(SKKN mới NHẤT) SKKN khai thác tích chất của tích phân nhằm phát huy tư duy ẩn hàm cho học sinh hướng tới kỳ thi THPT quốc gia

Phương pháp nghiên cứu: Tự giải và sáng tác các bài toán vận dụng về tích phân ẩn hàm, kết hợpvới thực tế giảng dạy để đúc rút nên cách thức định hướng, truyền đạt phù hợpnhất tới học si

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1.1 Những kiến thức cơ bản 2

2.1.2 Các dạng toán 3

2.1.2.1 Ẩn hàm qua dạng thức vi phân 3

2.1.2.1 Dạng 1: .3

2.1.2.2 Dạng 2: .6

2.1.2.2 Ẩn hàm dưới dấu tích phân 9

2.1.2.3 Ẩn hàm qua tính không phụ thuộc vào biến của tích phân 12

2.1.2.4 Ẩn hàm qua hàm tích phân 15

2.1.3 Bài tập vận dụng và nâng cao 18

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN 21

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 22

2.4 Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy 22

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 22

3.1 Kết luận 22

3.2 Kiến nghị 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp trung học phổ thông và xéttuyển Đại học, môn Toán được kiểm tra, đánh giá qua đề thi trắc nghiệm Nếuhọc sinh biết sử dụng máy tính cầm tay thì sẽ lợi thế trong việc tìm ra đáp án chomột bài toán, đặc biệt là phần nguyên hàm, tích phân Học sinh nhờ sự trợ giúpcủa máy tính mà tìm ra kết quả không cần giải, cũng không cần tư duy nhiều.Tuy nhiên, chính điều này làm cho học sinh lười tư duy, lệ thuộc quá nhiều vàomáy tính Bên cạnh đó, mục tiêu hàng đầu của giáo dục và nhất là trong chươngtrình giáo dục phổ thông tổng thể mà Bộ Giáo dục đang xây dựng đối với môntoán là nhằm hình thành và phát triển các năng lực toán học, đặc biệt vận dụng

tư duy một cách sáng tạo Tuy kiểm tra và đánh giá theo hình thức trắc nghiệmnhưng yêu cầu đặt ra cần nâng cao năng lực, phát triển tính sáng tạo cho họcsinh Chính vì lẽ đó, những bài toán yêu cầu phải có tư duy cao ngày càng nhiều

Mảng kiến thức về nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trước đây vốnđược học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện nay đã được khai thác sâu và có sựliên hệ chặt chẽ với các nội dung khác trong hệ thống câu hỏi trắc nghiệm Theo

xu hướng này, lớp các bài tích phân mới đối với học sinh phổ thông đã ra đời

Đó là những bài toán vận dụng tư duy sáng tạo trên nền các kiến thức cơ bản đểhọc sinh phải suy nghĩ, liên hệ, xâu chuỗi kiến thức Các bài toán này xuất hiệnngày càng nhiều trong đề thi năm 2017, đề thi minh họa của Bộ và đề thi thử củacác trường trung học phổ thông trên cả nước năm 2018 Một trong những dạngtoán được được khai thác kỹ và khá thú vị đó là vận dụng các tính chất của tíchphân và ứng dụng của nó trong các lớp bài toán ẩn hàm

Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức, người thầy

còn phải biết cách định hướng ôn tập cho học sinh Vì lẽ đó, muốn giúp cho học

sinh đặc biệt là học sinh lớp 12 chuẩn bị tốt cho kỳ thi trung học phổ thông quốcgia, không bị bỡ ngỡ và tâm lí khi gặp các dạng toán này Đồng thời, giúp các

em có tư duy linh hoạt và nhạy bén, có cái nhìn sâu sắc về nguyên hàm – tích

phân tôi đã chọn và thực hiện đề tài: “Khai thác tính chất của tích phân nhằm phát triển tư duy ẩn hàm cho học sinh hướng tới kỳ thi trung học phổ thông quốc gia”.

này, ta cần vận dụng thành thạo các kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm, tích

phân và ứng dụng mà phần lớn học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn Với thực

trạng như vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này Sáng kiến kinh nghiệm, chứa

đựng những kỹ năng cơ bản, quan trọng mà học sinh cần phải nắm được nếumuốn tiến đến trình độ giải quyết tốt các bài toán vận dụng thấp và vận dụng caophần tích phân Đồng thời nó chứa đựng những kỹ thuật, ý tưởng vận dụng cácnăng lực toán học tương đối cao và phức tạp trong tư duy

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu là:

* Các bài toán trong đề thi THPT Quốc gia 2016 – 2017, đề minh họa của Bộ

GD & ĐT năm 2018 và đề thi thử của các trường THPT trên cả nước

* Vận dụng các kiến thức, kỹ năng toán vào việc nghiên cứu các phương pháptruyền đạt tới học sinh ý tưởng của bài toán

* Khai thác các tính chất của nguyên hàm, tích phân vào các lớp bài toán vậndụng cao trong đề thi THPT QG

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Tự giải và sáng tác các bài toán vận dụng về tích phân ẩn hàm, kết hợpvới thực tế giảng dạy để đúc rút nên cách thức định hướng, truyền đạt phù hợpnhất tới học sinh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

2.1.1 Những kiến thức cơ bản:

Ngoài những kiến thức cơ bản về hàm số, đạo hàm, nguyên hàm – tíchphân, đã biết trong sách giáo khoa thì sáng kiến có sử dụng một số kiến thứcnền sau đây được trích từ nguồn tài liệu tham khảo:

a Quan hệ thứ tự trong tích phân:

Định lí 1.1: Cho và là hai hàm liên tục trên thỏa mãn

Định lí này, ta có thể dễ dàng suy ra từ công thức tính diện tích của hìnhphẳng giới hạn bởi các đường cong và các đường thẳng Ngoài ra, ta cũng có:

Định lí 1.2: Cho là hàm liên tục, không âm trên và tồn tại

sao cho Khi đó

Ở đây, ta không chứng minh định lí này Nhưng từ ứng dụng tính diện tíchhình phẳng giới hạn và tính liên tục của hàm thì không khó để hình dung

Từ định lí trên, ta có ngay hệ quả rất quan trọng như sau:

Hệ quả: Cho là hàm liên tục, không âm trên và

“Với mỗi số thực ta đặt ” Khi đó, dễ dàng khẳng định

là một hàm số Ngoài ra, còn có một số tính chất sau:

+

+ với và do đó là hàm có đạo hàm liên tục

Tiếp sau đây, ta sẽ đi vào phần nội dung chính của sáng kiến.

- Từ giả thiết, ta liên tưởng tới dạng thức vi phân

- Từ đó, ta có thể dùng nguyên hàm để biểu diễn hàm

Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn với

Theo giả thiết, nên hay

Tiếp theo, ta sẽ xét một câu trắc nghiệm trong đề thi thử như sau:

Ví dụ 1.1.4: (Câu 43 – Thi thử lần 1 THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi)

Cho hàm số có đạo hàm không âm trên thỏa

giúp liên tưởng tới dạng thức vi phân

- Bước tiếp theo là vận dụng kiến thức nguyên hàm để đưa ra hàm

Vậy Ta chọn đáp án B.

Nhận xét: Không dừng lại ở mối liên hệ giữa hàm và đạo hàm của nó Ta có

thể mở rộng bài toán cho quan hệ giữa đạo hàm các cấp liên tiếp như ví dụ sau:

Ví dụ 1.1.5: (Câu 48 – Thi thử THPT Như Thanh – Thanh Hóa)

Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn đồng thời thỏa

Hãy chọn khẳng định đúng ?

Phân tích

- Trong các ví dụ trên là hệ thức giữa hàm và đạo hàm cấp một Nhưng ví

dụ này thay vào đó là quan hệ giữa đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của nó

- Mặt khác, yêu cầu bài toán là tính giá trị của nên ta có thể

hướng tư duy tới việc xác định

- Chính vì vậy, về bản chất thì bài toán này không có gì thay đổi.

Nhận xét, đánh giá: Trong các ví dụ trên, tư duy chủ yếu là ta tách hàm ẩn

và hàm tường minh để dùng kỹ thuật tích phân xử lí bài toán Nhưng không phải khi nào cũng làm được như vậy, ta xét tiếp dạng sau đây:

Dạng 2:

- Đối với bài toán này thì việc tách trực tiếp như dạng 1 là không thể.

- Xuất phát từ yêu cầu tính và giả thiết với qua đó không khó giúp ta liên tưởng tới việc tách từ

- Giúp học sinh tư duy cách sử dụng tích phân từng phần

- Mặt khác, từ vế trái của giả thiết ta sẽ liên tưởng

ngay tới dạng thức Tuy nhiên, vận dụng thế nào là cả vấn đề

Lời giải

Nên

Mặt khác, ta dễ dàng nhận thấy Để tính thì ta có:

Lấy tích phân hai vế, ta có:

Vậy

Nhận xét: Từ ví dụ trên cho học sinh tư duy tách hàm hàm từ hàm

Tuy nhiên, từ ví dụ đó cũng giúp ta có một tư duy khác là vận dụng dạng thức vi phân Ví dụ sau sẽ minh chứng cho điều này.

thì ta có thể tư duy ngay theo ba hàm Vấn

đề là tích của ba hàm nào? Rất may trong trường hợp này có sự xuất hiện của

ở vế phải Từ đó, ta có thể tư duy ra hàm tích cần xác định

Cho hàm số có đạo liên tục trên thỏa mãn

Nhận xét, đánh giá: Trong dạng toán thứ hai, tư duy chính là khai thác, vận

dụng và mở rộng công thức đạo hàm của hàm tích hay chính xác là dạng thức vi phân Tuy nhiên, không dừng lại ở dạng

tích ta có thể khai thác ý tưởng này cho cả dạng thương Ý tưởng này nằm trong một số câu trắc nghiệm đã được đưa vào phần bài tập vận dụng và nâng cao của sáng kiến.

2.1.2.2 Ẩn hàm dưới dấu tích phân:

Trong phần này, ta sẽ sử dụng một tính chất khá thú vị của tích phân được nhắc tới từ phần kiến thức cơ bản Đây cũng là dạng toán xuất hiện trong

đề thi minh họa môn Toán năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo Ta sẽ xét các

ví dụ sau để làm rõ cái hay của tính chất này:

Ví dụ 2.1:

Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn

Phân tích

không phải đơn giản như vậy Giả thiết cho ta nên ta sẽ tư duy

theo hướng đi tìm tham số sao cho:

- Vấn đề ở đây là ta phải tìm ra hàm thì mới tính được

Theo giả thiết, ta có thể đưa về dạng

không ? Vậy số ở vế phải của đẳng thức trên có vai trò như thế nào ?

- Từ đó, hướng ta tới việc tính

Ví dụ 2.3: (Câu 50 – Đề thi thử lần 1 THPT Hà Văn Mao – Thanh Hóa)

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

Tích phân bằng:

Phân tích

được mối liên hệ giữa hai biểu thức trong dấu tích phân Chính vì vậy, ta sẽdùng kỹ thuật để từ tích phân thứ hai làm xuất hiện hàm

- Sau khi có được mối liên hệ, ta sẽ tìm cách đưa về dạng tích phân của hàm

liên tục, không âm (hoặc không dương) bằng

ngay tới tích phân

Ví dụ 2.4: (Câu 50 – Đề minh họa của Bộ GD & ĐT năm 2018)

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

Phân tích

- Vấn đề ở đây là phải xác định hàm Theo giả thiết, ta sẽ tìm mối liên

hệ giữa và Như ví dụ trên, ta phải làm xuất hiện

hàm Sau đó, định hướng để đưa về dạng

Nhận xét, đánh giá: Tư duy để giải quyết dạng toán này chính là khai thác

giả thiết để làm xuất hiện tích phân có giá trị bằng không mà hàm dưới dấu tích phân liên tục, không âm (hoặc không dương) thì hàm sẽ đồng nhất bằng không.

Đây là một dạng toán vận dụng dành cho học sinh khá, giỏi Học sinh muốn làm được cần phải nắm vững các kiến thức về đạo hàm, tích phân Đặc biệt, học sinh cần phải có tư duy tốt về bộ môn Toán Tuy nhiên, nếu truyền đạt

để học sinh nắm bắt được kỹ thuật khai thác mối liên hệ giữa các tích phân thì học sinh trung bình hoàn toàn có khả năng giải quyết tốt dạng này.

2.1.2.3 Ẩn hàm qua tính không phụ thuộc vào biến của tích phân:

Ví dụ 3.1:

Cho hàm số liên tục trên thỏa với

Tính

Phân tích

- Đối với dạng toán này, nếu chưa gặp nhiều học sinh sẽ lúng túng đi tìm

hàm như các dạng trước Tuy nhiên, nếu tư duy thì học sinh sẽ tìm rahướng đi

- Ta đã biết, tích phân không lệ thuộc vào biến Vì thế, ta sẽ lấy tích phân từ

tới hai vế và xử lí dạng để đưa về

- Nếu học sinh tư duy thì dạng này gần giống như dạng trước.

- Tuy nhiên, thay vì tính bài toán này lại yêu cầu tính

Lời giải

Ta có

phân hai vế, ta có

Bằng việc đặt ta có ngay Khi đó,

Từ giả thiết lấy đạo hàm hai vế, ta thấy ngay

Nên nhân cả hai vế với và lấy tích phân trên ta có:

Từ đó, ta có:

Do đó, từ (***) ta tính được

Ví dụ 3.4:

Cho hàm số lẻ và liên tục trên thỏa

Nhận xét, đánh giá: Như vậy, tư duy về tính không phụ thuộc vào biến lấy

tích phân giúp chúng ta có được một kỹ thuật khá hay để giải quyết lớp các bài toán ẩn hàm Bằng việc khai thác và mở rộng lớp hàm ẩn qua các hàm như căn thức, lượng giác, mũ, logarit, thông qua tính chất hàm hợp đã làm đa dạng hóa lớp các bài toán tích phân.

2.1.2.4 Ẩn hàm qua hàm tích phân:

Sau đây, ta sẽ nghiên cứu một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của tích phân qua một lớp hàm đặc biệt – hàm tích phân.

Ví dụ 4.1:

Cho hàm số có giá trị không âm và liên tục trên ta đặt

Phân tích

- Để giải quyết được bài toán này, ta phải đánh giá được hàm thôngqua một hàm cụ thể nào đó.

- Trước hết, ta phải tìm mối liên hệ tường minh giữa hàm và thông qua các tính chất của hàm tích phân

Cho hàm số có giá trị không âm và liên tục trên ta đặt

Phân tích

- Bài toán này có sự thay đổi một chút ở bất đẳng thức

- Về tư duy thì bài toán này không có nhiều sự thay đổi.

Lời giải

Ta có nên nghịch biến trên

Ví dụ 4.3:

Cho hàm số có giá trị không âm và liên tục trên ta đặt

Phân tích

- Trong trường hợp này cận thay đổi là cận dưới Tuy nhiên, nếu cần thiết ta

có thể đổi hai cận cho nhau Tiếp sau, để tìm giá trị nhỏ nhất của ta

sẽ phải đánh giá qua hàm tích phân

Lời giải

Do đó,

Ví dụ 4.4:

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời ta đặt

Phân tích

- Để tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân ta phải đánh giá

- Còn muốn đánh giá ta phải dựa vào bất đẳng thức

Nhận xét, đánh giá: Như vậy, nội dung của phần này chủ yếu giúp học sinh

vận dụng tư duy linh hoạt về mối liên hệ qua lại giữa tính chất hàm ẩn, đạo hàm cũng như tích phân của nó Qua đó, giúp học sinh có tư duy linh hoạt khi khai thác các bài toán phần nguyên hàm – tích phân.

Trong khuôn khổ một bài viết nhỏ tuy không nhiều nhưng các ví dụ phần nào thể hiện được ý tưởng của tác giả muốn gửi gắm tới học sinh và người đọc Sau đây, tôi đề xuất thêm một số bài tập vận dụng và khai thác sâu các ý tưởng.

2.1.3 Bài tập vận dụng và nâng cao:

Câu 1 (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An) Cho hàm số khác không thỏa

và tối giản Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Câu 2 (THPT Kinh Môn – Hải Dương) Hàm số liên tục và dương trên

Câu 3 Cho hàm số xác định, có đạo hàm liên tục trên đồng

Câu 4 Cho hàm không âm thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên

Câu 5 (PT Năng Khiếu – ĐHQG TPHCM) Cho hai hàm số và có

Câu 8 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên biết

Câu 12 (THPT Thường Xuân – Thanh Hóa) Cho hàm số có đạo

Câu 14 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

Câu 20 Cho hàm số có giá trị không âm và liên tục trên ta đặt

Câu 21 Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đồngthời có một nguyên hàm liên tục trên Đặt thỏa mãn

với Tìm GTNN của

Câu 22 Cho hàm số có giá trị dương và liên tục trên ta đặt

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN

Tháng 3/2018, trước khi thực hiện việc truyền đạt tới học sinh tư duy ẩn

hàm này tại lớp 12A1, tôi đã cho học sinh thử làm một đề trắc nghiệm với yêucầu phải định hướng được lời giải hoặc cách tìm ra đáp án có nội dung như sau:

Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

Câu 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:

 Tổ chức cho học sinh học theo nhóm đối tượng, phân chia thành cácnhóm có trình độ tương đương để thiết kế giáo án phù hợp

 Đối với các nhóm học sinh khá giỏi thì hướng dẫn, gợi ý để các em hiểusâu vấn đề, tìm ra hướng đi và vận dụng tốt nhất vào các dạng bài tập, sau

đó giáo viên bổ sung và tổng hợp

 Thực hiện trắc nghiệm khách quan để hình thành kỹ năng, thành thạo việcnhận dạng và thao tác nhanh Sau đó, giáo viên kiểm tra, đánh giá và điềuchỉnh phương pháp học của học sinh cũng như điều chỉnh nội dung bàigiảng, phương pháp dạy của giáo viên cho phù hợp

2.4 Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy

Sau khi giảng dạy các kỹ năng và phương pháp trên tại lớp 12A1, cùngvới việc kiểm tra bằng một đề khác có độ khó cao hơn đề bài đã nêu ở trên thìkết quả thực sự khả quan hơn rất nhiều, nó thể hiện qua thống kê sau: