Lý thuyết và bài tập về sự tương giao và sự tiếp xúc của mặt cầu

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

CỦA MẶT CẦU

1 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mặt cầu S I R và mặt phẳng  ;   P Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P  d IH là

khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P Khi đó :

+ Nếu d R : Mặt cầu và mặt

phẳng không có điểm chung

+ Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc đó:  P là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm

+ Nếu d R: Mặt phẳng  P

cắt mặt cầu theo thiết diện là

đường tròn có tâm I' và bán

kính r R2IH2

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó

được gọi là đường tròn lớn

2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

Cho mặt cầu S I R và đường thẳng  ;   Gọi H là hình chiếu của I lên  Khi đó :

+ IHR:  không cắt mặt

cầu

+ IHR:  tiếp xúc với mặt cầu

 là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm

+ IHR:  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

* Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định: d I ; IH

P

M 2

M 1

H

I R

R I

H P

d

r I' α

R I

R

I





I

R

A

I R

Δ

+ Lúc đó:

2

2

AB

3 Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S) d I ; R

+ Mặt phẳng  là tiếp diện của (S)  d I ;  R

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M0x y z0; 0; 0

Sử dụng tính chất :

 





 

 





d

Ví dụ: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu   2 2 2

:   2 4 6  5 0

a) qua M1;1;1

b) song song với mặt phẳng (P) : x2y2z 1 0

b) vuông góc với đường thẳng : 3 1 2



Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm I1; 2;3, bán kính R3

a) Để ý rằng, M S Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là IM 2; 1; 2  , có phương trình :

   : 2 x 1 y 1 2 z  1 0 2x y 2z 1 0

b) Do mặt phẳng     / / P nên   có dạng : x2y2z m 0

12 3

         



m m

* Với m 6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z 6 0

* Với m12 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z120

c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u d 2;1; 2 

Do mặt phẳng   d nên   nhận u d 2;1; 2  làm một vectơ pháp tuyến

Suy ra mặt phẳng   có dạng : 2x y 2z m 0

15 3

m m

m

         



* Với m15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z150.

4 Bài tập

Bài tập 1: Cho đường thẳng   1 2

:



và và mặt cầu  S : x2y2z22x4z 1 0 Số điểm chung của   và  S là :

A 0.B.1.C.2.D.3

Bài giải:

Đường thẳng  đi qua M0;1; 2và có một vectơ chỉ phương là u2;1; 1 

Mặt cầu  S có tâm I1;0; 2 và bán kính R2

Ta có MI 1; 1; 4  và u MI,     5;7; 3    , 498

,

6

d I   u MI 

u

Vì d I , R nên   không cắt mặt cầu  S

Lựa chọn đáp án A

Bài tập 2: Cho điểm I1; 2;3  Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

A   2  2 2

    

    

C   2  2 2

Bài giải:

Gọi M là hình chiếu của I1; 2;3  lên Oy, ta có : M0; 2;0 

      

Phương trình mặt cầu là :   2  2 2

Lựa chọn đáp án B

Bài tập 3: Cho điểm I1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình 1 2 3



Phương trình

mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là:

A   2  2 2

     

     

C   2  2 2

Bài giải:

Đường thẳng  d đi qua I1; 2; 3 và có VTCP u2;1; 1   ,  , 5 2

u Phương trình mặt cầu là :   2  2 2

Lựa chọn đáp án D.

Bài tập 4: Mặt cầu  S tâm I 2; 3; 1 cắt đường thẳng : 11 25



16



AB có phương trình là:

A   2  2 2

Bài giải:

Đường thẳng  d đi qua M11; 0; 25 và có vectơ chỉ

phương u2;1; 2 

Gọi H là hình chiếu của I trên (d) Ta có:

u

2 2

17 2

AB

Vậy  S :   2  2 2

Lựa chọn đáp án C

Bài tập 5: Cho đường thẳng : 5 7



d và điểm I(4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu  S có tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB6 Phương trình của mặt cầu  S là:

C   2  2 2

Bài giải :

Đường thẳngd đi qua M( 5;7;0) và có vectơ chỉ phương

(2; 2;1)

u Gọi H là hình chiếu của I trên (d) Ta có :

u

2 2

18 2

AB

I

B

R H

I

B

R

Lựa chọn đáp án A

Bài tập 8: Cho điểm I1; 0; 0và đường thẳng : 1 1 2

d Phương trình mặt cầu  S có tâm

I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

3

3

C  2 2 2 16

4

   

3

   

Bài giải:

Đường thẳng  đi qua M 1;1; 2 và có vectơ chỉ

phương u1; 2;1

Ta có MI 0; 1; 2 và u MI,   5; 2; 1  

Gọi H là hình chiếu của I trên (d) Ta có :

u

   IH 

Vậy phương trình mặt cầu là:  2 2 2 20

3

Lựa chọn đáp án A

Bài tập 9: Cho mặt cầu( ) :S x2y2z24x2y6z 5 0 Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu

(S) qua A0;0;5 biết:

a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương u1; 2; 2

b) Vuông góc với mặt phẳng (P) : 3x2y2z 3 0

Bài giải:

a) Đường thẳng d qua A0;0;5và có một vectơ chỉ phương u 1; 2; 2, có phương trình d: 2

5 2





 



  



x t

b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n P 3; 2; 2 

I

B

R

H

Đường thẳng d qua A0;0;5và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương

3; 2; 2

 

P

n , có phương trình d:

3 2





  



  



Bài tập 10: Cho ( ) : S x2y2z26x6y2z 3 0 và hai đường thẳng 1: 1 1 1;

2

:

 x  y  z Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 và 2 đồng thời tiếp xúc với

(S)

Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm I3;3; 1 ,   R4

Ta có: 1 có một vectơ chỉ phương là u1 3; 2; 2

2 có một vectơ chỉ phương là u2 2; 2;1

Gọi n là một vectơ pháp của mặt phẳng (P)

( ) / /

( ) / /

   

P n u chọn nu u1, 2   2; 1; 2

Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng :   2x y 2z m 0

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)  ; ( ) 5 4

3



7

17





      



m m

Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là :   2x y 2z 7 0, 2x y 2z170

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí