Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề Bất đẳng thức Toán 9

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

Chuyên đề

BẤT ĐẲNG THỨC

I Tóm tắc lý thuyết cơ bản

1 Chuyển vế thì đổi dấu

2 Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số dương được BĐT cùng chiều

3 Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số âm được BĐT ngược chiều

4 Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức mà hai vế cùng dấu được BĐT ngược chiều

5 Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều (Chú ý không có phép biến đổi trừ từng vế)

6 Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

II Các phương pháp chứng minh BĐT cơ bản

1 Phương pháp biến đổi tương đương

Từ BĐT đề yêu cầu chứng minh, ta biến đổi đến bất đẳng thức đúng, như vậy BĐT đã được chứng minh

1

a + b + c + d  a + c + b + d

Giải

Vậy để chứng minh BĐT(1) ta phải chứng minh BĐT (2)

Nếu VP= ac + bd < 0 thì (2) đúng

Nếu ac + bd  0 thì

2

2

2

1

a + b + c + d  a + c + b + d

2 Phương pháp Sử dụng các bất đẳng thức đã biết

2.1 Sử dụng BĐT suy ra từ BĐT (a-b) 2  0

Đây là một trong các PP thường ra thi tuyển 10

Ví dụ :

a Từ

2

 −    − +   + 

b Với x > 1 ta có

1 1 2

2 1

x x

x x

 −





− −   − − − +   − −    −  

 −



(Người ra đề cứ lấy một BĐT bất kỳ , từ đó khai triển , kết hợp vài BĐT như vậy sẻ có bài toán của đề thi Vì

vậy người học khó chờ cơ hội trúng đề mà chỉ cần nắm chắc PP giải, biết lựa chọn BĐT xuất phát đúng ắt sẽ giải

được bài) Ví dụ ta có các bài toán sau

Bài 2: Cho 3 số a;b;c thỏa mãn a+b+c = 3

2 Chứng minh a2 + b2 +c2  3

4

Giải:

2

 −    − +   + 

Lấy (1) +(2)+(3) được:

 +  + +  + +  + +  + + +   + + 

Dấu = khi a=b=c=1

2

Bài 3: Cho x  1; y  4 Chứng minh rằng 1 4 3

4

xy



Giải:

Ta có :

4

xy

Ta có :

2

x

x

−

− −   − − − +   − −    −   (1)

( )2 4 1

4

y

y

−

Cộng BĐT (1) với BĐT (2) theo vế được 1 4 3 (*)

4

y x

−

4

xy



Dấu “=” khi ( )2

x− − =  =x và ( )2

y− − =  =y

2.2 Dùng BĐT CÔ-Si cho hai số không âm

Với x; y không âm ta có: x +y  2 xy .Dấu “=” khi x = y

2.2.1 Kỹ thuật 1 : Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng

tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho

Chú ý: *

*

Bài 4: Cho 0 < x < 2 Chứng minh 9 2 7

2

x B

−

Nhận xét: Với ĐK bài toán các biểu thức ”số hạng” đều dương  khả năng dùng BĐT Cô si.Muốn dùng Cô SI với biểu thức 9

2

x x

− thì biểu thức “ số hạng “ thứ hai mẫu phải chứa x và tử phải chứa 2 –x Ta làm nháp như sau:

Nháp: Xét B’ = có dạng như chú ý

Giải:

2

− +

−

1

−

2

− +

−

1

−

Do 0 < x < 2 nên Áp dụng BĐT Cô si có:

Bài 5 : Cho 0 < x < 1 Chứng minh : 3 4 4 3 5

1 x+ x +

Giải:

'

1

B

−

1

−

=

− Giải được x = −1 4 2 3 ;x = +2 4 2 3

2.2.2 Kỹ thuật 2 : Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không

Chú ý: Dạng A = , ta đi xét biểu thức sau đó dùng Cô Si

Bài 6 : Với x  9 Chứng minh A= 9 1

x x

− 

Do x 9 nên x – 9 0 Áp dụng BĐT Cô si ta có: Suy ra:

2

− +

−

2

−

−

9 2

2

−

−

3 4

B

1 x x

−

n n

kx q mx

−

.

q A

x x

−

x −  + − =

x

30

2.2.3 Kỹ thuật dự đoán điểm rơi

Điểm rơi của BĐT là giá trị biến mà tại đó dấu “=” xảy ra

Bài 7: Cho x;y;z là các số dương thỏa mãn x+y+z = 1 Chứng minh rằng x (1 − x ) + y (1 − y ) + z (1 − z )  2

Nhận xét: Bài toán cho vai trò x;y;z như nhau , nên điểm rơi khi x=y=z = 1

3 và ta dùng bất đẳng thức Cauchy cho từng số hạng

-Nếu dùng cho x và 1 –x thì dấu bằng xảy ra khi x= 1-x  x =1

2(sai so với dự đoán)

Điểm rơi Khi x = 1

3 thì khi đó 1-x=2

3  ta phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1-x và 2x

− =  = Tương tự cho các số hạng còn lại , rồi cộng các BĐT được:

x+ + y+ + z+ = x+ + +y z = =

2.3 Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpky dạng phân thức

, , ; ,

a b

a b

a b R x y R

x y x y

+

+

b x

a =

Từ đây ta suy ra một bất đẳng thức rất thường sử dụng “Với x > 0, y > 0, ta có: 1 1 4

x+ y x y

+ (2) Dấu = khi x = y

Hai bất đẳng thức trên khi dùng phải chứng minh.(Dùng PP tương đương)

Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thỏa x + y + z = 4 Chứng minh rằng : 1 1 1

xy+xz  Giải:

Từ x + y + z = 4 suy ra y + z = 4 – x

Với a; b dương ta có 1 1 4

a+ b a b

+ (*)

Ta chứng minh (*) (*) 

4

a b

+

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có ĐPCM

Áp dụng :

xy + xz  xy xz = x y z = x x = x x

− + = − + − + = − − + 

2

2

1 1

1

xy xz x y z x y z x x x x

+

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 1

2

2 0

1 4

xy xz

x x

y z

x y z

 =



 − = 

 + + =





5 Phương pháp đổi biến

Bẳng cách dự đoán dấu “=” xảy ra rất nhiều bài toán BĐT ta đổi qua biến mới dễ làm hơn Chủ yếu dùng PP tương đương sau khi đổi biến

Bài 9: Cho a b+ =3,a1 Chứng minh rằng: C = b3−a3−6b2−a2+9b0

Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2

Do vậy ta đặt a = − 1 x, với x  0 Từ giả thiết suy ra b = + 2 x

Ta có: C = b3−a3−6b2−a2+9b = (2 + x )3− − (1 x )3− 6(2 + x )2− − (1 x )2+ 9(2 + x )

= x3−2x2+x = x x ( − 1)2  0 (vì x  0)

Đẳng thức xảy ra  x = 0 hoặc x = 1 tức a = 1, b = 2 hoặc a = 0, b = 3 Vậy C  0

Bài 10: Cho a b c 3 + + = Chứng minh rằng: A = a2+b2+c2+ab bc ca+ + 6

Nhận xét: Dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Do vậy ta đặt: a= +1 x b, = +1 y , ( x, y  R ) Từ giả thiết suy ra: c= − −1 x y

Ta có: A = a2+b2+c2+ab bc ca+ +

= (1 + x )2+ + (1 y )2+ − − (1 x y )2+ + (1 x )(1 + + + y ) (1 y )(1 − − + − − x y ) (1 x y )(1 + x )

= x2+ xy y + 2+ 6 = x y y

2 2

Đẳng thức xảy ra  y = 0 và x 1y 0

2 + =  x = y = 0 hay a = b = c =1 Vậy A  6

Bài 11: Cho a > 1 ; b > 1 Chứng minh:

8

Ở BĐT này điều kiện là bất đẳng thức Vì a > 1và b > 1 nên ta đặt a = 1 + x; b =1+y (với x; y >0) Khi đó ta có :

4 2 2 4 8

=  +  +  +  +  + + =

Bài 12: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:

2

3

 +

+ +

+

c a c

b c b a

Đặt:

         − + = − + = − + =       = + = + = + 2 2 2 z y x c y x z b x z y a z b a y a c x c b

Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: 2 1 2 2 2 − + + − + + −  + z z y x y y x z x x z y Ta có:

2 3 2 3 2 2 2 2 2 2

2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = − + +  −       + +       + +       + = − + + − + + − + z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z z y x y y x z x x z y Hay

2

3

 +

+ +

+

c a c

b c b

a

(đpcm)

4 Phương pháp làm trội

Bổ trợ:

a)Tổng hữu hạn

Một tổng gồm các số hạng viết theo quy luật từ số hạng đầu tiên đến số hạng cuối cùng , gọi là tổng

hữu hạn

Ví dụ: A= 1 + 1 + + 1

2018.2019

1.2 2.3 là một tổng hữu hạn

Để tính tổng hữu hạn ta biến đổi mỗi số hạng thành hiệu của hai số hạng

Ví dụ: Tính A= 1 + 1 + + 1

2018.2019

1.2 2.3

( )

n

a a n = −n a n

+ + với a và n là số tự nhiên)

Ta có:

2018.2019

1

1− + − + − +2 2 3 3 4 +2018−2019= −2019= 2019

b)Tích hữu hạn

Một tích gồm các thừa số viết theo quy luật từ thừa số đầu tiên đến thừa số cuối cùng ,gọi là tích hữu hạn

VD: B= 1 1 1 1 1 1 1 2 1

 +  +  +   + 

Để tính tích hữu hạn ta biến đổi mỗi thừa số thành tich của hai thừa số.Từ vài thừa số đầu tiên ta tìm ra quy luật rút gọn

VD: Rút gọn 1 1 1 1 1 1 1 2 1

B

n n

= +   +  +   + 

+

Giải: Ta có

2

2

B

B

= +  +  +   + 

+

B=2 ( 1) 2( 1)

=

a)Để Chứng minh BĐT: A >k, trong đó vế trái A là tổng(hoặc tích) hữu hạn nhưng ta không tìm được cách

để tính Ta phải biến đổi A > A1(làm trội xuống) mà A 1 là tổng (hoặc tích hữa hạn) mà ta tính được

Bài 13: C/m: + + + + 

45 3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 40399( 2019 2020)

Giải: Ta có

+ −

n

dụng:

2

2

2 4039( 2019 2020) 2019 2020

Cộng tất cả các BĐT được

2+3 2 +4 3+ +(n 1) n 

+ (Với n  N và n  1)

HD: Mỗi số hạng trong tổng có dạng 1

(k + 1) k vì CM

VT < 2 nên ta làm trội xuống như sau:

k(k 1) k k 1

b)Để Chứng minh BĐT: B < m , trong đó vế trái B là tổng hữu hạn(hoặc tích) nhưng ta không tìm được cách

để tính Ta phải biến đổi B < B 1 (làm trội lên) mà B 1 là tổng (hoặc tích hữa hạn) mà ta tính được

Bài 15: Với n là số tự nhiên và n  1 C/m :

 +

1 3 5 .2 1 1

n

+

−

(2 1) (2 1)

5 Phương pháp dùng BĐT phụ để chứng minh

Với điều kiện M  P Chứng minh A B

Ta chứng minh phụ sau : (A- B) + (P-M)  0 (*)

Lập luận : Vì P – M  0 nên A B

Bài 16: Cho x2 + y2  x+y Chứng minh : x + y  2

Giải:

Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau:

(2-x-y )+ ( x2 + y2- x – y)  0  ( x2 – 2x +1) + (y2 – 2y +1)  0

 (x-1)2 + (y – 1)2  0 ( BĐT đúng)

Vì x2 + y2- x – y  0 2-x-y  0  x + y  2,.Dấu “=” khi x=y = 1

Bài 17: Cho x ; y là hai số dương thỏa : 2x+ 2y = 3 Chứng minh : 2 1 3

2

x+ y 

Giải:Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau:

 2 1 3

2

x+ y  Dấu “=” khi x=1; y = 1

2

Bài 18: Cho a+b  1 Chứng minh : 2 2 1

2

a +b 

Giải:

Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau:

(a2 +b2 - 1

2)+ (1-a-b) =a2 +b2 –a-b+1

2 =

0

 −  + −  

Vì 1 –a-b  0  2 2 1

2

a +b 

6./ Phương pháp phản chứng

Ví dụ 5: Cho 0 < a;b,c < 1 CMR : có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

a( 1 – b) > 1

4 ; b(1-c) > 1

4 , c( 1-a) > 1

4

Giải : Giả sử cả 3 bất đẳng thức đều đúng, nhân từng vế ta được

 a( 1 – b) b(1-c) c( 1-a) > 1

64 (*)

mà a(1-a) = -a2 + a = -(a2 –a + ¼ -1/4 ) = -(a-1/2)2 + ¼  ¼  a( 1-a) 1

4

 (1)

tương tự b( b-1)  1

4

 (2) , c( 1-c) 1

4

 (3)

Lấy (1) (2).(3) được

a(1-b) b (1-c)c(1-a)  1 1 1 1

4 4 4 =64(mâu thuẩn với BĐT (*) Vậy ta có ĐCCM

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí