(SKKN mới NHẤT) SKKN một vài ứng dụng của bài toán gốc trong việc ra đề và giải toán hình học không gian

Cùng với xu hướng thi THPT Quốc Gia theo hình thức trắc nghiệm, mọi vấn đề của toán THPT nói chung được khai thác một cách tối đa, các lời giải, cách tiếp cận rất phong phú và đa dạng, t

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GỐC TRONG VIỆC RA ĐỀ VÀ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Nguyễn Thanh Hải Chức vụ: Giáo viên

SKKN môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

MỤC LỤC

Nội dung Trang

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học không gian cổ điển là vấn đề khó của toán THPT Không chỉ đối với người học mà còn có những khó khăn nhất định đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy phần này cho học sinh

Cùng với xu hướng thi THPT Quốc Gia theo hình thức trắc nghiệm, mọi vấn

đề của toán THPT nói chung được khai thác một cách tối đa, các lời giải, cách tiếp cận rất phong phú và đa dạng, trong đó những lời giải, những hướng tiếp cận nhanh gọn, nhạy bén luôn được đặt lên hàng đầu, những phương pháp những kỹ năng đó cần được hệ thống để tôi luyện cho các thế hệ học sinh Hình không gian

cổ điển xoay quanh những bài toán tính góc, khoảng cách, thể tích, mặt cầu… là những bài toán làm thí sinh mất rất nhiều thời gian, bởi phải vẽ hình (hoặc vẽ thêm hình) và đặc biệt máy tính cầm tay hầu như không có tác dụng đối với dạng toán này

Năm học 2017-2018 chúng ta tiếp tục thực hiện đổi mới phương pháp dạy học Góp phần thuận lợi cho học sinh trong quá trình tiếp thu và chủ động chiếm lĩnh kiến thức Trong phạm vi bài viết này, tôi xin đưa ra một vài ý tưởng đóng góp cho việc giải toán hình học không gian: “Một vài ứng dụng của bài toán gốc trong việc ra đề và giải toán hình học không gian”, theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy học, giúp các em phát triển năng lực tư duy và phát hiện vấn đề một cách mạch lạc, chính xác, hiệu quả, nhanh gọn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung chương trình hình học THPT, các bài toán dành cho học sinh khá, giỏi từ đó xây dựng các thao tác cần thiết để giúp học sinh quy lạ về quen, tiếp cận bài toán nhanh chóng hiệu quả, đồng thời là cơ sở để giáo viên

“chế” ra những bài tập hay, lạ, độc đáo kích thích hứng thú học tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:

- Phương pháp giải toán dựa vào các bài toán gốc (là những bài toán rất gần gũi, có thể là những ví dụ hoặc bài tâp trong SGK…) giúp cho người học có cách tiếp cận vấn đề thật nhanh, qua vài động tác có thể chuyển về dạng toán quen thuộc

và dần hình thành nên các kỹ năng, phương pháp giải toán phong phú cho bản thân

- Cũng trên cở sở đó, giáo viên có thể thêm bớt giả thiết, hoặc chuyển đổi các giả thiết tương đương để có được bài toán mới, điều này thực sự kích thích khả năng sáng tạo của mỗi người và tạo hứng thú học tập cho học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn

- Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thông qua việc dạy và học phân môn Hình học ở THPT, bản thân rút ra một số nhận xét và phương pháp giải toán giúp học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài

- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh, minh chứng cho thấy khả năng giải quyết vấn đề nhanh gọn của học sinh trong giải toán hình không gian

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

- Hình không gian cổ điển là vấn đề khó đồng thời cũng là nơi phát huy tối

đa óc quan sát, tư duy trừu tượng của học sinh Nó khó khăn ngay bước đầu vì đề bài thường rất nhiều giả thiết, nhớ và liên kết các giả thiết lại với nhau là một vấn

đề khó cho học sinh, sau đó thì đến vẽ hình (nét đứt, nét liền, các đường chồng

chéo, cắt hay không cắt…), chưa kể đến mấu chốt bài toán là xác định chân đường cao, xác định được chân đường cao là yếu tố vô cùng quan trọng trong định

hướng và giải quyết bài toán

- Các bài tập SGK của phần này ở mức đơn giản, hoặc nếu có khó thì thường lời giải rất dài dòng, gây khó cho học sinh và ảnh hưởng đến tốc độ làm bài khi học sinh đi thi

- Thông thường các dạng toán đều cho chân đường cao hình chóp, lăng trụ Nhưng những câu dành cho học sinh khá- giỏi (tương ứng trong đề thi là câu VD, VDC) thì lại thường không cho chân đường cao, buộc học sinh phải kết nối các giả thiết, kẻ vẽ thêm hình

- Do đó tôi luôn luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới, để truyền dạy cho học sinh, một phương pháp đơn giản dễ làm, một phương pháp mà học sinh cảm thấy phấn chấn khi học, một phương pháp giải quyết nhanh gọn nhờ quy lạ về quen Khẳng định cho các em thấy phải nắm vững kiến thức cơ bản, bám sát chương trình SGK, không sa đà vào những kiến thức “cao siêu” – xa rời chương trình toán phổ thông

- Học sinh rất thích thú, cảm thấy phấn chấn khi giải được bài toán khó mà chỉ bằng vài bước phân tích đưa về ngay ví dụ trong SGK đã học mà lâu nay cứ

nghĩ là phải dùng kiến thức cao siêu Điều này mang đến sự tự tin cho học sinh và tạo hứng thú nghiên cứu, tìm tòi, phát triển những bài tập, ví dụ trong SGK

- Giáo viên có thêm nhiều ý tưởng để ra đề, sáng tạo các bài tập phong phú

mà không lo kiến thưc vượt ra ngoài chương trình toán phổ thông

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Mảng kiến thức mà đề tài nghiên cứu thuộc lĩnh vực tư duy trừu tượng cao,

là kiến thức trọng tâm của toán phổ thông Lượng kiến thức khai thác là rất nhiều

và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽ làm cho các em thấy lan man, mất phương hướng, chán nản, chứ chưa nói đến sau khi học xong các em được những phương pháp nào, kĩ năng gì Do vậy ở phần này người giáo viên cần phải có hệ thống bài tập minh hoạ cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toán quan trọng Đặc biệt làm cho các em phải cảm thấy tự tin khi các gặp những bài toán mà chân đường cao bị dấu

- Những dạng toán chân đường cao không cho trước luôn gây khó cho học sinh vì không có chân đường cao thì cũng không viết vẽ hình như thế nào, tính khoảng cách ra sao, dịch chuyển khoảng cách về đâu, ngay cả gắn hệ trục tọa độ vào cũng không biết đặt gốc vào điểm nào… Các tài liệu viết về vấn đề này chưa thấy xuất hiện

2 3.1 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1.1 Bài toán gốc trong hình chóp.

cạnh bên vuông góc với đáy, Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh

a) Chứng minh rằng các tam giác vuông

Lời giải.

Hoàn toàn tương tự suy ra vuông tại

b) Chứng minh được:

2.3.1.2 Phát triển BT1.

Từ BT1: Ban đầu là chóp tứ giác ta bỏ đi điểm để trở thành tứ diện

, đồng thời thêm các giả thiết tương đương như:

- Thay giả thiết tứ giác là hình chữ nhật bằng giả thiết tam giác là vuông tại

- Thay giả thiết bằng giả thiết hai tam giác vuông ở và

vuông ở

Ta có thể lập luận để đưa về BT1 như sau:

Dễ thấy tứ giác là hình chữ nhật

Suy ra:

Từ , suy ra và cùng vuông góc với mặt đáy

Dựa trên ý tưởng này, ta cùng đến với một số bài toán thú vị sau:

Bài toán 1.1 Cho hình chóp có đáy là một tam giác vuông ở , đáy

, tam giác vuông ở , tam giác vuông ở Biết rằng

khoảng cách từ điểm đến bằng Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Phân tích: Bài toán chưa cho chân đường cao của chóp, nhưng có khá nhiều điểm

tương đồng với BT1 như: đáy là một tam giác vuông ở , tam giác vuông ở , tam giác vuông ở Điều này gợi cho chúng ta liên tưởng tới đỉnh còn lại của hình chữ nhật

Lời giải.

Gọi là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật , ta có

cầu ngoại tiếp chóp

Bài toán 1.2 Cho hình chóp có đáy là một tam giác vuông cân tại

bằng Tính khoảng cách từ đến đường thẳng

Phân tích: Bài toán có hai góc vuông nhưng lại ở hai điểm khác nhau, do đó ta

phải kẻ thêm hình để dồn các góc vuông về một điểm, có như vậy mới tìm được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Mặt khác bài toán có giả thiết

tương đương với giả thiết hai tam giác và vuông –

đó chính là ý a của BT1.

Lời giải.

Góc giữa và bằng Tính khoảng cách giữa hai

bởi lẽ giả thiết thiếu mất một góc vuông rất quan trọng Như vậy để xác định được chân đường cao ta phải kết nối hai giả thiết khô khan có

Lời giải.

Suy ra vuông cân

Điều này dẫn đến

Bài toán 1.4 (Câu 49-SGD Nam Định - lần 1- Năm 2018) Cho hình chóp

là hình chiếu của lên Tính góc giữa hai mặt phẳng và

Phân tích: Bài toán đã biến tướng sang ý b của BT1.

Lời giải.

Dựng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

2.3.2.1 Bài toán gốc trong hình lăng trụ.

, cạnh bên Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Lời giải.

Do đáy là tam giác vuông tại nên gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh thì chính là trục đường tròn ngoại tiếp đáy Gọi là trung điểm , xét trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn cắt

2.3.2.2 Phát triển BT2

Bài toán 2.1 (Câu 46 - KHTN - Hà nội - lần 3- Năm 2018) Trong không gian

cho hai đường thẳng và chéo và vuông góc với nhau, nhận đoạn làm đoạn vuông góc chung Trên lấy điểm , trên lấy điểm sao cho Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Phân tích: Bài toán có giả thiết vuông góc đồng thời với hai đường thẳng chéo nhau và Gợi cho ta xây dựng nên hình lăng trụ đứng như BT2.

Lời giải.

Khi đó tâm cầu chính là tâm của hình hộp chữ nhật, suy ra là mặt

Bài toán 2.2 (Câu 50-Trường Thăng Long - Hà nội - lần 2- Năm 2018) Cho

mặt cầu có bán kính , một mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn , là một đường kính cố định của , là điểm thay đổi trên

Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại

Phân tích: Giả thiết suy ra , “Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại ” ta liên hệ tới xác định một lăng trụ đứng, sau khi có lăng trụ đứng thì tâm cầu dần lộ diện, khi đó ta sẽ xác định được tổng

Lời giải.

Dựng hình hộp chữ nhật như hình vẽ, nhận thấy rằng tâm hình hộp chữ nhật cũng chính là tâm cầu Do đó:

Bài toán 2.3 (Câu 50- SGD Bắc Ninh - Năm 2018) Cho tứ diện có

, , Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ

Phân tích: Ngoài số liệu của tất cả các cạnh thì không còn giả thiết nào khác, đây

là bài toán khó Để ý thấy đây là những con số “biết nói” Kiểm tra hệ thức Pitago

Lời giải

Dựng hình lăng trụ đứng như hình vẽ Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng

nên đều cạnh bằng

Phân tích: Bài toán tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với giả thiết rất khó

Với giả thiết này gắn hệ trục (tọa độ hóa) cũng không phải là dễ.

Lời giải

Do đôi một vuông góc nên dựng hình hộp chữ nhật như hình vẽ

Nhận xét rằng hai góc

 Kết thúc bài viết từ hình vẽ H.3 chúng ta hãy phát biểu lại bài toán và nêu

những kết quả chính Từ những kết quả thu được hãy tạo ra các bài toán mới.

H.3 2.3.3 Bài tập áp dụng

Gọi là góc tạp bởi đường thẳng và mặt phẳng , biết Tính thể tích khố chóp

và góc giữa và bằng

Bài 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,

Biết và khoảng cách giữa hai đường thẳng

bằng Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 4: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện biết ,

và góc giữa và bằng

giữa hai mặt phẳng bằng Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện

mặt phẳng bằng Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

lần lượt là hình chiếu của lên Gọi là góc giữa và mặt

Bài 8 Cho tứ diện có , đáy thỏa mãn điều kiện

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp

Bài 9 Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại ,

, Biết góc giữa và đáy bằng Tính thể tích khối chóp

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Như trong phần đặt vấn đề đã nêu, sáng kiến “Một vài ứng dụng của bài toán gốc trong việc ra đề và giải toán hình học không gian” là phương pháp có sự

kết hợp chặt chẽ của tư duy lô-gic quy lạ về quen (VD giải toán), biến quen thành

lạ (VD ra đề) Sáng kiến tiếp cận bài toán một cách sáng tạo và hiệu quả, cho lời giải mạch lạc, ngắn gọn phù hợp với yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, đó là kích thích tính tự học, tự nghiên cứu và phát hiện vấn đề

Với tinh thần đó, trong quá trình soạn, dạy dạng toán này tôi thực hiện theo cách nêu các bài toán gốc cho học sinh giải, rút ra các nhận xét quan trọng, cho học sinh tập dượt thêm bớt, chuyển đổi giải thiết để có bài toán mới Kết thúc phần này tôi nhận thấy đã đạt được hiệu quả cao, cụ thể:

- Học sinh tỏ ra hứng thú hơn khi giải toán, tập trung đào sâu suy nghĩ vấn

- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo một lối mòn lâu nay.

- Học sinh có nhiều thay đổi tích cực về phương pháp học tập và tư duy giải toán Một số em khá – giỏi còn rút ra nhiều nhận xét quan trọng và tìm được nhiều bài toán cơ bản có nhều ứng dụng hay

Kết quả đó còn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra

HS

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Qua thời gian thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy, học sinh chỉ có thể giải quyết được các bài tập đơn giản Không biết phân tích bài toán, đặc biệt là các bài toán ở mức độ VD và VDC khi chân đường cao bị che dấu Sau khi học chuyên đề học sinh đã có thể làm tốt các bài tập khó, các em hứng thú và say mê hơn trong học tập Qua khảo sát kết quả học tập của các em tăng lên rõ rệt

3.2 Kiến nghị

Để học sinh có kết quả cao trong các bài kiểm tra, kỳ thi THPT Quốc Gia, đặc bệt là thi trắc nghiệm người thầy cần nghiên cứu, tìm tòi và xây dựng được

các phương pháp giải toán sao cho học sinh dễ hiểu và cách giải ngắn nhất

Thầy giáo tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh, đồng thời động viên các em khi các em tiến bộ

Thầy giáo hướng dẫn cách tự đọc sách của học sinh, động viên các em học sinh giỏi đọc báo toán, tài liệu trên internet, tìm hiểu thêm các cách giải khác

Thầy giáo tăng cường luyện cho các em các chuyên đề và bộ đề thi, để các

em có nhiều thời gian tiếp cận và tập dượt với dạng toán thi, từ đó dần dần đạt kết quả học tập cao hơn

Trong quá trình dạy học nói chung, dạy – học Toán nói riêng, việc giải bài tập; phân tích hướng giải; trả lời câu hỏi tại sao lại làm như vậy là quan trọng nhưng việc hướng dẫn cho học sinh có óc phân tích – tổng hợp – khái quát các phần kiến thức và trên hết là có cách học đúng đắn mới là cốt lõi của vấn đề Chính

vì vậy người thầy luôn phải suy nghĩ, trăn trở nhằm đáp ứng được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao hiệu quả giáo dục

Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong quá trình thực hiện việc đổi mới phương pháp dạy học, đề tài không tránh khỏi những hạn chế

Rất mong sự đóng góp quý báu của bạn bè, đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung

của người khác

Nguyễn Thanh Hải