Phương pháp tìm khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 450.. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng [r]

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐƯỜNG THẲNG

ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NÓ

1 Phương pháp

Cho đường thẳng d // (P); để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước:

+ Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất

+ Bước 2: Kết luận: d(d; (P)) = d(A; (P))

Ví dụ: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng 1 1 1

đáy bằng 300

Hình chiếu H của điểm A lên mặt phẳng A B C thuộc đường thẳng B1 1 1 1C1 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và BC1 theo a là:

2

a

4

a

C 2

3

a

D 4

3

a

Hướng dẫn giải:

Do AH A B C nên góc 1 1 1 AA H là góc giữa AA1 1

và A B C theo giả thiết thì góc AA1 1 1 1H bằng 300

Xét tam giác vuông AHA1 có

0

2

Xét AHA1 có AA1a góc

0

3 30

2

Do A1B1C1 đều cạnh a, H thuộc B1C1 và 1 3

2

 a

A H

Suy ra A1H vuông góc B1C1, AHB C1 1 nên B C1 1AA H 1 

HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1 Ta có 1

1

4

AA

Chọn đáp án A

2 Bài tập

Câu 1: Lăng trụ đứng ABCA B C đáy tam giác vuông cân tại B, cạnh bên ' ' ' CC'a 3 Biết thể tích

khối trụ bằng 2 3a3 Khoảng cách hai đường thẳng AB và CC’ bằng

Trang 2

Ta có BCAB BC, CC' nên d AB CC ; 'BC

Vì ABC vuông cân ở B nên

' ' '

BC  a BC a

 ; ' 2

Chọn đáp án B

Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B với ’ ’ ’

AB a BC AC , cạnh bên BB'9a Gọi M là điểm thuộc BB’ sao cho BB' = 3B'M Khoảng cách giữa B’C và AM là

A 12a

6a

10a

a

Trong mặt phẳng BCB’, vẽ MN / / ’B C ( N thuộc BC)

 

’ / /

B C AMN d B C AM ’ , d B C AMN ’ ,  

 

, 2

’,

2h

Để đơn giản ta coi a=1

1 1 1

4 2 6

 

h

 ’ ,  6

7

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có AS, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, ABa AC, a 2 Tính

khoảng cách d từ đường thẳng SA đến BC

2

 a

a 6

d

3



Trang 3

Dễ dàng chứng minh được AH SA

Vậy  

2 2

3



SA BC

Chọn đáp án D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng SB, AC

A

5

a

5

a

5

a

7

a

(SBC) chứa SC và song song với AD Đường thẳng qua

O vuông góc với BC cắt BC, AD lần lượt tại E, F Vì O

là trung điểm của È nên ta có:

d(AD,SC) = d(F, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) Kẻ OH

vuông góc với SE tại H (1)

Từ (1) (2) và BC cắt SE OH (SBC) Tam giác

SOE vuông tại O nên ta có:

3

OH  a d AD SC a Gọi M sao cho ABMC là hình bình hành

Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K Suy ra, AK vuông góc (SBM)

Ta có: 1 2 12 1 2 12 42 52

Vì AC song song (SMB) suy ra:       2

5

Trang 4

Câu 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt phẳng 1 1 1

đáy bằng 0

30 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng A B C thuộc đường thẳng 1 1 1 B C Khoảng cách 1 1

giữa hai đường thẳng AA và 1 B C theo a bằng: 1 1

2

a

6

a

4

a

D a 3

Xét tam giác vuông AHA1 có 1 , 1 300 1 3

2

AA a AA H A H Do tam giác A B C là tam giác đều 1 1

cạnh a, H thuộc B C và 1 1 1 3

2

a

A H nên A H vuông góc với 1 B C Mặt khác 1 1 AH B C1 1nên

 

1 1 1

Kẻ đường cao HK của tam giác AA H thì HK chính là khoảng cách giữa 1 AA và 1 B C 1 1

1

4

Chọn đáp án C

Câu 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A’

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích của khối lăng trụ là

3

3 4

a

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC

A 3

2

a

3

a

4

a

3

a

Gọi M là trung điểm của BC , dựng MNAA ' tại N (1)

Gọi O là trọng tâm của ABC O là hình chiếu của A’ lên

(ABC) A 'OBC

Mặt khác AMBC vì ABC đều

BC A 'MA BC MN 2

    Từ (1) và (2)

=> MN là đường vuông chung

Kẻ OP // MN OP AO 2

2

ABCA 'B'C' ABC

ABC

V 3a



Trang 5

Xét A 'OA vuông tai O, đường cao OP: 12 12 1 2 OP a MN 3a

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, BAD1200 và AC'a 5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD là:

A 10

17

a

B 8

17

a

17

a

D 2

17

a

Tứ giác AB’C’D là hình bình hành  AB’//C’D AB’//(BC’D)

 ’,   ’, ’    , ’    , ’  

Vì BDAC, BDCC’ BD(OCC’) (BC’D)(OCC’)

Trong (OCC’),kẻ CHOC’(H thuộc OC’) => CH(BC’D)d C BC D , ’  CH

'

     CH  a

Vậy d(AB’,BD)= 2

17

a

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAa và vuông góc với đáy Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB và SC

2



AB SC

a

3



AB SC

a

4



AB SC

a d

Vì AB/ / DC SCDAB/ /SCD

Mà SCSCDdAB,SC dAB SC, DdA SC, D

Gọi I là trung điểm của DS AI SD, mà AICD

Suy ra AI SCD, vậy  ,SC  , D

2 2

a

Trang 6

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a 3;ABC1200 và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600

Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng:

26

a

26

a

13

a

6

a

Kẻ CM / / D,B ANBC AH, SC suy ra ACCM và d A SCM ,  AH Gọi

2

   ID  DC 

Theo bài ra ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNA nên

2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAC vuông taị A ta có

Ta có:           1    

2

Suy ra   3 39

,SC

26

 a

d BD

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên

mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AB Góc tạo bởi SC và (ABCD) bằng 450 Tính

theo a tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB

3



13

 a

3

 a

3

 a

d

Xác định được đúng góc giữa SC và (ABCD) là 0

45



SCH

 a   a

Vì AB / / SCD , H  AB nên

 ; D  , D   , D 

Gọi I là trung điểm của CD Trong (SHI), dựng HK SI tại

Trang 7

Chứng minh được HKSCDd H SC ; D HK

Xét tam giác SHI vuông tại H, HK đường cao:

HK

; D

3

  a

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc SBD 60 0 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO

3

a

4

a

C 2

2

a

5

a

Ta có SAB SAD c g c , suy ra  SBSD

Lại có SBD600, suy raSBD đều cạnh

2

  

Trong tam giác vuông SAB , ta có SA SB2AB2 a

Gọi E là trung điểm AD, suy ra OE AB và AEOE

Do đó d AB SO , d AB SOE , d A SOE , 

,

5

Câu 12: Chóp tứ giác đều S ABCD cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 0

45 Ta có khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

A

2

a

B

2 2

a

C

2

a

D

4

a

Ta có : d AB SC( ; )d AB SCD( ;( ))2 ( ;(d H SCD))2HK

Mặt khác tam giác SHM uông cân tại H, nên ta có

Trang 8

Vậy ( ; ) 2 2

2

 a

S hình chiếu vuông góc H của

S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB Gọi K là trung điểm của AD Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a?

A 3a

3 7

a

5

a

D 3 5

a

- Dựng HI BD và HJ SI

- Vì HK // BD  HK // (SBD)

- Chứng minh được BDSHI và  HJ SBD

Ta có dHK,SDdHK SB, DdH SB,  D  HJ

3 5

HJ  a

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho

2



MC MS Biết AB3,BC3 3, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM

A 3 21

2 21

21

21 7

Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại

Trang 9

 

  ,

   

Ta có:

 

2

   ABN  SAB  

2

2 3

3 3 2

7 7

BN

Vậy   3 21

,

7



Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông, ABBC1,AA' 2 M là trung điểm của cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM; B'C

7



d

Gọi E là trung điểm của BB' Khi đó AME/ / 'B C nên ta

có:

Ta có: dB AME;  h

Tứ diện BEAM có các cạnh BE, BM, BA đôi một vuông góc

nên là bài toán quen thuộc

7

      h

Trang 10

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	1,11 MB