(SKKN mới NHẤT) SKKN ỨNG DỤNG đạo hàm để GIÚP học SINH GIẢI QUYẾT các bài TOÁN THỰC tế TRONG đề THI THPT QUỐC GIA

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động 42.5 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán tính diện tích, tính thể tích 5 2.6 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán kinh tế 13 2.7 Hiệu quả của sáng kiế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019

2.4 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động 4

2.5 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán tính diện tích,

tính thể tích

5

2.6 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán kinh tế 13

2.7 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I.MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là phải phục vụ cuộc sống Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế Chính vì lẽ đó màcác nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy chophù hợp với yêu cầu của xã hội

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đếnđâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống: có rấtnhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhấtnhư phải tính toán như thể nào để làm cho chi phí sản xuất là thấp nhất mà lợinhuận đạt được là cao nhất , các bài toán tính toán về vận tốc,và các bài toán

về kinh tế Chính vì lẽ đó mà tôi viết sáng kiến:

“ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀITOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA” Trong phạm vi sángkiến của mình, tôi đề cập tới áp dụng của đạo hàm vào các bài toán thực tiễn,

cụ thể là dùng công cụ đạo hàm để xét tính tối ưu của các bài toán về vận tốc,diện tích, thể tích, về khoảng cách, góc và bài toán kinh tế

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Cung cấp một số bài tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng đạohàm có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho họcsinh

- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán thực tế

- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2017-2018 tạitrường THPT Nguyễn Trãi

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet,các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, các chuyên đề có liênquan

Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáotrong tổ bộ môn

II NỘI DUNG

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi dạy học sinh trung học phổ thông lớp 12, tôi nhận thấy các em cóphần hạn chế trong việc giải những bài toán thực tế, các em rất ngại các bài tậpdạng này Hơn nữa tôi cũng nhận thấy rằng công cụ đạo hàm có thể giảiđược phần lớn các bài toán thực tế Xuất phát từ thực trạng đó tôi thiết nghĩcần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết các tình huống thựctiễn liên quan đến việc ứng dụng của đạo hàm

2.3 Cơ sở lý thuyết

2.3.1 Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x)

trên tập số D bằng đạo hàm

Phương pháp chung: Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D Căn cứ

vào bảng biến thiên để kết luận

Trong trường hợp D là đoạn [a; b] và f(x) liên tục trên D thì có thể làm như

sau:

Tính đạo hàm y’

Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b] giả sử các nghiệm này là x1, x2

Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2)

KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b]

2.3.2 Các bước làm bài toán thực tế ứng dụng đạo hàm

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta diễn tả bài toán“dưới

Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến

Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài

toán hình thành ở bước 2 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa

2.4 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động

2.4.1 Một số ví dụ:

Bài 1: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga Quãng

đường (theo đơn vị mét ) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian

t (theo đơn vị giây ) cho bởi phương trình là Tìm thời điểm t

mà tại đó vận tốc của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất ?

Bài giải

Vận tốc của đoàn tàu là:

12-3t 0 t=4

Lập BBT ta có đạt gía trị lớn nhất tại t=4

Vậy tại thời điểm t=4 vận tốc của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức

, trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhâncao huyết áp (x được tính bằng mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhâncao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất

Bài giải

Bài toán trở thành: Tìm GTLN của hàm số trên đoạn

Ta có:

Suy ra

Vậy lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiềunhất là: 20 mg

2.4.2 Một số bài vận dụng.

Bài 1: Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di

chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể

từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?

A 27 m/s B 15 m/s C.100 m/s D.54 m/s

Bài 2: Một vật chuyển động theo quy luật

3 2

163

s   t  t

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng

đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thờigian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được

là bao nhiêu ?

Bài 3: Một chất điểm chuyển động theo phương trình

trong đó t tính bằng giây tính bằng mét Tính thời gian vận tốcchất điểm đạt giá trị lớn nhất

Bài 4: Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) là khoảng

thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi

được trong thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầuchuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

A 216 (m/s) B 30 (m/s) C 400 (m/s) D. 54 (m/s)

Bài 5: Có một cái hố rộng 50m, dài 200m Một vận động viên chạy phối hợp

với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy

và bơi Sau khi chạy được bao xã (quảng đường x) thì nên chạy xuống bơi đểđến đích nhan nhất? Biết rằng vận tốc bơi là 1.5m/s, vận tốc chạy là 4.5m/s.Giá trị của x gần bằng:

Bài 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình

vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại hình vẽ dưới đây để được một cái hộpkhông nắp.Tìm cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp lớnnhất

Từ BBT ta có V(x) lớn nhất tại

Trong mục 2.4.2: Bài 3,4,5 được tham khảo từ TLTK số7

Trong mục 2.5.1: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 2

Bài 2: Cho một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài cm và chiều rộng

cm Người ta cắt 6 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm,rồi gập tấm bìa lại để được một cái hộp có nắp đậy (tham khảo hình vẽ bêndưới) Giá trị của x sao cho thể tích của khối hộp lớn nhất là

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại trên khoảng

Bình luận: Qua hai bài toán trên ta cần lưu ý:

Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng Chúng ta không nên chỉ ghi theo cách hiểu số đo đại số là một số dương mà phải tìm điều kiện xác định của ẩn

Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này không thể giải quyết tiếp được Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế

Ba là, biết chuyển sang bài toán tìm GTLN,NN.

P Q

Bài 3: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là

mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh

tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC;

P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao

bằng MQ Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:

Bài giải

Đặt

Chiều cao của hình chóp:

.Thể tích của khối chóp:

.Lập bảng biến thiên ta có

Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi

Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi

Bài 5: Một sợi dây có chiều dài 6m, được chia thành hai đoạn Đoạn thứ nhất

được uốn thành một tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vuông.Hỏi độ dài của cạnh tam giác đều là bao nhiêu để tổng diện tích tam giác vàhình vuông đó nhỏ nhất?

Bài giải

Gọi x là độ dài tam giác đều,

Cạnh của hình vuông là

Tổng diện tích tam giác và hình vuông là

0

Vậy cạnh của tam giác đều cần tìm là :

Bài 6: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng , cần xả thànhmột chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màuxám như hình vẽ dưới đây Tìm chiều rộng của miếng phụ để diện tích sửdụng theo tiết diện ngang là lớn nhất

Bài giải

Gọi lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là

Khi đó chính là giá trị thỏa mãn bài toán.

Bài 7: Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh Người ta cắt một tấm gỗ cóhình một tam giác vuông từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau.Biết là một cạnh góc vuông của tam giác và tổng độdài cạnh góc vuông với cạnh huyền bằng Tìm để tam giác

có diện tích lớn nhất

200

120-x x

Ta có: ;.

.Bảng biến thiên:

Vậy tam giác có diện tích lớn nhất khi

2.5.2 Một số bài vận dụng.

Bài 1: Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R, phải làm một cái

phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành mộthình nón Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x Tìm x để thể tíchkhối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất

3





Bài 2: Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính

R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là

A B C D.

Bài 4: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mớimang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong làmột khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ Theo

dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là Tìm thể

tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớnnhất (với mục đích thu hút khách hàng).

2.6 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán kinh tế.

2.6.1 Một số ví dụ:

Bài 1: Một cửa hàng bán thanh long Châu Thành với giá bán mỗi quả là

50.000 đồng Với giá bán này thì của hàng chỉ bán được khoảng 40 quả Cửahàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000đồng thì số thanh long bán được tăng thêm là 50 quả Xác định giá bán để củahàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là30.000 đồng

Bài giải

Gọi là số tiền cần giảm trên mỗi quả bưởi bán ra để đạt lợi nhuận lớn nhấtKhi đó, lợi nhuận thu được tính bằng công thức

Ta có

Vậy giá bán của mỗi quả bưởi là nghìn đồng

Bài 2: Ông Bình có tất cả căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn

hộ với giá triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê Nhưng cứmỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm chẵn nghìn đồng thì có thêm căn hộ bị bỏ trống Hỏi khi tăng giá lên mức mỗi căn bao nhiêu tiền một thángthì ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng?

Lời giải Gọi là số lần tăng nghìn đồng để ông Bình thu đượctổng số tiền nhiều nhất trên một tháng.

Khi đó ông Bình cho thuê được số phòng là: phòng

Tổng số tiền ông Bình thu được trên một tháng là:

Dấu xảy ra khi và khi

Vậy ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng khi ông tăng giálên mức mỗi căn triệu đồng một tháng

Bài 3: Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt,

không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được

nước Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3 Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất

Bài 4: Ông An có một cái ao diện tích dùng để nuôi cá Vụ cá năm nayông nuôi với mật độ con trên một thì tổng khối lượng cá thu được là 15tấn Biết rằng cứ thả giảm 4 con trên một thì khối lượng mỗi con cá tănglên Hỏi vụ tới ông An cần phải thả bao nhiêu con cá giống để tổngkhối lượng cá thu được cao nhất ? (Giả sử không có hao hụt trong quá trìnhchăn nuôi và khối lượng mỗi con cá là bằng nhau)

Bài giải

Trong mục 2.6.1 : Bài 1,2 được tham khảo từ TLTK số 7 ,8.

Theo giả thiết: Giảm mật độ 4 con / m2 thì tăng 0,5 kg/con.

Suy ra nếu giảm x con/m2 (0 < x < 20, x là số nguyên) thì mỗi con tăng

Và tổng khối lượng cá thu được là:

Lập bảng biến thiên thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 4

Vậy ông An cần phải thả 8000 con cá giống để tổng khối lượng cá thu đượccao nhất

Bài 5: Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tíchkhông đổi bằng , thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông,không nắp Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là , giá tôn làmthành xung quanh thùng là Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùngđựng gạo với cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?

Bài giải:

Gọi cạnh đáy và cạnh bên của thùng tôn là và (điều kiện: và )

Ta có thể tích thùng tôn là: Suy ra:

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Vậy người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy

Bài 6: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C Biết rằng

khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km khoảng cách từ khách sạn A đến

Trong mục 2.6.1 : Bài 3,4 được tham khảo từ TLTK số 6 ,8.

điểm B trên bờ gần đảo C là 40km Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi

đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ) Biết kinh phí đi đường thủy là

5USD/km, đi đường bộ là 3USD/km Hỏi người đó phải đi đường bộ một

khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB=40km, BC=10km)

Bài giải: Giả sử người đó phải đi đường bộ một khoảng x (km) với 0<x<40

Ta có AD=x ⇒ DB=40−x(km) ⇒CD =√100+(40−x )2

Kinh phí phải trả khi đó là f ( x )=3 x +5√100+(40−x )2

Khảo sát hàm số này trên khoảng (0; 40) ta có

f '(x)=3+5. x−40

√100+ (40−x)2=0 ⇔ x=652 Minf(x)=160 ⇔ x=652

Vậy để kinh phí phải trả là nhỏ nhất thì người đó phải đi đường bộ một khoảng32,5 km

Bài 7: Cô An đang ở khách sạn bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo

Biết rằng khoảng cách từ đảo đến bờ biển là , khoảng cách từkhách sạn đến điểm trên bờ gần đảo là Từ khách sạn , cô An

có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo (như hình vẽ bên) Biết rằng chi phí đi đường thủy là USD/km, chi phí điđường bộ là USD/km Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu

km để chi phí là nhỏ nhất

Lời giải

Gọi là quảng qđường cô An đi đường bộ

Bài giải: Gọi với

Quãng đường thời gian tương ứng

Quãng đường thời gian tương ứng

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn

O A

C

B 1,4

1,8

,

Vậy hàm số đạt GTNN bằng tại

Bài 9: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với

tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vịtrí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó?

Bài giải:

Ta cần xác định OA để góc ^BOC lớn nhất

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tan ^BOC lớn

nhất Đặt OA=x (m) với x>0.Ta có

tan ^BOC=tan(^AOC −^ AOB)

¿ tan ^AOC−tan ^ AOB

1+tan ^AOC tan ^ AOB=

AC

OA−

AB OA

1+ AC AB

OA2

x2+5,76Khảo sát hàm số f(x)= 1,4 x

Bài 1: Một cửa hàng bán trà sữa ở Hà Nội sắp khai trương, đang nghiên cứu

thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa Sau khi nghiên cứu, ngườiquản lý thấy rằng nếu bán với giá 30.000 đồng/ cốc thì mỗi tháng trung bình sẽbán được 2.200 cốc, còn từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng thêm 1.000 đồngthì sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng Biết chi phí nguyên vật liệu để pha 1 cốc tràsữa không thay đổi là 22.000 đồng Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa vớigiá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Trong mục 2.6.1.a: Bài 8 được tham khảo từ TLTK số 8.