(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế

TÀI LIỆU THAM KHẢO...34 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲN

MỤC LỤC

Trang

A.MỞ ĐẦU 02

1- Lý do chọn đề tài 02

2- Mục đích của đề tài 02

3- Phạm vi và đối tượng của đề tài 02

4- Phương pháp nghiên cứu 02

5- Đóng góp của đề tài……… 03

B NỘI DUNG 03

1- Cơ sở lý thuyết 03

2- Nội dung đề tài 04

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 33

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Nguyễn Văn Phúc Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

1 PHẦN MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sứcquan trọng Nó giúp học sinh tiếp thu những tri thức và rèn luyện những kĩ năngtoán học cần thiết, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phântích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; rèn luyện những đức tính cẩn thận,chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo Học Toán còn giúp học sinh có tư duylogic, rành mạch, điều này sẽ tạo tiền đề cho việc tiếp cận với các lĩnh vực, cáctình huống trong thực tế trở nên dễ dàng hơn

Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán do được viết đã lâu và chưađược chỉnh lý lại nên phần khai thác ứng dụng thực tiễn ở các bài học còn hạnchế, bên cạnh đó đa số giáo viên khi dạy còn nặng về lý thuyết và tính toán, chỉtruyền thụ kiến thức một chiều,chưa chú trọng đến khai thác ứng dụng thực tiễn

Do đó, nhiều học sinh khi học đã đặt câu hỏi: “ Học nội dung này để làm gì ?”bởi các em chưa thấy hoặc không thấy hết được những ứng dụng thực tế củaToán học đẫn đến việc học Toán đối với các em trở nên gượng ép, nhàm chán

Vì vậy trong quá trình lên lớp, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tích cực,chủ động và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán thìgiáo viên phải là người khơi gợi học sinh vận dụng được các bài toán đó để giảiquyêt những vấn đề thực tế Điều đó cũng phù hợp với mục đích đổi mớiphương pháp dạy học trong nhà trường giúp học sinh hứng thú hơn từ đó việchọc sẽ nhẹ nhàng và đạt hiệu quả tốt hơn

Tích phân là một trong những phần quan trọng của bộ môn Giải tích lớp 12.Các bài toán tích phân nói chung và bài toán ứng dụng tích phân nói riêng rất đadạng và phong phú, thường có mặt trong kỳ thi THPT Quốc gia Những năm gầnđây Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với bộ môn Toán, vìvậy những bài toán về tích phân và ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tế làcác bài toán hay song cũng gây không ít khó khăn cho học sinh kể cả với họcsinh khá- giỏi Từ những thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 12 và ônthi THPT Quốc gia tôi đã xây dựng thành hệ thống các bài toán được áp dụngtrong khi dạy chủ đề: Tích phân và ứng dụng của tích phân Trong phạm vi sáng

kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày một phần trong chuyên đề với đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế” Đề tai nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức

lôgic, đầy đủ về ứng dụng tích phân, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,biết vận dụng vào các bài toán thực tế, đáp ứng yêu cầu đổi mới dạy và học mônToán cũng như những đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải toán, bồi

dưỡng năng lực tư duy sáng tạo Từ đó nâng cao khả năng giải toán phần “Tích phân và ứng dụng của tích phân” của môn Toán Giải tích lớp 12

Giúp học sinh nâng cao hứng thú học tập môn Toán, vận dụng kiến thức

đã học để giải quyết các bài toán thực tế

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Các dạng toán về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

- Các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của tích phân

- Học sinh lớp 12A1 năm học 2017-2018 và học sinh lớp 12A1 năm học2018-2019 của trường THCS&THPT Thống Nhất – Yên Định-Thanh Hóa trước

và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm để phân tích, đánh giá

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Những tài liệu có liên quan đến đề tài:Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ bản và Nâng cao, các tài liệu tham khảo

- Phương pháp phân tích và tổng hợp các bài tập nhằm xây dựng một hệthống bài tập đi từ dễ đến khó

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thường xuyên dự giờ, kiểm tra đánhgiá để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán ứng dụng tích phân củahọc sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xáckết quả phương pháp của mình

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận.

Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 học sinh được học chuyên đề Tíchphân và Ứng dụng của tích phân trong hình học đây là chuyên đề hay và khóđồng thời có nhiều bài toán thực tế có thể vận dụng kiến thức phần này để giảiquyết Vì vậy để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh cũngnhư rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, nhất là trongquá trình ôn luyện chuẩn bị kiến thức, kỹ năng cho học sinh tham gia kỳ thiTHPT Quốc gia yêu cầu giáo viên phải hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thốngbài tập để giảng dạy chuyên đề này cẩn thận chu đáo

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán và theo dõi quá trình học tập của họcsinh, tôi nhận thấy nếu trong quá trình giảng dạy giáo viên không hệ thống kiếnthức, không xây dựng hệ thống bài tập rõ ràng, không khai ứng dụng Toán họctrong thực tế thì khó tạo hứng thú học tập cho học sinh đẫn đến các em thấy

“ngại” học Toán, thường chỉ biết áp dụng công thức một cách máy móc và các

em không hiểu học chương này, chương kia ví dụ như chương 3- Giải tích lớp12: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng để làm gì? Thậm chí, có em đã họcxong chương trình THPT nhưng vẫn không thể tính được diện tích ngôi nhà haydiện tích mảnh đất của gia đình mình, bởi vì trong quá trình học tập học sinh chỉbiết giải các bài toán trong sách vở mà chưa thấy mối liên hệ giữa kiến thứcđược học với thực tế đời sống Đặc biệt là ở phần Tích phân và Ứng dụng củatích phân đây là phần có nhiều ứng dụng thực tiễn Dẫn đến hiệu quả học tập, kết

a

b x y

các dạng toán Việc rèn luyện tư duy qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh

hoàn thiện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán Trong sáng kiến kinh

nghiệm này tôi sẽ nêu ra một số dạng toán của: “ Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế”.

2.3 Giải quyết vấn đề.

Để thuận lợi cho quá trình học tập cũng như hệ thống hoá kiến thức của học sinh

tôi chia các bài toán liên quan đến: “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế” thành hai phần như sau:

Phần 1: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

Cho y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm x[a, b] Diện

tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục

hoành và hai đường thẳng x = a và đường thẳng x = b là

Đặt Ta có

Bài 3:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị hàm số , trụchoành và các đường thẳng

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là

Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Cho hai hàm số y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên đoạn Gọi D là hìnhphẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b Khi đódiện tích hình phẳng là: S =

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường và là

Vậy

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Lời giải

.Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có

Bài 6: ( trích đề tham khảo kỳ thi THPT quốc gia năm 2018 )

Cho hình là hình phẳng giới hạn bởi parabol , cung tròn có phương trình (với ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)

Tính diện tích của hình

Bài 7: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và nửa đường elip

có phương trình ( với ) và trục hoành (phần tô đậm tronghình vẽ) Gọi là diện tích của, biết ( với , , ) Tính

3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong tự cắt khép kín

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi :

Bước 1: Giải phương trình tìm hoành độ giao điểm

Bài 1: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: y2 ,x y   vàx 3đường thẳng y=1.

Tiếp tuyến của tại và lần lượt là ;

Giao điểm của hai tiếp tuyến là

Khi đó, dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:

Bài 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đườngthẳng , (phần tô đậm trong hình vẽ Tính diện tích của hình phẳng.

f x ( ) = x 2

9 3

B A

O

Khi đó

Bài 5: Cho là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởicác đường có phương trình , Tính diện tích củahình

4 Bài toán tỷ số diện tích

Bài 1: Parabol chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng thành hai phần có diện tích là và , trong đó Tìm tỉ số

Lời giải

Diện tích hình tròn là

Vậy

Bài 2: (trích đề thi minh họa kỳ thi

THPT Quốc gia năm 2017)

Cho hình thang cong giới hạn bởi các

đường , y=0, , Đường

Gọi là hình chữ nhật với nằm trên trục , và

Nhận thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và điqua Do đó nó chia hình chữ nhật ra làm 2 phần là có diện tíchlần lượt là , Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và trục , và là diện tích phần còn lại Ta lần lượt tính ,

Phần 2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

1 Bài toán liên quan họa tiết, hoa văn của các vật trang trí

Bài 1: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông

cạnh bằng cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabolnhư hình bên Biết cm, cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

Lời giải

Giả sử đường cong phía dưới là một Parabol có dạng , với

Do Parabol đi qua các điểm , , nên ta có hệ phương trình

A

B H O

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và các đường

Vì tính chất đối xứng nên tổng diện tích phần bị khoét đi: Diện tích của hình vuông là:

Bài 2: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình

vuông cạnh như hình bên Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đườngcong có phương trình và để tạo hoa văn cho viên gạch.Tính diện tích phần được tô đậm

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi là diện tích phần tô đậm, vì tính chất đối xứng nên ta có

Bài 3 Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác

nhau Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trongnhững đường cong đẹp trong toán học Ở đó có một mảnh đất mang tênBernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa

độ là như hình vẽ bên.Tính diện tích của mảnh đấtBernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ tương ứng với chiều dài mét

Bài 4 : Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều

rộng , chiều cao Tính diện tích của cổng

Lời giải

cắt trục hoành tại hai điểm và nên ta có

2 Bài toán liên quan đến tính toán kinh tế.

Bài 1: (trích đề tham khảo năm 2017 của Bộ

GD-ĐT) Ông An có một mảnh vườn hình

Elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục

bé bằng Ông muốn trồng hoa trên một dải

đất rộng và nhận trục bé của elip làm trục

đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng

hoa là đồng/ Hỏi ông An cần bao

nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số

tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

Lời giải

Giả sử elip có phương trình , với

Từ giả thiết ta có và

Vậy phương trình của elip là

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường vàdiện tích của dải vườn là

Tính tích phân này bằng phép đổi biến , ta được

Bài 2:(Trích đề khảo sát chất lượng lớp 12 năm 2019 của Sở GD Thanh Hóa) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng (m) Trên đóngười thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol cóđỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửađường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng (m), phần còn lại củakhuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản

8m

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng hoa và trồng cỏ NhậtBản tương ứng là 150.000 đồng/ m2 và 100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền

để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trên trong khuôn viên đó? (Số tiền được làmtròn đến hàng đơn vị)

Lời giải

.Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là

.Phương trình parabol có đỉnh là gốc sẽ có dạng Mặt khác qua

Bài 3: Ông An muốn làm một cái cổng sắt có hình dạng và kích thước như hình

vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol Giá của cổng sắt là

đồng Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cổng sắt như vậy(làm tròn đến hàng nghìn)

Khi đó phương trình Parabol là

Diện tích của chiếc cổng sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm

số , trục hoành và hai đường thẳng ,

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là T=

(đồng)

Bài 4: (trích đề tham khảo năm 2019 của Bộ GD-ĐT) Một biển quảng cáo

có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2, B1, B2 như hình vẽ bên Biết chi phí sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/ 2

m và phần còn lại là 100.000 đồng/ 2

m Tính số tiền để sơn biển trên, biết A A1 2  8 m, B B1 2  6 m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ 3 m.

Lời giải

Giả sử phương trình elip

Theo giả thiết ta có:

Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là

đồng

Bài 5: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình

ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có chiều cao ,chiều dài (hình vẽ bên) Cho biết là hình chữ nhật có ;cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh là trung điểm củacạnh và đi qua hai điểm , Kinh phí làm bức tranh là đồng/ Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó

Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì parabol có phương trình là

Khi đó diện tích của khung tranh là

Suy ra số tiền cần để làm bức tranh là: đồng

Bài 6 : Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm Một nhóm học sinh lớp 12

được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi haiđường parabol có cùng đỉnh và đối xứng nhau qua Hai đường parabol nàycắt đường tròn tại bốn điểm , , , tạo thành một hình vuông có cạnh bằng(như hình vẽ) Phần diện tích , dùng để trồng hoa, phần diện tích , dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinhphí trồng hoa là đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ là đồng/1m2.Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Parabol có hàm số dạng có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm

nên có phương trình

Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính nên có phươngtrình là Do ta chỉ xét nhánh trên của đường tròn nên ta chọn hàm sốnhánh trên là Diện tích phần

Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là

Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:

đồng