(SKKN mới NHẤT) SKKN sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

nghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắcphục.Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số tr

Trang 1

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 3

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……… 19

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được hội đồng SKKN

Ngành GD huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C

Trang 2

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPTtỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tậptrong sách giáo khoa hiện hành và cũng không có bài tập nào trong sách giáokhoa tương tự như vậy làm cho nhiều học sinh khó khăn khi giải quyết vấn đề

Cụ thể:

Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho

Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): chodãy số xác định bởi .Tìm số hạng tổng quát và tính

giới hạn

Bên cạnh đó các vấn đề về dãy số như hai câu trong đề thì học sinh giỏibậc THPT môn toán tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất hiện trongcác đề thi THPT QG các năm trước đó nên nhiều học sinh không hứng thú vớinội dung này Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít và nếu có chủ yếu viếtcho học sinh theo chương trình THPT chuyên nên rất rộng, có bài vượt ngoài cơ

sở lý thuyết của sách giáo Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, do đónhững học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh ônthi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu để đọc phù hợp

Mục tiêu của tổ bộ môn toán trường THPT Thường Xuân 2 là phải xâydựng được chuyên đề về dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi của tỉnh nhà và bámsát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản

Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề này mà lại bám sátchương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, đồng

Trang 3

nghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắcphục.

Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” là cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu:

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau

Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm củahọc sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống và phân tích các bài tập

về dãy số một cách logic từ dễ đến khó

Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đẹp,

nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát và là phépbiến đổi điển hình của đại số và giải tích

Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy sốchánh sự gượng ép máy móc

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu về dãy số và các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân Để qua đóhình thành cách tìm số hạng tổng quát của một số dãy số thường gặp dựa vào sửdụng cấp số cộng và cấp số nhân

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp ghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tìm số hạngtổng quát cho một số dãy số thường gặp bằng cách sử dụng cấp số cộng, cấp sốnhân

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

* Nếu dãy số là cấp số nhân thì

* Nếu dãy số là cấp số nhân vơi thì tổng

Trang 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế nhưsau:

Trong năm học 2018– 2019 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương II tức làkhi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại

số và giải tích 11 chương trình cơ bản Tôi cho hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 05học sinh có lực học tương đương là nhóm 1 và nhóm 2 và đều là học sinh lớp11B1 trường THPT Thường Xuân 2 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong tiết

5 của buổi sáng thứ 2 tuần học thứ 21

Nhóm Tên học sinh được kiểm tra / điểm TB môn toán học kỳ 1( 2018-2019)

1 Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6) Sơn (6,5) H.Phương (5,8)

2 Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9)

(Bảng điểm học lực môn toán các học sinh ở học kỳ 1 năm học 2018-2019)

Với đề kiểm tra như sau:

Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:

Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:

Câu 3 (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:

Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)

Điểm

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa

và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân

Trang 5

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số

Giải

Từ công thức truy hồi đã cho suy ra là một cấp số cộng có và công sai

Kết luận

Để xác định số hạng tổng quát của dãy số thỏa mãn

Ta làm như sau nên dãy số là cấp số cộng với số hạngthứ nhất và công sai b nên

Bài 2 Cho dãy số xác định bởi công thức:

Giải

Từ công thức truy hồi đã cho suy ra là một cấp số nhân có và công

bội nên số hạng tổng quát là

Vậy

Kết luận

Để xác định số hạng tổng quát của dãy số thỏa mãn

Ta thấy dãy số

là cấp số cộng với số hạng thứ nhất và công bội b nên

Bài 3 Cho dãy số có

Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Giải

Theo đề bài suy ra

Trang 6

Cộng đẳng thức trên theo vế suy ra

Trong đó

Vậy:

Giải

Theo đề bài suy ra

Cộng đẳng thức trên theo vế suy ra

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là

Trang 7

Trong đó

Và tổng là tổng số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất , công bội

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là

Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bàitrên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bảnthân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân

Suy ra dãy số là cấp số nhân có , công bội

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

Kết luận: Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát

của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng:

Trong đó là các hằng số đã cho, là đa thức theo biến số n

* Nếu ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I

Trang 8

* Nếu ta phải tìm một đa thức có bậc bằng bậc của sao cho phương trình

Khi đó việc tìm sẽ trở thành tìm trong đó dãy số là một cấp số nhân

Bài 7 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi

Cộng đẳng thức trên theo vế ta được

b) Từ đề bài suy ra là đa thức bậc nhất ẩn nên ta xét đa thức

sao cho

Do đó

Trang 9

Đặt và

Suy ra là cấp số nhân có , công bội

mà Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

c) Từ đề bài suy ra là đa thức bậc hai ẩn nên ta xét đa

Trang 10

Cộng đẳng thức trên theo vế ta được

Trong đó tổng là tổng số hạng đầu của một cấp số nhân có phần tử thứ nhất , công bội

Xét

Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra

Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là

Trang 11

Do đo

Suy ra là cấp số nhân có , công bội

mà Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là

* Nếu và , ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8

* Nếu , , ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của sao cho

* Nếu , ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của cộng với 1sao cho

Vấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tựtương ứng

Giải

Theo đề bài , bậc bằng 2 bậc bằng 3

Trang 12

Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là

Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 7a.

Trang 13

Do đó là cấp số nhân có công bội nên

Giải

Theo đề , bậc của là 1 suy ra bậc của là 1

Xét hàm số sao cho

Trang 14

Mà nên ta phải có

Trang 15

Bài 15 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số

Trang 16

Và

Trang 17

Kết luận

: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi

sau:

Cách làm như sau: phân tích

nên là hai nghiệm phương trình Giả sử phương trình có hai nghiệm là

Trang 18

Từ giả thiết suy ra

Do đó

…

Cộng theo vế đẳng thức trên ta được

Bài 18 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi

Trang 19

Mà nên ta phải có

và

Theo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạngtổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi có dạng sau:

Trang 20

Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một

số bài tập tôi đã nắm được tình hình tiếp thu bài học Nhưng để có được sự kếtluận toàn diện nên giữa học kì II năm học 2018 – 2019 khi học sinh nhóm 1 đãhọc song các phần liên quan đến nội dung của đề tài này, nhóm 2 chưa đượchọc, sau đó tôi đã cho cả hai nhóm 1 và nhóm 2 ở phần khảo sát ban đầu cùnglàm bài kiểm tra 45 phút Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm trong quátrình triển khai đề tài còn nhóm 2 là nhóm đối chứng không tham gia trong việctriển khai đề tài

Nội dung đề kiểm tra

Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:

Trang 21

tự tin hơn khi làm bài kiểm tra ở lần 2 này.

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận:

Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình khátrở lên ở môn toán lớp 11 trong một số giờ dạy bồi dưỡng, chủ yếu là hướngdẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày Tôi thấy các em học sinh

đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy

số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy đó là một yêu cầu rất cần thiếtđối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung

Trong nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trong trường và một

số trường trong tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấy rằng việc chấmsáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biến sáng kiến trongngành được đưa lên trang web của ngành để các giáo viên trong các trườngTHPT có thể tìm hiểu và nghiên cứu đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạycủa giáo viên và nâng cao chất lượng học tập của học sinh

Với thời lượng hạn chế, tôi chưa thể mở rộng đề tài trong sáng kiến nàyđược, tôi sẽ tiếp tục phát triển đề tài này trong các năm tiếp theo Bên cạnh đótôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tàiđược hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho bồi

dưỡng học sinh giỏi môn toán phần dãy số và được lưu ở thư viện nhà trường đểcác đồng nghiệp và học sinh tham khảo

3.3 Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành

GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.

Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào

Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2

Kết quả đánh giá xếp

Năm học đánh giá

Trang 22

Tỉnh )

loại

(A, B,hoặc C)

xếp loại 1

Hướng dẫn học sinh tìm tòi và

2

Hướng dẫn học sinh THPT

Thường Xuân 2 sử dụng máy

tính Casio FX-570ES trong

Xác nhận của Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 22 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệmnày do tôi tự viết chứ không phải đi saochép Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!

Tác giả

Đỗ Văn Hào

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,3 MB