Chuyên đề tìm số phức thông qua các giả thiết bài toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ TÌM SỐ PHỨC THÔNG QUA CÁC GIẢ THIẾT BÀI TOÁN

Ⓐ Tóm tắt lý thuyết

Vấn đề ①: Thực hiện các phép tính về số phức

Phương pháp:

① Dạng đại số của số phức z a bi a b,

a : phần thực số phức z; b: phần ảo của số phức z ; i : đơn vị ảo ( i2  1)

② Các phép toán cộng, trừ, nhân các số phức: z1  a1 b i1 ; z2 a2b i2 (a a b b1, 2, ,1 2 )

Phép cộng 2 số phức: z z1 2 (a a1 2b b1 2) ( a b1 2a b i2 1)

Phép trừ của 2 số phức: z1 z2 (a1a2) ( b1b i2)

Số đối của số phức: z a bi ( ,a b ) là số phức    z a bi

Phép nhân của số phức:z z1 2 (a a1 2b b1 2) ( a b1 2a b i2 1)

③ Nhận xét:

Với mọi số thực k và mọi số phức z a bi,

(k a bi )ka kbi ; 0z0

Vấn đề ②: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua phép toán

Phương pháp:

① Số phức zlà biểu thức có dạng  2 

z a bi a bR i   Khi đó:

Phần thực của z là a , phần ảo của z là b và i được gọi là đơn vị ảo

② Đặc biệt:

Số phức z a 0i có phần ảo bằng 0được coi là số thực và viết là z a

Số phức z 0 bi có phần thực bằng 0được gọi là số ảo (hay số thuần ảo) và viết là zbi

Số i  0 1i 1i

Số:0 0 0ivừa là số thực vừa là số ảo

Vấn đề ③: Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình

-Phương pháp:

① Sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau

Cho hai số phức z1  a1 b i1 , z2 a2b i2 a a b b1, 2, 2, 2R Khi đó:

z z







② Số phức liên hợp, mo đun của số phức: Cho số phức z a bi

.Số phức liên hợp của z là z    a bi a bi( ,a b )

.Tổng và tích của z và z luôn là một số thực

z z  z z

1 2 1 2

z z z z

Mô đun của số phức 2 2

z  OM  a b

z  z z ; z  z

Ví dụ: Nếu hai số thực $x,y$ thỏa mãn x3 2 i y 1 4 i 1 24i thì xy bằng?

Ⓐ 3

Ⓑ 3

Ⓒ 7

Ⓓ 7

Lời giải

Chọn D

Ta có:

3 2 1 4 1 24

Vậy: x y 7

Ⓑ Bài tập

Mức độ 1

Câu 1: Cho hai số phức z1  2 4i và z2  1 3 i Phần ảo của số phức z1i z2bằng

A.5

B.3i

C.5i

D.3

Lời giải

Chọn D

Vậy phần ảo của số phức z1i z2 là3

Câu 2: Cho hai số phức z1  1 8i và z2  5 6 i Phần ảo của số phức liên hợp zz2iz1bằng

A.5

B.5i

C.5

D.5i

Lời giải

Chọn C

Suy ra z z2 iz1     5 6i  8 i 13 5  i z 13 5 i

Vậy phần ảo của số phức liên hợp zz2iz1 là5

Câu 3: Cho hai số phức z1  2 3i và z2 6 i Phần ảo của số phứcziz1z2bằng

A.4i

B.4

C.8i

D.8

Lời giải

Chọn D

1 2 3 1 2 3 3 2 3 2

 

2 6 2 6 1 2 3 2 6 3 8

Vậy phần ảo của số phứcziz1z2là8

Câu 4: Cho hai số phức z1  1 2i và z2  2 3i Phần ảo của số phức liên hợpz3z12z2

A.12

B 12

C.1

D 1

Lời giải

Chọn B

Ta có z3z12z23 1 2  i 2 2 3 i  3 6i   4 6i  1 12 i

Số phức liên hợp của số phức z3z12z2là z   1 12i  1 12i

Vậy phần ảo của số phức liên hợpcủa số phức z3z12z2là 12

Mức độ 2

Câu 1: Cho số phức z a bi a b ;   thỏa mãn iz2z 1 i Tính S ab

A.S  4

B.S 4

C.S 2

D.S  2

Lời giải

Chọn A

Đặt z a bi a b ;  , suy ra z  a bi

Ta có iz2z  1 i i a bi   2 a bi      1 i b ai 2a   2  2b 2i

Câu 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 10zz và z có phần ảo bằng ba lần phần thực?

A.0

B.1

C 2

D.3

Lời giải

ChọnC

Đặt z a bi a b ;  , suy ra z  a bi

Từ  1

Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b3a  2

Từ  1 và  2 , ta có

2 20

6 3

a

b





0 0

a b





 

Vậy có 2 số phức cần tìm là: z 2 6i và z0

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn 5z    3 i  2 5i z Tính  2

3 1

P i z

A.P144

B.P3 2

C.P12

D.P0

Lời giải

ChọnC

Đặt z a bi a b ;  , suy ra z  a bi

Theo giả thiết, ta có 5z    3 i  2 5i z 5a bi     3 i  2 5ia bi 

5 3 5 1 2 5 5 2

1 2

  

Do đó  2

3i z1  12i Vậy  2

3 1 12 12

P i z   i 

Câu 4: Cho số phức z a bia b,   thỏa mãn z  2 i z 1 i 0 và z 1 Tính P a b

A.P 1

B.P 5

C.P3

D.P7

Lời giải

Chọn D

Đặt z a bi a b ;  , suy ra z  a2b2

Ta có: z  2 i z 1  i 0 a  2 b 1i z i z

 

 

2

  

 

Từ  1 và 2 suy raa b     1 0 b a 1 Thay vào  1 ta được

2

2

2 3 0



 Suy ra b4

Do đó z 3 4i có z  5 1 (thỏa điều kiện z 1)

Vậy P    a b 3 4 7

Mức độ 3

Câu 1 Tính giá trị của biểu thức  2020

1

A i

A A21010

B A 21010

C A21010i

D 1010

2

A  i

Lời giải

Chọn B

Ta có:  2

1i 2i Suy ra  2 1010  1010

1010 1010 1010

Câu 2 Trong mặt phẳng Oxy, gọi A,B,C.lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 3 ,i z2  2 2 ,i

z   i Gọi Glà trọng tâm của tam giác ABC Hỏi G là điểm biểu diễn số phức nào trong các số

phức sau:

A z  1 2i

B z 2 i

C z  1 i

D z 1 2i

Lời giải

Chọn A

Vì A0; 3 ,  B 2;2 , C   5; 1 G 1; 2

Câu 3 Cho các số phức z , 1 z thoả mãn 2 z1z2  3, z1  z2 1 Tính z z1 2z z1 2

A z z1 2z z1 20

B z z1 2z z1 2 1

C z z1 2z z1 2 2

D z z1 2z z1 2 1

Lời giải

Chọn B

Ta có 2         2 2

z z  z z z z  z z z z  z  z z z z z

2 2

1 2 1 2

3 1 1 z z z z

Mức độ 4

Câu 1 Xét các số phức zthỏa mãn z  2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các

số phức w 4

1

iz z





 là một đường tròn có bán kính bằng

A 34

B 26

C 34

D 26

Lời giải

Chọn A

1

iz

z



Đặt w x yi x y ,  

Ta có 2  2  2 2

2 x  y1  x4 y  2 2  2 2

2 x y 2y 1 x 8x 16 y

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34

Câu 2 Cho số phức z thỏa mãn z 3 5 và z2i   z 2 2i Tính z

A z 5

B z  5

C z 2

D z  10

Lời giải

Chọn D

Đặt z a bi a b, ,  

Ta có:

( 2) ( 2) ( 2)

( 2) 2

2

1

a

 





 

Thế a1vào (*) ta được 2 2

16b 25b 9 2

1 9 10

z

Câu 3 Cho số phức z có phần ảo gấp hai phần thực và 1 2 5

5

z  Khi đó mô đun của z là:

A 4

B 6

C 5

5

D 2 5

Lời giải

Chọn C

Đặt z a bi  với a ,b Do z có phần ảo gấp hai phần thực nên b2a

 2  2

Do đó 1 2 5

z   i z 

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi - Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí