Gọi S1 là diện tích các tam giác này Lại có S1 = SAD'B.cosα ⇒ Góc giữa mặt phẳng A’BD và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.. Vậy chọn đáp án D Bài 3: Cho hình chó[r]
Trang 1Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
PHƯƠNG PHÁP TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN TOÁN 11
1 Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1 Tìm hai đường thẳng a; b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β) Khi đó góc giữa hai
đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β)
Cách 2 Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S’ là diện tích
hình chiếu (H’) của (H) trên mp(β) thì S’ = S.cosφ
⇒ cosα ⇒ φ
Cách 3 Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính
+ Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mp
+ Bước 2: Chọn mặt phẳng (γ) vuông góc Δ
+ Bước 3: Tìm các giao tuyến (γ) với (α); (β)
⇒ ((α), (β)) = (a, b)
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD Gọi I là trung điểm của CD Khẳng định nào sau
đây sai?
A Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD
B Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
C (BCD) ⊥ (AIB)
D (ACD) ⊥ (AIB)
Hướng dẫn giải
Trang 2+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ BI (1)
+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ AI (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI)
⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
Vậy A: sai
Chọn A
2 Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60° Đường thẳng
SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4 Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE Góc giữa hai mặt phẳng (SOF)và (SBC) là
A 90° B 60° C 30° D 45°
Hướng dẫn giải
Tam giác BCD có BC = BD và ∠BCD = 60° nên tam giác BCD đều
Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC
Trang 3Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF (1)
+ Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO (2)
+ Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SOF) ⇒ (SBC) ⊥ (sOF)
Vậy, góc giữa ( SOF) và( SBC) bằng 90°
Chọn A
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Xét mặt phẳng (A’BD) Trong các mệnh đề sau mệnh đề
nào đúng?
A Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√2
B Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√3
C Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương
D Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau
Hướng dẫn giải
ABCD.A'B'C'D' là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác A’BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau
Gọi S1 là diện tích các tam giác này
Lại có S1 = SAD'B.cosα
⇒ Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau
Vậy chọn đáp án D
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA = a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?
A 30° B 45° C 90° D 60°
Hướng dẫn giải
Trang 4Ta có: SC ⊥ BD (vì BD ⊥ AC, BD ⊥ SA)
Trong mặt phẳng (SAC) , kẻ OI ⊥ SC thì ta có SC ⊥ (BID)
Khi đó ((SCB), (SCD)) = ∠BID
Trong tam giác SAC, kẻ đường cao AH thì AH = a(√2/√3)
Mà O là trung điểm AC và OI // AH nên OI = a/√6
Tam giác IOD vuông tại O có ∠OID = √3 ⇒ ∠OID = 60°
Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc 60°
Chọn D
Câu 4: Cho khối chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a Khi đó côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy là:
3
Hướng dẫn giải:
Cho khối chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a Khi đó côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy
là:
Ta có SBC , ABCD SIH
Trang 5Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
2
a HI
SI a
Chọn đáp án D
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA bằng 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB2 ,a
0
30
CAB Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC Tính
cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng SAB , SBC
7
3 7
7 9
Hướng dẫn giải:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB Ta có AHSC,AHCB(Do CB(SAC)) AH
(SBC) AHSB
Lại có: SBAK SB(AHK) Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng SAB , SBC là HKA
2
a AH
AK a
Tam giác HKA vuông tại H (vì AH(SBC),(SBC)HK)
.2 3
7
7
a AH
AK a
Chọn đáp án A
Câu 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, có SA vuông góc với (ABC), tam
giác SBC cân tại S Để thể tích của khối chóp S.ABC là
3
3 2
a
thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là:
Hướng dẫn giải:
Do tam giác SBC cân tại S nên gọi I là trung điểm của BC thì
SI BC AI BC SIA SBC ABC
Do đáy ABC là tam giác đều nên
2
1 2 3 2 3
2 2
ABC
a
S a a Thể tích khối chóp được tính bằng
Trang 63 3
2
a
3 2
2 2 2
SIA AI
3 tan 2
Chọn đáp án D
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh bằng a Tính số đo góc giữa (BA’C) và (DA’C)
120 C 0
90
Hướng dẫn giải:
Kẻ BH A C' 1
Mặt khác, ta có
'
Từ (1), (2) suy ra A C' BDHA C' DH
Do đó BA C' , DA C' HB HD ;
Xét tam giác vuông BCA có: '
3
a
BH DH
BH BC BA
Ta có
0 2
BH BD
BH
Chọn đáp án C
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác cân với ’ ’ ’ ABAC a, góc ABC120 ,0 cạnh bên BB’ = a Gọi I là trung điểm của CC’ Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)?
3
7
1 2
Hướng dẫn giải:
Trang 7Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Ta có: BC =a 3 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I:
Suy ra AI = 5
2 a, AB
’ = 2a , B’I = 13
2 a
Do đó AI2
+ AB’2 = B’I2 Vậy tam giác AB’I vuông tại A
'
AB I
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác
AB’I
Suy ra : '
AB I
Chọn đáp án B
Trang 8Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
