Chuyên đề tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng Toán 12

Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C , nên ta chọn môt vectơ chỉ phương.. Vì đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng d1 và d 2 nên ta chọn môt vectơ chỉ ph[r]

CHUYÊN ĐỀ TÌM VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

TOÁN 12

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A x A;y z A; A, B x B;y z B; B và C x C;y C;z C

Ta có: ABx Bx A;y By z A; Bz A

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB ,

2 2 2

I

I

I

x x x

y y

I y

z z z



 







 







 



Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC,

3 :

3 3

G

G

G

x

G y

z

 

 





 

 





 

 



Nếu ux y z; ;  u xi yjzk

 1; 1; 1

u x y z cùng phương với vx y z2; 2; 2 v 0 khi và chỉ khi

x kx

z kz







  

 



Đường thẳng  đi qua hai điểm A và B thì  có một vectơ chỉ phương là AB hoặc BA

Nếu u là một vectơ chỉ phương của  thì ku k 0 cũng là một vectơ chỉ phương của  , do đó một

đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ

phương của đường thẳng kia

Nếu đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng   thì vectơ chỉ phương u của đường thẳng  chính là

vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng   , tức un

Đường thẳng  đi qua điểm M x y z và có một vectơ chỉ phương là  0; 0; 0 u a b c; ;  có phương trình

tham số

0

0

0 :

x x at

y y bt

z z ct

 





   

  



và

phương trình chính tắc :x x0 y y0 z z0 abc 0 

Điểm M thuộc đường thẳng  có PTTS

0

0

0 :

x x at

y y bt

z z ct

 





   

  



thì M x 0at y; 0bt z; 0ct

Cho hai mặt phẳng   :AxBy Cz  D 0 và  ' :A x' B y C z'  ' D'0

Với điều kiện A B C: : A B C' : ' : ' Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng Đường thẳng d gồm những điểm M x y z vừa thuộc  ; ;    vừa thuộc  '

, nên tọa độ của M là nghiệm của hệ 0

Ax By Cz D

A x B y C z D



 Khi đó u d  n n, ' với nA B C; ; 

và n'A B C'; '; ' là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Ox là i 1;0;0

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oy là j 0;1;0

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oz là k 0;0;1

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ

O và điểm M1; 2;1 

A u1 1;1;1

B u2 1;2;1

C u3 0;1;0 D u4  1; 2;1

Lời giải

Chọn B

Ta có: OM 1; 2;1  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng OM

II BÀI TẬP

Mức độ 1

3; 2; 1

B   có tọa độ là

A 1; 2; 2

B 1; 2; 2 

C 2; 4; 4 

D 2; 0;1 

Lời giải

Chọn A

Ta có: AB2; 4; 4   AB 2u với u  1;2;2

Ta chọn u  1;2;2 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A1; 2;3 và

3; 2; 1

B  

đường thẳng  đi qua C và song song với AB có tọa độ là

A 3;3;3

B 1; 1;0 

C 1; 1;1 

D 3 1; ; 2

2 2

 

 

Lời giải

Chọn B

Vì  song song với AB, nên AB là một vectơ chỉ phương của 

Ta có: AB3; 3;0 AB3u với u  1; 1;0

Ta chọn u 1; 1;0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 

vuông góc với mặt phẳng   :x2y3z 4 0 có tọa độ là

A 5;3;1

B 1;3; 4 

C 1; 2;3 

D 2;3; 4 

Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng   có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 

Vì    vectơ chỉ phương của : un 1; 2;3 

Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

0 : 2

x

y t







  

  



Một vectơ chỉ phương của đường thẳng

 có tọa độ là

A 1;0; 1 

B 0;1;1 

C 0;1; 2 

D 0; 2; 2 

Lời giải

Chọn D

Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng , ta thấy  có một vectơ chỉ phương u 0;1; 1 

Chọn u'2u 0; 2; 2  là một vectơ chỉ phương khác của 

z

 

   

 Một vectơ chỉ phương của

đường thẳng  có tọa độ là

A 1; 3;3 

B 1;3; 3 

C 2; 3;0 

D 2; 3;1 

Lời giải

Chọn D

z

          

  Dựa vào phương trình chính tắc của đường thẳng, ta

thấy  có một vectơ chỉ phương u 2; 3;1 

Mức độ 2

Oy và mặt phẳng Oxz Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng P P1 2

A 6; 8;7 

B 6; 7;8 

C 6;7;8 

D  6; 7;8

Lời giải

Chọn B

Ta có:

1

P là hình chiếu vuông góc của điểm P6; 7;8 lên trục OyP10;7;0 

2

P là hình chiếu vuông góc của điểm P6; 7;8 lên mặt phẳng OxzP26;0;8 

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng P P1 2 là PP1 26; 7;8  

trục Oy và trục Oz Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng T T 1 2

A 0; 5;6 

B 0; 6;5 

C 4; 5; 6  

D 0;5; 6 

Lời giải

Chọn A

Ta có:

1

T là hình chiếu vuông góc của điểm T4;5; 6 lên trục OyT10;5;0 

2

T là hình chiếu vuông góc của điểm T4;5; 6 lên trục OzT20;0;6 

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng T T là 1 2 T T1 20; 5;6  

và vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A B C, , có phương trình là?

x  y  z

x  y  z



 

x  y  z

Lời giải

Chọn D

Ta có AB1; 4;3 ,  AC2; 1; 3   AB AC, 15;9;7 

Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A B C, , , nên ta chọn môt vectơ chỉ phương

15;9;7

u 

Vậy đường thẳng  đi qua A1;3; 2 và nhận u15;9;7 làm một vectơ chỉ phương có phương trình

chính tắc là: 1 3 2

x  y  z

  và 2: 2 2

3

x t

z





   



 



có phương trình là

5 2

x t

 





   

  



B : 2 2

5

x t

z

 





   

 



C

4

5

 





   

  



D

4

1 5

x

 





    

  



Lời giải

Chọn C

1

d có một vectơ chỉ phương là u1  1;1; 2 

2

d có một vectơ chỉ phương là u2 1; 2;0  Ta có: u u1, 2     4; 2;1

Vì đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng d và 1 d nên ta chọn môt vectơ chỉ phương 2

1, 2 4; 2;1

u u u   

Vậy đường thẳng  đi qua A0; 2;5 và nhận u    4; 2;1 làm một vectơ chỉ phương có phương

trình tham số là:

4

5

 





   

  



nhận vectơ

 ; 2; 

u a b làm vectơchỉ phương Tính a b

A 8

B 8

C 4

D 4

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng dcó một vectơ chỉ phương là v2;1; 2

 ; 2; 

u a b làm vectơ chỉ phương của d suy ra u và v cùng phương nên 2 4

4

a

b





    



Mức độ 3

d    

Đường thẳng  đi qua A, vuông góc và cắt d có phương trình là



  

  

  



Lời giải

Chọn A

Gọi giao điểm của  và d là B t 1; ; 2t t1 Khi đó u ABt t t, , 2 3

Vì đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d có u d 1,1, 2 thì:

t t t    t u 

Phương trình đường thẳng  thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 2 1 1

x y z



 Gọi d là đường thẳng đi qua M , cắt

và vuông góc với  Khi đó, vectơ chỉ phương của d là

A u0;3;1

B u 2; 1;2 

C u   3;0;2

D u  1; 4; 2

Lời giải

Chọn D

Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d khi đó

( ) :2P x 2 1 y 1 1 z0  0 2x   y z 5 0

PTTS của

1 2

z t

 





    

  



Gọi ( )P  M' suy ra tọa độ của M’ là nghiệm của hệ

1 2

3 3 3

M

z t

x y z

 





    



Khi đó đường thẳng d sẽ đi qua MM’ và VTCP của d là véc tơ ' 1; 4; 2

MM    

  bà véc tơ (1; 4; 2)

u   là một VTCP của d

1

:

 

 Điểm nào dưới đây thuộc d?

A P2; 1;1 

B Q0; 1;1 

C N0; 1;2 

D M 1; 1;1

Lời giải

Chọn B

Phương trình tham số đường thẳng 1  

1 :

5 2

 





  



, với vectơ chỉ phương u 1;1; 2 

Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng d tại 1 B Khi đó B1t t; ;5 2 t

 ; ;3 2 

AB t t  t

Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d nên 1 ABd1AB u 0

3 2  2 0 1

       

Khi đó B2;1;3

Phương trình đường thẳng d đi qua A1;0;2và có vectơ chỉ phương AB 1;1;1 là:

x  y z

Nhận thấy Q0; 1;1 d

:

 Đường thẳng d’ đối xứng với d qua mặt phẳng  P có phương trình là

x y z

 



x  y  z



x  y  z

x y z

Lời giải

 

I  d P I1;1;1

Lấy A0; 1;2 d Tìm A’?

Đường thẳng AH qua A có vectơ chỉ phương u AH n P 1;1;1 : 1

2

x t







  



 ; 1 ; 2 

Mà H P        t  1 t 2 t 3 0 2

3

t

 

2 1 8

; ;

3 3 3

H  

  

Ta có ' 4 1 10; ;

3 3 3

1 2 7 ' ; ;

3 3 3

    ' : 1 1 1



Đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và   có phương trình chính tắc là?

A

2

1 3 2

x t





   



  



x  y  z



 



x  y  z



Lời giải

Chọn B

  có một vectơ pháp tuyến là n 2;1; 1 

  có một vectơ pháp tuyến là n 1;1;1 Ta có: n n,   2; 3;1 

Vì đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và   nên  có một vectơ chỉ phương

, 2; 3;1

u n n  

Gọi M là giao điểm của hai mặt phẳng   và   , thì M và tọa độ M là nghiệm của hệ phương

1 0

x y z

x y z

   



    

 , cho x0 ta được hệ sau:

      

Vậy M0; 1;2  Đường thẳng  đi qua M0; 1; 2  và nhận u2; 3;1  làm một vectơ chỉ phương

có phương trình chính tắc là: : 1 2

x y z



Mức độ 4

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3 3 2

2

:

 và mặt phẳng  P :x2y3z 5 0 Đường thẳng vuông góc với  P , cắt d 1

và d có phương trình là 2

x  y  z

 

x  y  z

x  y  z

Lời giải

Chọn C

Gọi  là đường thẳng cần tìm Gọi M   d1; N   d2

Vì Md1 nên M3t;3 2 ; 2 t  t,

vì Nd2 nên N5 3 ; 1 2 ;2 s   s s

2 3 ; 4 2 2 ;4 

MN   t s  t s  t s ,  P có một vec tơ pháp tuyến là n1;2;3;

Vì   P nên n MN, cùng phương, do đó:





1 2

s t





  



 

1; 1;0 2;1;3

M N



 



 đi qua M và có một vecto chỉ phương là MN 1;2;3

Do đó  có phương trình chính tắc là 1 1

x  y  z

góc và cắt đường thẳng : 4 2 5

x y z



x  y  z



C 1 1 1

x y z



x  y  z



Lời giải

Chọn B

 vectơ chỉ phương u d   1;1;1 Gọi đường thẳng cần tìm là d’ và d' d  H

Vì H d H4t;2  t; 5 t

3 ;3 ; 6 

AH  t   t t

Ta có AHu d AH u d             0 t 3 3 t 6 t 0 3t 6 0 t 2

Phương trình d’ đi qua A1; 1;1  và nhận AH1;5; 4 làm vectơ chỉ phương là

' :

 



 P : 2x   y z 1 0 Phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của AB lên mp  P là

A

1

2 3

1 2

 



  



   



B

1

3

1 2

y

 



 



  



C

1

2

1 2

y

 



 



   



D

1

4 2

1 2

 



  



  



Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng  P có vecto pháp tuyến n P 2; 1;1 

Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của Avà B lên mp  P

+ Đường thẳng qua A vuông góc với  P có phương trình tham số là

1 2 3 2

  



  



   



Tọa độ A’ là nghiệm

của hệ phương trình

1 2 3 2

x y z

  



  



   



    



            t 1 A' 1; 2; 1  

+ Đường thẳng qua B vuông góc với  P có phương trình tham số là

3 2 '

7 '

18 '

  



  



   



Tọa độ B’ là nghiệm

của hệ phương trình

3 2 '

7 '

18 '

x y z

  



  



   



    



2 3 2 't 7 t' 18 t' 1 0

            t 5 B' 7; 2; 13  

+ Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’, nhận A B' '6;0; 12  làm vecto chỉ

phương, có phương trình tham số là

1 2

1 2

y

 



 



   



 và mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 1 0 Gọi d’ là hình chiếu của đường thẳng dlên mặt phẳng ( )P , một véctơ chỉ

phương của đường thẳng d’ là

A u3 (5; 16; 13) 

B u2 (5; 4; 3) 

C u4 (5;16;13)

D u1 (5;16; 13)

Lời giải

Chọn D

d      

 dđi qua điểm M(1;1; 2)và có một véctơ chỉ phương u(1; 2; 1)

Ta có ( ) : 2P x y 2z  1 0 n P (2;1; 2)

Gọi ( )Q là mặt phẳng chứa đường thẳng dvà vuông góc với mặt phẳng ( )P

Ta có n Q [ ,u n P](5; 4; 3) 

Mặt phẳng ( )Q đi qua điểm M(1;1; 2)và có véctơ pháp tuyến n Q (5; 4; 3) 

Suy ra ( ) : 5Q x4y3z 5 0

Ta có ( )P ( )Q d'

Xét hệ phương trình 5 4 3 5 0

x y z





Đặt

1 5

13 13

15 16

13 13

n

   







     









vậy một véctơ chỉ phương của đường thẳng d’ là u1 (5;16; 13)

2 2 1

 và mặt cầu

    2  2 2

S x  y  z  Gọi là đường thẳng đi qua A2;1;3, vuông góc với đường

thẳng dvà cắt  S tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất Khi đó đường thằng có một véctơ chỉ phương

là u1; ;a b Tính a b

A 4

B 2

C 1

2



D 5

Lời giải

Chọn D

Gọi   là mặt phẳng đi qua Avà vuông góc d Suy ra   : 2x2y  z 3 0

 đi qua Avà vuông với dnên nằm trong  

Vì cắt  S tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất nên đi qua tâm K của đường tròn giao tuyến của

  và  S

Ta có: K là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu lên   nên 23 14 47; ;

9 9 9

 

Khi đó: 5 5 20  

9 9 9

AK   u

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí