Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của KNE Giải Gọi H là giao điểm của KN và DC, giao điểm của AC và MN là I thì IM = IN Ta có: MN // CD MN là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD [r]
Trang 1Chuyên đề bồi dưỡng HSG
BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
I Kiến thức cần nhớ
1) Bổ đề hình thang:
“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy”
Chứng minh:
Gọi giao điểm của AB, CD là H, của AC, BD là G, trung điểm của AD, BC là E và F
Nối EG, FG, ta có: ADG CBG (g.g) , nên :
CB =CG 2CF =CG CF =CG (1)
Ta lại có : EAG=FCG (SL trong ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AEG CFG (c.g.c)
Do đó: AGE=CGF E , G , H thẳng hàng (3)
Tương tự, ta có: AEH BFHAHE=BHF
H , E , F thẳng hàng (4)
Tõừ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F thẳng hàng
2) Chùm đường thẳng đồng quy:
Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì
chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ
Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy ở O chúng cắt m tại A,
B, C và cắt n tại A’, B’, C’ thì
=
A'B' B'C'= A'C' hoặc AB = A'B' ; AB A'B'
* Đảo lại:
+ Nếu ba đường thẳng trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định ra
trên hai đường thẳng song song các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
thì ba đường thẳng đó đồng quy
+ Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi ba đường thẳng đồng quy tạo thành
các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng song song với nhau
II Bài tập
1 Bài tập tự luận
Bài 1:
Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm CD, N là trung điểm CB Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn
bằng nhau Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành
//
//
/ /
H
G E
F
D
C B
A
c b
a
O
n
m
C B
A
Trang 2Giải
Gọi E, F là giao điểm của AM, AN với BD; G, H là giao điểm của
MN với AD, BD
MN // BC (MN là đường trung bình của BCD)
Tứ giác HBFM là hình thang có hai cạnh bên đòng quy tại A, N
là trung điểm của đáy BF nên theo bổ đề hình thang thì N là trung
điểm của đáy MH
MN = NH (1)
Tương tự : trong hình thang CDEN thì M là trung điểm của GN
GM = MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra GM = MN = NH
Ta có BNH = CNM (c.g.c) BHN = CMN BH // CM hay AB // CD (a)
Tương tự: GDM = NCM (c.g.c) DGM = CNM GD // CN hay AD // CB (b)
Từ (a) và (b) suy ra tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành
Bài 2:
Cho ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q sao cho HP =
HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: HM ⊥PQ
Giải
Gọi giao điểm của AH và BC là I
Từ C kẻ CN // PQ (N AB),
ta chứng minh MH ⊥CN HM ⊥PQ
Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP
và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN MK là đường trung
bình của BCN MK // CN MK // AB (1)
H là trực tâm của ABC nên CH⊥A B (2)
Từ (1) và (2) suy ra MK ⊥CH MK là đường cao củaCHK (3)
Từ AH ⊥BC MC⊥HK MI là đường cao của CHK (4)
Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của CHK MH⊥CN MH⊥PQ
3) Bài 3:
Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia
đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC
Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của KNE
Giải
Gọi H là giao điểm của KN và DC, giao điểm của AC và MN là I thì IM = IN
Ta có: MN // CD (MN là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD)
Tứ giác EMNH là hình thang có hai cạnh bên EM và HN đồng quy tại K và I là trung điểm của MN
nên C là trung điểm của EH
H
G
F
E
N
M D
C B
A
I K N
M
Q
P
H
C B
A
Trang 3Trong ENH thì NC vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
nên ENH cân tại N NC là tia phân giác của ENH mà NC ⊥
MN (Do NM ⊥BC – MN // AB) NM là tia phân giác góc
ngoài tại N của ENH
Vậy NM là tia phân giác của KNE
Bài 4:
Trên cạnh BC = 6 cm của hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho
BE = 2 cm Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3 cm
Gọi M là giao điểm của AE và BF Tính AMC
Giải
Gọi giao điểm của CM và AB là H, của AM và DF là G
Ta có: BH = AB BH 6
Ta lại có AB = BE = 2 1 CG = 2AB = 12 cm
FG = 9 cm BH 6 BH = 2 cm
BAE = BCH (c.g.c) BAE = BCH mà BAE + BEA = 900
Mặt khác BEA = MEC ; MCE = BCH MEC + MCE = 900 AMC = 900
Bài 5:
Cho tứ giác ABCD Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ các đường thẳng song song với BD, cắt các
cạnh còn lại của tứ giác tại F, G
a) Có thể kết luận gì về các đường thẳng EH, AC, FG
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, cho biết OB = OD Chứng minh rằng ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy
Giải
a) Nếu EH // AC thì EH // AC // FG
Nếu EH và AC không song song thì EH, AC, FG đồng quy
b) Gọi giao điểm của EH, HG với AC
Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy tại A và
OB = OD nên theo bổ đề hình thang thì M là trung điểm của EF
Tương tự: N là trung điểm của GH
Ta có ME = MF
GN HN nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy tại O
2 Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Chọn câu đúng trong các câu sau:
A Hình thang có ba góc tù, một góc nhọn
//
//
I
K
D C
H M
G F
E
B A
O
H
G F
E
N M
B
A
Trang 4B Hình thang có ba góc vuông, một góc nhọn
C Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù
D Hình thanh có nhiều nhất hai góc nhọn và nhiều nhất hai góc tù
Hướng dẫn giải
Ta có tổng các góc của hình thang bằng 3600
+ Hình thang có ba góc tù, một góc nhọn
Ví dụ: Hình thang có 3 góc tù là 1000,1200,1350 và 1 góc nhọn là 600
⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 1000 + 1200 + 1350 + 600 = 4150 > 3600
⇒ Không tồn tại hình thang có ba góc tù, một góc nhọn ⇒ Đáp án A sai
+ Hình thang có ba góc vuông, một góc nhọn
Ví dụ: Hình thang có 3 góc bằng 900 và một góc nhọn bằng 650
⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 900 + 900 + 900 + 650 = 3350 < 3600
⇒ Không tồn tại hình thang ba góc vuông, một góc nhọn ⇒ Đáp án B sai
+ Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù
Ví dụ: Hình thang có ba góc nhọn là 450,750,800, một góc tù là 1600
⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 450 + 750 + 800 + 1600 = 3600
⇒ Tồn tại Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù ⇒ Đáp án C đúng
⇒ Hình thang có nhiều nhất là 3 góc nhọn ⇒ Đáp án D sai
Chọn đáp án C
Bài 2: Một hình thang có một cặp góc đối là 1250 và 750, cặp góc đối còn lại của hình thang đó là ?
A 1050,550
B 1050,450
C 1150,550
D 1150,650
Hướng dẫn giải
Tổng bốn góc của hình thang bằng 3600
Theo giả thiết ta có một cặp góc đối là 1250 và 750
⇒ Tổng số đo góc của cặp góc đối còn lại là 1600
Xét đáp án ta có cặp 1050,550 thỏa mãn
Chọn đáp án A
Bài 3: Hình thang ABCD có Cˆ + Dˆ = 1500 Khi đó Aˆ + Bˆ = ?
A 2200
B 2100
C 2000
D 1900
Hướng dẫn giải
Trang 5Tổng bốn góc của hình thang bằng 3600
Khi đó ta có: Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 3600 ⇒ Aˆ + Bˆ = 3600 - ( Cˆ + Dˆ )
⇒ Aˆ + Bˆ = 3600 - 1500 = 2100
Chọn đáp án B
Bài 4: Cho hình thang ABCD trong đó có Aˆ = 1200, Bˆ = 600, Dˆ = 1350 thì số đo của góc Cˆ = ?
A 550
B 450
C 500
D 600
Hướng dẫn giải
Tổng bốn góc của hình thang bằng 3600
Khi đó ta có: Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 3600 ⇒ Cˆ = 3600 - ( Aˆ + Bˆ + Dˆ )
⇒ Cˆ = 3600 - ( 1200 + 600 + 1350 ) = 450
Chọn đáp án B
Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D Biết AD = 3 cm và CD = 4cm Tính AC?
A 3cm
B 4cm
C 3,5cm
D 5cm
Hướng dẫn giải
Do tứ giác ABCD là hình thang vuông nên Dˆ = 90o
Suy ra, tam giác ADC là tam giác vuông tại D
Áp dụng đinh lí Py ta go vào tam giác vuông ACD ta có:
AC2 = AD2 + DC2 = 322 + 42 = 25
Suy ra: AC = 5cm
Chọn đáp án D
Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD có AB // CD và AD = 6cm; DC = 8cm và AC = 10cm Tìm khẳng định sai
?
A Tam giác ADC vuông tại D
B Tứ giác ABCD là hình thang
C Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Dˆ = 90o
D Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Bˆ = 90o
Hướng dẫn giải
Tứ giác ABCD có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có 2 đáy là AB và CD
Xét tam giác ACD có: AD2 + CD2 = AC2 (62 + 82 = 102 = 100)
Trang 6Do đó: Dˆ = 90o
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Dˆ = 90o
Vậy khẳng định D sai
Chọn đáp án D
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
