Giải quyết vấn đề2.1 Một số phương pháp dựng thiết diện trình bày trong phần phụ lục 1 2.2 Bài toán liên quan đến thiết diện Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH BÀI TOÁN THIẾT DIỆN TRONG ÔN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VÀ THI THPT QUỐC GIA
Người thực hiện: Trần Thị Chinh
Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2018
1
download by : skknchat@gmail.com
Trang 31.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Lý do chọn đề tài
Kỳ thi HSG cấp tỉnh từ năm 2018 được Sở Giáo Dục và Đào tạo thay đổitheo một hướng mới, khi học sinh tham gia là học sinh khối 11 Trong đề thi mônToán, kiến thức lớp 11 chiếm tỷ trọng lớn Một trong những bài toán khó, có tínhphân hóa cao trong đề thi là bài toán thiết diện
Ngoài ra trong các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên toàn quốc,thì bài toán thiết diện xuất hiện nhiều và có mức độ tương đối khó, hoặc khó
Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó đốivới học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng Dạng toán liên quanđến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi thử HSGcấp tỉnh và thi thử THPT Quốc gia
Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầungười giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linhhoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều
Với những lý do trên, tôi đã nghiên cứu và thực nghiệm đề tài: “Hướng dẫn học sinh bài toán thiết diện trong ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT Quốc gia”
1.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Thực trạng hiện nay ở các trường trung học phổ thông nói chung và trường THPT Triệu Thi Trinh nói riêng vấn đề dạy toán cho học sinh lớp 11, nhằm chuẩn
bị tốt cho kỳ thi HSG cấp Tỉnh và thi THPT Quốc gia, trước sự thay đổi về phươngthức thi, được đặt lên một cách cấp bách Trong năm học này tôi được nhà trường giao nhiệm vụ dạy hổ trợ cho giáo viên đứng đội tuyển và lớp chọ Toán của
trường
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học không gian,cho rằng rất khó thực hiện được
Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sự liên
hệ logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thành khó đốivới các em
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học chuyên
đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bài toán thiếtdiện, giúp các em định hướng được hướng giải cho dạng bài tập này, vì vậy tôi viếtsáng kiến kinh nghiệm này
3
download by : skknchat@gmail.com
Trang 41.3 Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ Các bàitoán tính toán liên quan đến thiết diện
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận
Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn
Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Phương pháp thống kê
Trang 52 Giải quyết vấn đề
2.1 Một số phương pháp dựng thiết diện (trình bày trong phần phụ lục 1)
2.2 Bài toán liên quan đến thiết diện
Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích
lớn nhất, nhỏ nhất
2.2.1 Một số lưu ý:
- Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiếtdiện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng Vì vậy ta có thể áp dụngtất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt phẳng
- Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cos
- Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta áp dụngcác phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thức Cauchy,Bunhiacovxki …dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hình học…
- Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a i , i = 1,2,3…
Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với Trong mặt phẳng
, gọi là giao điểm của và Suy ra là giao điểm của với Khi đó, tứ giác là thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng Trong tam giác ta có là trọng tâm của tam giác suy ra là trung điểm của
Trong tam giác có là trọng tâm của tam giác nên
Suy ra là hình thang với đáy lớn
5
download by : skknchat@gmail.com
Trang 6Ta có: Áp dụng định lí cosin trong tam giác
ta có:
.Tương tự ta cũng tính được
Dễ thấy là hình thang cân Do đó:
.
Ví dụ 2: Cho tứ diện có cạnh bằng a Trên tia đối của các tia CB, DA lầnlượt lấy các điểm E, F sao cho Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Tính diện tích S thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
Giải:Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với
Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của và
Do đó tam giác là thiết diện của tứ diện cắt bởi
Dễ thấy lần lượt là trọng tâm của các tam giác và
K H
D C
E A
M
Trang 7Xét hai tam giác và có chung,
nên hai tam giác này bằng nhau Suy ra Vậy tam giác cân tại
Áp dụng định lí cosin trong tam giác :
Gọi là trung điểm của đoạn Ta có
Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại với
; và Gọi là một điểm trên cạnh, là mặt phẳng đi qua và vuông góc với Đặt a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
b) Tính diện tích thiết diện theo và
Q N
A
S
D M
download by : skknchat@gmail.com
Trang 8Thiết diện là tứ giác
Mặt khác suy ra thiết diện là một hình thang vuông tại
và
Gọi là trung điểm của và
.Xét trong hình thang ta có :
Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng ,
và Gọi là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC.a) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi
b) Tính diện tích của thiết diện này
Thiết diện là tam giácIBH
I S
A
B
C H
Trang 9( đường cao của tam giác đều cạnh ).
Hai tam giác và có góc chung nên chúng đồng dạng Từ đó suy ra
Ví dụ 5 Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh và tam giác
đều Một điểm thuộc cạnh sao cho , mặt phẳng đi qua song song với và
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
b) Tính diện tích thiết diện theo và
Trang 10Do đó
là hình thang cân
,Gọi là trung điểm của thì
Ví dụ 6: Cho tứ diện đều cạnh và là hai điểm di động trên các
cạnh và , sao cho Một mặt phẳng qua song
song với cắt tứ diện theo một thiết diện
a) Chứng minh thiết diện là hình thang cân
b) Tìm để diện tích thiết diện nhỏ nhất
P
Trang 11Vậy
Ví dụ 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang,
Mặt bên là tam giác cân đỉnh và, mặt phẳng song song với cắt các cạnh
theo thứ tự tại a) Chứng minh là hình thang cân
b) Đặt Tính để là tứ giác ngoại tiếp
được một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó
Tương tự
.Lại có
b) là tứ giác ngoại tiếp
Trang 12Ví dụ 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối
xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B
a Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK)
b Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a
Giải:
a Mặt phẳng cắt trong trường hợp này đi qua ba điểm không thẳng hàng
Nối IJ cắt AC tại N, nối IK cắt AB tại M Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.
I
B C
D
K
J A
Ví dụ 9:
Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB (P) là mặt phẳng qua M songsong với AC và BD
a Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P)
b Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi
c Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Trang 13a Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M
và AC, qua M kẻ đường thẳng và song
song với AC cắt BC tại N Mặt phẳng
(ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường
thẳng và song song với BD cắt AD tại Q
tiếp tục quá trình được 2 giao tuyến NP,
QP thiết diện là hình bình hành MNPQ.
Q M
B
C
D A
b MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi MN = MQ
MN // AC nên
MQ // BD nên
Vậy MNPQ là hình thoi khi M thỏa mãn (*)
c Do MN // AC, MQ // BD nên góc giữa MN, MQ không đổi, giả sử là
Để diện tích thiết diện lớn nhất thì tích MA.MB lớn nhất
Mà MA + MB = AB không đổi nên tích đó lớn nhất khi MA = MB hay M làtrung điểm AB
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam
giác vuông tại A M là điểm bất kì thuộc AD (khác A D) Xét mặt phẳng (P) qua
M song song SA CD
a Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình chóp là hình gì?
b Tính diện tích thiết diện theo a b với AB = a SA = b và M là trung điểm AB.
Giải:
a Xét mặt phẳng (P) và (SAD) có M chung,
(P) // SA nên qua M kẻ đường thẳng và song
song với SA cắt SD tại Q Tương tự qua M kẻ
đường thẳng và song song với CD cắt BC tại
N, qua Q kẻ đường thẳng và song song với CD
cắt SC tại P ta có thiết diện là tứ giác MNPQ.
Có MN //PQ // CD // AB MQ // SA SA AB
nên thiết diện là hình thang vuông tại M, Q
Q P
13
download by : skknchat@gmail.com
Trang 14Ví dụ 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a Gọi
M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC Xét mặt phẳng (P) đi qua M
và vuông góc với AA’ Đặt AM = x ( )
a Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)
b Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x
Tìm x để thiết diện đó lớn nhất
Giải:
a Theo giả thiết M thuộc OA’
Ta có SO (ABC)
SO AA’, tam giác ABC đều
nên BC AA’ Vậy (P) qua M song
Tương tự kẻ qua M đường thẳng
song song với SO cắt SA’ tại N, qua
N kẻ đường thẳng song song với BC
A
B
C S
M
Ta có thiết diện là tứ giác EFGH.
b Ta có EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nên EFGH là hình thang cânđáy HG, EF Khi đó:
Ta có MN = và
đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện bằng khi
Ví dụ 12:
Trang 15Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm điểm M thuộc AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Giải:
Gọi O là tâm hình lập phương và E là
tâm đáy ABCD Đặt AB = a
Do các mặt đối diện của hình lập
phương song song nên (BD’M) cắt các
mặt bên theo các giao tuyến song song
Thiết diện là hình bình hành BMD’N
Kẻ MH BD’ Ta có:
SBMD’N = 2SBMD’ = BD’.MH
N F
E O
D' A'
Ví dụ 13: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
tại B AB = c, BC = a cạnh bên AA’ = h trong đó h2 > a2 + c2 Một mặt phẳng (P)
đi qua điểm A và vuông góc với CA’
a Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp (P)
b Tính diện tích thiết diện
Mp (P) chứa AE và song song với BH.
Trong mp(ABC) kẻ đường thẳng qua
A và song song với BH cắt BC tại I, nối
IE cắt BB’ tại F, nối AF ta có thiết diện
E
I
H A
B
C
C'
B' A'
Gọi là góc giữa (AEF) và (ABC) Ta có ABC là hình chiếu vuông góccủa AEF trên mp(ABC) Do vậy:
15
download by : skknchat@gmail.com
Trang 16Ta có ngoài ra (cùng phụ với góc A’CA)
; SABC =
Ví dụ 14: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường
thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A Lấy S’đối xứng với S qua A gọi M là trung điểm SC Xác định thiết diện tạo bởi mặtphẳng (P) đi qua S’, M song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diện tích thiếtdiện đó khi SA = .
Giải:
+ Dựng thiết diện: Trong tam giác SAC
nối S’M cắt AC tại N
Do (P) // BC nên (P) cắt (ABC) theo
giao tuyến qua N và song song với BC
cắt AB tại P Tương tự (P) cắt (SBC)
theo giao tuyến qua M và song song với
BC cắt SB tại Q Thiết diện là tứ giác
S'
Do tam giác ABC vuông cân tại C nên BC AC, BC SA BC (SAC)
BC MN Ta có MNPQ là hình thang vuông
+ Tính diện tích thiết diện:
Xét tam giác SCS’ có S’M, CA là trung tuyến nên N là trọng tâm tam giácSCS’ Xét tam giác ACB vuông cân tại C suy ra
Trang 17Vậy
Ví dụ 15: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a cạnh bên Xét đường thẳng d đi qua A và song song với BD Gọi (P) là mặt phẳng qua d vàC’
a Thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì? Tính diệntích thiết diện theo a
b Ta có tứ giác ABCD là hình chiếu của tứ giác AMC’N trên (ABCD) gọi
là góc giữa (P) và (ABCD) theo công thức diện tích hình chiếu ta có:
Ví dụ 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a chiều cao SO = Dựng thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC Tính diện tíchthiết diện vừa dựng
Giải:
17
M
J I
download by : skknchat@gmail.com
Trang 18(P) là mặt phẳng qua A và song song với BD
Trong tam giác SAC kẻ AH SC, AH cắt SO tại E
Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB tại M, N Nối AM, AN,
MH, NH được thiết diện là tứ giác AMHN.
*) Do BD (SAC) MN (SAC) MN AH
a Dựng thiết diện của lăng trụ tạo bởi (P) qua B’ và vuông góc với A’C
b Tính diện tích của thiết diện nói trên
Giải:
Trang 19a Gọi E là trung điểm AC ta có:
(P) là mặt phẳng qua B’ và song song với
BE
Gọi E’ là trung điểm A’C’ ta có
(P) (A’B’C’) = B’E’ Gọi M là trung điểm
AE Ta chứng minh E’M vuông góc A’C
Thật vậy: Gọi O là giao điểm EE’ và A’C
O N
M
E'
E A
B
C
C' B'
A'
Ta có EE’ = A’E’ = a OE’ = ME = nên (cgc)
Mà
Suy ra: E’M A’C hay (P) (AA’C’C) = E’M
Qua M kẻ đường thẳng song song BE cắt AB tại N
Thiết diện là hình thang MNB’E’.
b Do BE (ACC’A’) NM (ACC’A’) MN ME
Suy ra MNB’E’ là hình thang vuông chiều cao ME’
Ta có : BE = (đường cao tam giác đều cạnh 2a)
19
download by : skknchat@gmail.com
Trang 203 KẾT LUẬN
3.1 Kết quả của đề tài:
Tôi đã giới thiệu và áp dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh bài toán thiết diện trong ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT Quốc gia” cho học sinh đội
tuyển Toán và các lớp 11B1, 11B2 tôi dạy và cho đồng nghiệp trong trường Kếtquả thu được có thể nói rất khả quan: sau ba tháng đa số các em làm bài có kết quảtốt hơn so với trước khi áp dụng đề tài
Cụ thể: 4 em đội tuyển Toán đều làm tốt phần này, thu được 1 giải 3, 1 kk
- Nhà trường tạo điều kiện tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy.Nhằm tạo điều kiện cho giáo viên có thể trao đổi chuyên môn, nhiệp vụ, từ đó nângcao tay nghề
- Nhà trường tạo điều kện có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôntập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề
- Nhà trường nên động viên các thầy giáo cô giáo nghiên cứu tìm tòi, trang bịcho đội tuyển học sinh giỏi, cho học sinh nghèo dưới dạng phần thưởng, phầnquà tạo điều kiện để các em học tốt
Thanh Hóa, ngày 19 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép của người khác
Trần Thị Chinh
Trang 21TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa hình học lớp 11.
[2] Sách bài tập hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao
[3] Đề thi học sinh giỏi lớp 11 các trường trong và ngoài tỉnh.
[4] Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018.
[5] Các tài liệu trên mạng internet.
21
download by : skknchat@gmail.com
