(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng của đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình ở chương trình toán học phổ thông

Lý do chọn đề tài Trong các đề thi thpt quốc gia xuất hiện các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình nhờ vào ứng dụng của đạo hàm.. Quan tr

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

1.5 Những điểm mới của SKKN………2

2 NỘI DUNG 2

2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp 19

3 Kết luận, kiến nghị 19

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong các đề thi thpt quốc gia xuất hiện các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình nhờ vào ứng dụng của đạo hàm Và nhờ có sự vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải toán mà lời giải trở nên trong sáng hơn, ngắn gọn hơn Thực tế nhiều bài toán phương trình, bất phương trình, giải bằng phương pháp biến đổi tương đương và biến đổi chúng đưa về các phương trình, bất phương trình cơ bản như phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai Tuy nhiên, không phải bài nào cũng biến đổi dễ dàng như vậy mà phải vận dụng một số kỹ thuật giải Một trong số những kỹ thuật đó là sử dụng đạo hàm của hàm số Quan trọng hơn là trong các bài toán biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình, bài toán tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hoặc một số điều kiện nào đó, ta vận dụng đạo hàm để xác định miền giá trị của hàm số, miền giá trị của ẩn số phụ có trong bài toán mà ta đặt Để từ đó ta có kết quả chính xác cho

điều kiện của tham số Từ các vấn đề nêu trên tôi chọn viết đề tài: “ Ứng dụng của đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và

hệ bất phương trình ở chương trình toán học phổ thông”.

1.2 Mục đích nghiên cứu: Tìm ra phương pháp giải nhanh và chính xác cho các bài toán giải, giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

và hệ bất phương trình

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Vận dụng phương pháp dạy học tình huống cho học sinh THPT qua nhóm bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

và hệ bất phương trình

1.4 Phương pháp nghiên cứu: Thực hiện mục tiêu nghiên cứu của đề tài tôi đã

sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu sau:

*Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết

Tìm hiểu lịch sử vấn đề nghiên cứu, khai thác qua tài liệu và thành tựu của các nhà nghiên cứu các khía cạnh liên quan trực tiếp đến phạm vi đề tài làm

cơ sở để tiến hành quá trình nghiên cứu tiếp theo của mình

* Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp điều tra giáo dục: khảo sát mục tiêu, nội dung dạy học, chuẩn kiến thức, kĩ năng về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình ở trường THPT, khảo sát thực trạng dạy và học các bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

- Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích, tổng hợp kết quả khảo sát thực trạng và kết quả dạy học thực nghiệm

- Phương pháp thống kê, phân loại: thống kê, phân loại kết quả khảo sát thực trạng và kết quả dạy học thực nghiệm

- Phương pháp so sánh: so sánh khả năng vận dụng của HS ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng qua bài kiểm tra cụ thể

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: tổ chức thiết kế giáo án thực nghiệm và dạy học thực nghiệm

1.5 Những điểm mới của SKKN: SKKN này giúp giáo viên cũng như học sinh

có được phương pháp mới trong sáng hơn, tường minh hơn trong việc giải các bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình Hơn nữa học sinh đứng trước bài toán chứa tham số không còn cảm giác sợ và lúng túng như trước đây nữa

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.Cơ sở lý luận

1.1 Định nghĩa đạo hàm:

1.2 Đạo hàm của các hàm cơ bản, hàm hợp:

Hàm hợp:

1.3 Các phép toán đạo hàm:

1.4 Tính đơn điệu của hàm số.

Hàm số xác định trên khoảng (a;b) Nếu và

tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì ta nói hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b)

1.5 Sử dụng tính chất của hàm số để giải pt Áp dụng tương tự cho bất pt.

Các hướng áp dụng:

Hướng 1: Bước 1: Chuyển pt về dạng f(x) = k

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Tính đạo hàm và sử dụng giả thiết lập luận khẳng định hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

Bước 3 : Nhận xét : Với x = x

Do đó x = x là nghiệm

Với x > x pt vô nghiệm

Với (>) = pt vô nghiệm

Vậy là nghiệm duy nhất của pt

Hướng 2 : Bước 1 : Chuyển pt về dạng :

Bước 2 : Xét hàm số ,

Dùng lập luận khẳng định hàm số y= là đồng biến và hàm số y

là hàm hằng hoặc nghịch biến

Xác định sao cho

Bước 3: Vậy pt có nghiệm duy nhất

Hướng 3 : Bước 1 :Chuyển pt về dạng :

Bước 2 :Xét hàm số y=

Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

Bước 3 :

Chú ý : Tương tự vận dụng các hướng 1 và hướng 3 ở trên cho bất pt.

Định lý Rôn : Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương

trình f(x) = 0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Giả sử cần giải phương trình f(x) = 0 ta thực hiện các bước sau :

Hướng 4 :Bước 1 : Tìm TXĐ D của pt

Bước 2 : Xét hàm số y = f(x) trên D Sử dụng đạo hàm khẳng định rằng hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D

Bước 3 : Vậy pt nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm Ta cần chỉ ra hai giá trị sao cho

Bước 4 : Kết luận

Hướng 5 : Lập bảng biến thiên tìm miền giá trị của hàm số và vận dụng vào các

bài toán liên quan

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

Khó khăn khi giải một số bài toán pt, bpt, hệ pt và hệ bất pt bằng các phép biến đổi tương đương không đưa về các pt cơ bản, bất pt cơ bản, hệ pt cơ bản Phương trình cơ bản gồm pt bậc nhất và pt bậc hai, bất pt bậc nhất, bất pt bậc hai Hệ pt cơ bản như hệ pt bậc nhất hai ẩn, hệ pt gồm một pt bậc nhất và một pt bậc hai, hệ pt đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp

Dùng bất đẳng thức chưa đánh giá chặt chẽ miền giá trị của biến số ẩn phụ cũng như miền giá trị của hàm số Do đó không xác định chính xác được điều kiện của tham số trong các bài toán biện luận pt, bất pt, hệ pt, hệ bất pt

Vận dụng đạo hàm, xét tính đơn điệu của hàm số ta có thể chứng minh pt

vô nghiệm, pt có một nghiệm, hai nghiệm và tìm được nghiệm của pt bằng cách nhẩm nghiệm Và vận dụng đạo hàm cho ta lời giải chặt chẽ, chính xác trong các bài toán tìm điều kiện của tham số

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

3.1 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình.

Giáo viên đưa ra hệ thống các bài tập vận dụng để học sinh thấy được ưu điểm của phương pháp dùng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình

Bài 1 Giải pt:

Giải: Xét hàm số

TXĐ :

, hàm số đồng biến trên D

Mặt khác pt có nghiệm duy nhất x = 9

Bài 2 Giải pt :

Giải : ĐK : x

Xét hàm số

>0

hàm số đồng biến trên D=

g’(x)=

hàm số nghịch biến trên D

Do đó pt f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất Nhận thấy x = 1 thoả mãn phương trình

Vậy pt có nghiệm x = 1

Bài 3 Giải phương trình :

a

b

c

Giải:

a ĐK : Đặt

Hàm số đồng biến trên

Hàm số nghịch biến trên D

Pt có nghiệm duy nhất x = 4

b ĐK: x R

Nhận xét:

Hàm số f(x) đồng biến.Từ (1) ta có: Vậy pt vô nghiệm

c ĐK:

Đặt pt có dạng:

Pt

Bài 4 Giải pt:

Giải: ĐK:

Ta có:

Hàm số lồi trên D

Vậy pt nếu có nghiệm sẽ có không quá hai nghiệm, ta có

Do đó pt có hai nghiệm x = 0 và x = 3

Bài 5 Giải pt :

Giải : ĐK :

Viết lại pt dưới dạng :

Ta có :

Hàm số lồi trên D Vậy pt nếu có nghiệm sẽ không quá hai nghiệm

Lại có : Do đó pt có hai nghiệm x = 0 và x = 1

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên ta sử dụng định lý Rôn Ở ví dụ thứ nhất ta có

thể thực hiện bài toán bằng phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình bậc 4, nhưng đối với ví dụ thứ hai ta sẽ nhận được một pt bậc 8, khi đó cho

dù nhẩm được 2 nghiệm x = 0 và x = 1 thì chúng ta vẫn phải thực hiện tiếp việc giải một pt bậc 6 và điều này hoàn toàn không khả thi để từ đó thấy được tính ưu việt của phương pháp đạo hàm đối với bài này

Bài tập tham khảo thêm : Giải các pt sau :

c f

Bài 6 Tìm m để pt: có nghiệm

Giải: Cách 1: Dùng tam thức bậc 2.

Cách 2: Đặt ,

Từ bbt

Bài 7 Tìm m để pt : có nghiệm

Giải: Đặt với

Từ bbt

Và

Xét hàm số với

Từ

Bài 8 Cho pt: Tìm m để pt có nghiệm duy nhất

Pt có nghiệm duy nhất

Bài 9 Tìm m để các pt sau đây có nghiệm.

Giải:

a, Đặt ;

pt

, không phải là nghiệm của pt)

Từ bbt suy ra để pt có nghiệm khi

b, Nhận thấy x = 0 là nghiệm của pt(1)

Xét thì x = 0 không phải là nghiệm

Từ bbt

Từ bbt với và thì pt có nghiệm.

Nhận xét : Áp dụng phương pháp khảo sát chiều biến thiên của hàm số.

Giả sử hàm số đơn điệu trên (a ;b) thì trên (a ;b) phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm

Khi gặp pt vô tỷ có chứa tham số m, ta biến đổi pt ấy về dạng (*)

+ Phương trình (*) có nghiệm m thuộc miền giá trị của hàm số

+ Số nghiệm của (*) bằng số giao điểm của đồ thị và đường thẳng

Bài 10 Tìm a để pt: có nghiệm duy nhất

Giải:

Pt có nghiệm duy nhất

Bài 11 Giải và biện luận phương trình.

Xét hàm số

= hàm số đồng biến

pt

3.2 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải bất phương trình

Bài 1 Giải bất pt:

Giải:

TXĐ :

Nhận thấy

đã cho tương đương với

Vậy nghiệm của bpt là

Bài 2 Giải bất pt :

Giải : ĐK :

Viết lại bất pt dưới dạng :

Xét hàm số Ta thấy ngay hàm số đồng biến trên

Khi đó bất pt được biến đổi như sau :

Vậy nghiệm của bất pt là

Bài 3 Giải bpt

Giải: ĐK :

Xét hàm số

Vậy bpt có nghiệm

Bài tập tham khảo thêm : Giải các bất pt :

a) b) Giải bất pt có chứa tham số ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Xét hàm số y = f(x,m) :

- Tìm TXĐ

- Tính y’, gpt y’ = 0

- Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 2 : Kết luận cho các trường hợp sau :

Bài 4 Tìm m để bpt thoả mãn

Từ bbt

Bpt

Bài 5 Cho bpt: Tìm m để bpt có nghiệm

Giải: ĐK: đặt ,

có nghiệm

có nghiệm

,

Từ bbt suy ra bpt có nghiệm

Bài 6 Cho bpt: Tìm a để bpt nghiệm đúng

Đặt

;

Nhận xét: - Một số bài phải dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2

Trong khi đó định lý đảo đã bỏ khỏi chương trình học phổ thông

- Ưu điểm của tính đạo hàm ta tìm được chính xác miền giá trị của biến số phụ cũng như của hàm số, trên cơ sở đó tìm được điều kiện của tham số

Bài 7 Tìm m để bpt sau có nghiệm

Giải:

Đặt

Khi

Để bpt có nghiệm thì

Bài 8 Cho bpt

Tìm m để bpt nghiệm đúng thoả mãn điều kiện:

Giải: Chia cả hai vế của bđt cho

Bpt

Bpt

Với t = 1 thì bpt thoả mãn với mọi m

Xét hàm số với t > 1

Nhận xét: Khi dạy học phần này cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt bài toán

tìm điều kiện của tham số để bpt có nghiệm và bpt có nghiệm thoả mãn một điều kiện nào đó

Bài 9 Tìm a để nghiệm của bất phương trình:

chứa đoạn

Giải: * Đk cần:

Giả sử bpt đã cho đúng

Đặt

Khi đó ta có

Vậy đk cần phải tìm là a < -1

* Đk đủ : Giả sử a < -1

Ta có

đồng biến trên

Vậy đều là nghiệm của bpt

Vậy a < -1 là điều kiện cần và đủ để nghiệm bpt chứa đoạn

Bài 10 Tìm x để

Đặt

, hàm số t đồng biến trên

với Xét hàm số với

Từ

Vậy

3.3 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ phương trình

Bài 1 Giải hệ pt:

Giải: ĐK:

Hpt

Xét hàm số Hàm số đồng biến trên

hàm số nghịch biến trên D

Do đó pt f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất nhận thấy x = 1 thoả mãn pt

Vậy hệ pt có nghiệm x = 1 và y = 0

Bài 2 Giải hpt :

Giải: Thế (2) vào(1) ta được :

Đặt :

H/số đồng biến trên R

Từ

Vậy hệ pt có nghiệm và

Bài tập tham khảo thêm: Giải các hệ pt:

Bài 3 Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Giải: Đặt Ta được hệ

Hệ đã cho có nghiệm hệ sau đây có nghiệm

(*)

Nhận xét: Có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai để làm bài này.

Bài 4 Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ pt

Xác định a để xy nhỏ nhất

Giải: Đặt Ta có hệ pt

ĐK để hệ có nghiệm

khi

Bài 5 Cho hệ pt Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm

Giải: Hpt

Hệ có nhiều hơn hai nghiệm có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bbt có 3 nghiệm

Bài 6 Xác định giá trị âm của a để hpt : có nghiệm duy nhất

Giải: Ta có hệ pt :

Tương tự : (1)

Mặt khác (1) – (2)

(x-y)(xy+x+y)=0

Do 0 < x < y và 0 < y < x xy+x+y>0

Hpt

Xét

Vì a < 0 nên đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = f(x) đúng 1 lần Do đó với mọi a < 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

3.4 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ bất phương trình

Bài 1 Tìm a để hệ bất pt sau đây có nghiệm :

Xét h/số :f(x) = 4

=> Hàm số nghịch biến trên R và f(2)=1

Từ bpt thứ 2 : 1+log

Từ bbt ta có: 2a

Vậy với thì hệ bất pt có nghiệm

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Qua ôn luyện hệ thống các bài toán vận dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số vào giải pt, bất pt, hệ pt và hệ bất pt cho học sinh tôi nhận thấy học sinh tự tin hơn khi làm những bài tập dạng này, dễ dàng định hướng và xác định

được các hàm số cần xét tính đơn điệu Quan trọng hơn là học sinh không thấy

sợ những bài toán có chứa tham số, những bài toán biện luận Ngoài ra học sinh còn vận dụng phương pháp này vào các bài toán liên quan như tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng nào đó Và ở học sinh đã hình thành kĩ năng, chương trình làm một bài toán theo một sơ đồ bước giải

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận : Trên đây là phương pháp vận dụng đạo hàm vào giải pt, bất

pt, hệ pt và hệ bất pt Qua phương pháp này nhằm pháp triển tư duy qua việc giải một số bài tập toán Vận dụng phương pháp này vào trong giảng dạy giúp cho học sinh thấy được tổng quan về kiến thức toán học, nhận thức sâu sắc về toán học, tạo nên niềm đam mê và hứng thú học tập Mỗi giáo viên chúng ta hãy xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với năng lực hiện có của học sinh, đa dạng phong phú các thể loại nhằm luyện cho học sinh đầy đủ kiến thức, phân bậc hoạt động phù hợp và tạo nguồn cảm hứng sáng tạo trong mỗi học sinh

Lưu ý, trên đây là một số bài toán phù hợp với học sinh có nguyện vọng học chuyên sâu để thi đại học cao đẳng, luyện thi học sinh giỏi, luyện thi thử đại học ở các trường phổ thông trung học

Trong thực tế của từng địa phương, của từng trường phổ thông, mỗi giáo viên hãy trang bị cho bản thân một vốn kiến thức sâu rộng và vững chắc, đồng thời có những phương pháp giảng dạy mới phù hợp, thích ứng với đối tượng học sinh thông qua truyền thụ các kiến thức cơ bản và hệ thống bài tập phù hợp với năng lực học sinh nhằm phát triển tư duy cho học sinh và tăng hiệu quả trong giáo dục

3.2 Kiến nghị : Qua một số năm giảng dạy, bản thân cá nhân tôi nhận thấy lượng kiến thức trong chương trình toán THPT quá nhiều, nội dung chương trình chưa phù hợp với thực tế xã hội đang còn mang nặng hình thức lý thuyết

Vì vậy tôi xin có vài ý kiến đề xuất như sau:

- Cắt bỏ một số nội dung chương trình như: phép biến hình, thống kê Những phần này ta đưa vào chương trình đào tạo ở đại học, cao đẳng, trung cấp của các nghành nghề liên quan

- Tăng cường các bài toán mang tính ứng dụng thực tiễn để học sinh thấy toán học gần gủi và có ý nghĩa Và từ đó học sinh có nhu cầu học toán và khám phá toán học

Bài viết kết thúc ở đây Mong được sự góp ý kiến của mọi người để sáng kiến kinh nghiệm của tôi hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan SKKN này là của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác Tôi xin chịu trách nhiệm về bài viết này