Hàm số nghịch biến trên khoảng Đối với ví dụ trên học sinh dễ dàng tìm ra đáp án A Bây giờ ta thử đặt vấn đề nếu cho đồ thị hàm số thì có thể kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của
Trang 11 MỞ ĐẦU.
1.1 Lí do chọn đề tài.
Năm học 2017 – 2018 là năm học thứ hai môn toán được thi theo hình thức thi trắc nghiệm trong kỳ thi THPT quốc Việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ không những cho các em học sinh mà ngay bản thân tôi Hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phải có một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận
Chẳng hạn ta xem xét ví dụ sau:
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây đúng ?
A Hàm số đồng biến trên khoảng
B Hàm số nghịch biến trên khoảng
C Hàm số đồng biến trên khoảng
D Hàm số nghịch biến trên khoảng
Đối với ví dụ trên học sinh dễ dàng tìm ra đáp án A
Bây giờ ta thử đặt vấn đề nếu cho đồ thị hàm số thì có thể kết luận
về tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số không ?
Ta xét ví dụ sau:
Cho hàm số có đạo hàm trên R là hàm số
Biết hàm số có đồ thị như hình
bên Hàm số nghịch biến trên khoảng nào
trong các khoảng sau ?
Với bài tập này học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:
- Nhầm lẫn đây là đồ thị hàm số
- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị mà đây lại là đồ thị hàm số
Bài tập trên chỉ ở mức độ thông hiểu với những bài tập kiến thức ở mức độ vận dụng thấp hoặc vận dụng cao thì học sinh sẽ gặp những khó khăn gì?
Chẳng hạn ta xét bài tập sau:
( ĐềThi KSCL lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình vẽ
y
1 -2
-3
3
y
O
Trang 2Đặt , ,
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A
B
C
D
Trước các vấn đề trên trong quá trình ôn thi THPT quốc gia năm 2018 tôi thấy cần hệ thống lại một số lý thuyết, phân dạng bài tập, trình bày phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập và phát triển năng lực tư duy phân tích tổng hợp cho các em học
sinh chính vì vậy tôi chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập liên
quan đến đồ thị hàm số trong ôn thi THPT quốc gia tại trường THPT Tĩnh Gia 4”
1.2 Mục đích nghiên cứu của đề tài.
- Đề tài nhằm mục đích cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa đồ thị hàm số với các vấn đề của hàm số Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia 2017 – 2018
- Đề tài nhằm mục đích phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn toán trong trường phổ thông
- Đề tài cũng góp phần hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của trường THPT Tĩnh Gia 4 và của Sở giáo dục đào tạo Thanh hóa
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Do bị giới hạn về số trang của sáng kiến kinh nghiệm nên trong đề tài này tôi chỉ trích ra và trình bày một số bài toán về đồ thị hàm số liên quan đến hàm số như bài toán tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số; bài toán so sánh giá trị của hàm số; và một
vài bài toán khác
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ
sách, báo, mạng internet về các bài toán liên quan đế đồ thị hàm số
y
O
Trang 3- Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy; ôn thi THPT Quốc Gia ở
trường THPT Tĩnh Gia 4, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dò học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu
quả sử dụng đề tài nghiên cứu trong việc giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia năm học
2017 – 2018 của Trường THPT Tĩnh Gia 4
1.5 Những điểm mới của SKKN.
Theo tôi được biết, đã có một số đề tài viết về những bài toán liên quan đến đồ thị hàm số Nhưng theo quan điểm của cá nhân tôi trong tình hình hiện tại do sự đổi mới của hình thức thi trung học phổ thông quốc gia đối với môn toán,
đề tài của tôi là một quan điểm hoàn toàn mới về cách thức giải những bài toán như thế, cụ thể :
- Thứ nhất, sáng kiến kinh nghiệm này trình bày một cách có hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số , việc phân dạng bài tập cũng cụ thể
và đa dạng hơn , hệ thống câu hỏi và bài tập nhiều, tôi cũng cập nhật nhiều bài tập vừa thi thử của các trường THPT trong tỉnh Thanh Hóa giúp giáo viên các em học sinh có thêm nguồn tài liệu cần thiết
- Thứ hai, sáng kiến kinh nghiệm này đã đưa ra một cách thức, một phương pháp hoàn toàn mới so với phương pháp tự luận truyền thống để giúp giáo viên và học sinh hoàn thành nhanh nhất và đúng nhất những bài tập liên quan đến đồ thị hàm số đề cập trong đề tài này
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2 1 Cơ sở lí luận
Trong giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số và đạo hàm của nó có nhiều mối liên hệ chặt chẽ với nhau Điển hình là mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm, mối liên
hệ giữ sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm…
+) Mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
Định lý:
Cho hàm số có đạo hàm trên K.
a) Nếu với mọi thuộc K thì hàm số đồng biến trên K.
b) Nếu với mọi thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K [1]
Dựa vào đồ thì hàm số ta nhận thấy:
- Nếu thì thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số
nằm phía trên trục hoành
Trang 4- Nếu thì thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số
nằm phía dưới trục hoành
Từ đó ta có kết luận:
- Nếu thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành thì trên khoảng đó hàm số đồng biến
- Nếu thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành thì trên khoảng đó hàm số nghịch biến
+) Mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm:
Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì [1]
Từ đó ta suy ra:
Nếu hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ
Ngược lại, nếu hàm số liên tục, có đạo hàm tại và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ đồng thời đổi dấu khi đi qua thì là điểm cực trị của hàm số
Ngoài ra nếu đổi dấu từ + sang - khi đi qua thì là điểm cực đại của hàm số , nếu đổi dấu từ - sang + khi đi qua thì là điểm cực tiểu của hàm số
+ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Định nghĩa:
Cho hàm số xác định trên D.
Số M được gọi là GTLN của hàm số trên D nếu
và sao cho Kí hiệu
Số m được gọi là GTNN của hàm số trên D nếu và sao cho Kí hiệu [1]
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số
* Từ việc lập BBT của hàm số trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số
* Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn thì ta có thể tìm GTLN
và GTNN theo các bước sau :
- Tìm các điểm trên đoạn mà tại đó bằng 0 hoặc không xác định
- Tính các giá trị
- Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) của hàm số trên đoạn
Trang 52.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Tĩnh Gia 4, tôi thấy rằng trong các đề thi TNKQ hiện nay xuất hiện khá nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị hàm số
và chỉ ra các tính chất của hàm số Khi học sinh giải một bài toán nào đó liên quan đến đồ thị hàm số thì các em thường gặp phải một số vấn
đề khó khăn sau:
Thứ nhất là không ít học sinh do không nắm được các kiến thức liên quan và
không rèn luyện thường xuyên nên yêu cầu trên trở thành một yêu cầu khó Một số học sinh còn nhầm lẫn đồ thị hàm số với đồ thị hàm số
Thứ hai là vẫn còn một số học sinh nắm được phương pháp giải toán nhưng yếu
về kỹ năng đọc đồ thị mà đây lại là đồ thị hàm số Nên khi giải các bài toán sẽ cho kết quả sai, hoặc các em phải mất rất nhiều thời gian thì mới hoàn thành bài giải
Thứ ba là đa phần học sinh yếu về khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải
cho bài toán Vì thế khi đứng trước một bài toán mới các em rất lúng túng trong việc tìm hướng giải cho bài toán đó
Những khó khăn kể trên đối với học sinh sẽ được tháo gỡ nếu học sinh nắm được phương pháp giải từng dạng bài tập về đồ thị hàm số
2.3 Các giải pháp giải quyết vấn đề.
2.3.1 Dạng 1 Đồ thị hàm số và tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1 Cho hàm số xác định trên và
có đồ thị hàm số là đường cong như hình
bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng
B Hàm số đồng biến trên khoảng
C Hàm số đồng biến trên khoảng
D Hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải:
Cách 1: sử dụng bảng biến thiên.
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
0
- 0 + 0 - 0 +
y
x
-2 -1
Trang 6
Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số - Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì đồng biến trên - Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì nghịch biến trên - Nếu trong khoảng đồ thị hàm số vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó Quan sát đồ thị hàm số trên khoảng ta thấy đồ thị hàm số phần nằm dưới trục hoành nên ta chọn đáp án D Ví dụ 2 ( Đề minh họa của Bộ - 2018): Cho hàm số y f (x) Hàm số y f x có đồ thị như hình bên Hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng A 1;3 B 2; C 2;1 D ; 2
Lời giải: [3]
Nhìn đồ thị
Chọn đáp án C
Ví dụ 3 Cho hàm số có đạo hàm liên tục
trên và có đồ thị của hàm số như hình vẽ
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Hàm số đồng biến trên khoảng
B Hàm số đồng biến trên khoảng
C Hàm số đồng biến trên khoảng
D Hàm số nghịch biến trên khoảng
y
O -3
2
-2
3
-4
Trang 7Lời giải:
Vẽ đường thẳng (d): đi qua các điểm (-3; -2) , (1; -2), (3;-3)
Ta có
Dựa vào đồ thi ta nhận thấy:
+) Trên khoảng (-3; 1) đồ thị của hàm số
nằm phía dưới đường thẳng
(-3; 1) hàm số nghịch biến
+) Trên khoảng (1; 3) đồ thị của hàm số
nằm phía trên đường thẳng
(1; 3) hàm số đồng biến
Do đó ta chọn đáp án A
Bài tập luyện tập
Bài tập1 Cho hàm số xác định trên và có
đồ thị của hàm số như hình vẽ Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A Hàm số đồng biến trên khoảng
B Hàm số nghịch biến trên khoảng
C Hàm số đồng biến trên khoảng
D Hàm số nghịch biến trên khoảng
Đáp án: Chọn đáp án C
Bài tập 2 (Thi HK1 2017 -2018, THPT Lê Quý Đôn – Quảng Trị)
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và
có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên
Xét hàm số Mệnh đề nào sau
đây sai?
A Hàm số đồng biến trên khoảng
B Hàm số nghịch biến trên khoảng
C Hàm số nghịch biến trên khoảng
D Hàm số nghịch biến trên khoảng
Đáp án: Chọn đáp án B
y
O -3
2
-2
3
-4
y
O
-2
y
x O
-3 -2
Trang 8Bài tập 3 ( Thi HK1 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Bến tre)
Biết rằng hàm số có đạo hàm là và hàm
số có đồ thị như hình vẽ bên Khi đó nhận
xét nào sau đây là sai?
A Trên thì hàm số luôn tăng
B Hàm giảm trên đoạn
C Hàm đồng biến trên khoảng
D Hàm nghịch biến trên khoảng
Đáp án: Chọn đáp án B
Bài tập 4 Cho hàm số liên tục và xác định
trên Biết có đạo hàm và hàm số
có đồ thị như hình vẽ Xét trên ,
khẳng định nào sau đây đúng?
A Hàm số đồng biến trên khoảng
B Hàm số nghịch biến trên khoảng
C Hàm số nghịch biến trên khoảng
D Hàm số đồng biến trên khoảng
Đáp án: Chọn đáp án D
Bài tập 5 ( Thi thử 2017 – 2018, THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ)
Hình bên là đồ thị của hàm số Hỏi đồ thị
hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
A B
C D và
Đáp án: Chọn đáp án A
y
- O y
x
y
O
-2
Trang 92.3.2 Dạng 2 Đồ thị hàm số và cực trị của hàm số
Ví dụ 1 (Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Lương Văn Tụy – Ninh Bình)
Cho hàm số xác định trên và có đồ
thị hàm số là đường cong trong hình bên
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Hàm số đạt cực tiểu tại
B Hàm số đạt cực tiểu tại
C Hàm số đạt cực đại tại
D Cực tiểu của nhỏ hơn cựa đại
Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta thấy đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua nên là điểm cực đại của hàm số , đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua 0 nên là điểm cực tiểu của hàm số
Bảng biến thiên của hàm số
+ 0 - 0 +
Từ bảng biến thiên ta thấy cực tiểu của nhỏ hơn cựa đại của
Vậy ta chọn đáp án B
Ví dụ 2 Hàm số liên tục trên khoảng ,
biết đồ thị của hàm số trên như hình
vẽ Tìm số cực trị của hàm số trên
?
A 0 B 1 C 2 D 3
y
O
y
O -2
Trang 10Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm
Ta có
Do đó đồ thị hàm số có được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị
Khi đó đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm Nên hàm
Ta chọn đáp án B
Ví dụ 3 (Đề KSCL năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thái Bình)
Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ
thị của hàm số trên như hình vẽ Hàm
A 4 B 3 C 2 D 1
Lời giải
Ta có
Khi đó
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng (d)
cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt,
do đó phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Do đó ta chọn đáp án A
y
O
5
2
1
y
O
5
2
1
d
Trang 11Bài tập luyện tập.
Bài tập 1 Cho hàm số xác định trên và
có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A Hàm số đồng biến trên
B Hàm số đồng biến trên
C Hàm số có ba điểm cực trị
D Hàm số nghịch biến trên
Đáp án: Chọn đáp án C
Bài tập 2 ( Thi thử 2017 – 2018 , THPT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh)
Cho hàm số xác định trên và có đồ thị
của hàm số như hình vẽ
tại điểm nào sau đây
A B
C D
Đáp án: Chọn đáp án B
Bài tập 3 ( Toán học tuổi trẻ Số 483 (T9-2017))
Hàm số có đạo hàm , hình vẽ
bên là đồ thị của hàm số Hỏi hàm số
có bao nhiêu cực ?
A 0 B 1 C 2 D 3
Đáp án: Chọn đáp án B
[2]
y
O -1 a 1 2
y
O
y
O -2 -1 1
Trang 12Bài tập 4 ( Thi thử lần 1 năm học 2017 – 2018, THPT Chuyên Lam Sơn)
Cho hàm số , có đạo hàm Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau ?
A Hàm số đồng biến trên
B Hàm số đạt cực đại tại
C Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu
D Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
Đáp án: Chọn đáp án C
Bài tập 5: Hàm số có đạo hàm ,
hình vẽ bên là đồ thị của hàm số Tìm
điểm cực tiểu của hàm số trên đoạn
?
A và B và
Đáp án: Chọn đáp án C
2.3.3 Dạng 3 Đồ thị hàm số và so sánh các giá trị của hàm số
, tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ 1 ( Thi KSCL năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Cho hàm số Đồ thị của hàm số
như hình vẽ bên
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A
B
C
D
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số
y
O
y
O 1 2 3
y
O
Trang 13ta lập được bảng biến thiên của hàm số
Ta lại có
Ta cần so sánh và
Tương tự ta có
Quan sát đồ thị suy ra
Vậy Do đó ta chọn đáp án C
Ví dụ 2 ( Thi thử 2017 – 2018, THPT Ba Đình – Thanh Hóa)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm là y = f ’(x) Đồ
thị của hàm số y = f ’(x) như hình vẽ bên
Biết f(0) + f(3) = f(2) + f(5) Giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn lần lượt
là
A f(1), f(5) B f(2), f(0)
C f(2), f(5) D f(0), f(5)
Lời Giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số
- 0 + 0 +
y
O