) được xác định bởi
Chứng minh rằng dãy (yn) 2
,
n n
n
n
x x
x
={(a – 1)xn} có giới hạn và xác định giới hạn đó
33) Xét dãy (xn) được xác định bởi
.Chứng minh rằng (xn) không
n
có giới hạn hữu hạn
34) Cho dãy hàm f x n( )dương trên R+ thỏa các điều
kiện f x0( )x,
Chứng 2
f x x f x n N xR
minh rằng tồn tại duy nhất dãy số dương và đơn điệu tăng (xn) thỏa mãn f x n( n)2x n và limx n 4 35) Xét 2 dãy (an) , (bn) xác định bởi a1 = 3, b1 = 2 và
an+1 = an + 2bn , bn+1 = 2anbn Tính lim2n và
n
b
2
1 2 lim n
n
a a a