Trong quá trình dạy học và ôn luyện cho lớp 10A2 năm học 2017-2018,và lớp 10B9 năm học vừa rồi tôi nhận thấy việc vận dụng tính chất của đường phân giác sẽ giúp học sinh giải nhanh và ch
Trang 1
MỤC LỤC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA II
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG BÀI
TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG.
Người thực hiện : Nguyễn Thị Thu Hà Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THPT Tĩnh Gia 2 SKKN thuộc môn : Toán
Trang 2MỤC LỤC
Trang 3
`I MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình toán lớp 10 học sinh được học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bước đầu biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải một số bài tập trong sách giáo khoa như lập phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, đường elip…và các bài toán về góc, khoảng cách Bài toán tọa độ trong mặt phẳng luôn xuất hiện trong đề thi đại học các năm trước và đề thi THPT quốc gia hai năm gần đây Tuy nhiên bài toán này trong đề thi THPT quốc gia ngày càng nâng dần mức độ khó, đòi hỏi học sinh phải định hướng tốt, tư duy tìm được điểm “mấu chốt” của bài toán
Chủ đề về tam giác là chủ đề rộng được khai thác rất nhiều trong các đề thi Để giải quyết tốt được bài toán về tam giác nói riêng và bài toán tọa độ phẳng nói chung đòi hỏi học sinh phải nắm vững tính chất hình học và khai thác tốt tính chất hình học đó Trong nhiều bài toán các em còn phải mày mò tìm ra được tính chất hình học ẩn trong bài toán- đó là điểm “mấu chốt” để giải quyết bài toán Trong quá trình học tập và ôn thi THPT quốc gia rất nhiều học sinh lúng túng không giải được bài toán này Đặc biệt việc sử dụng tính chất đường phân giác sẽ giải quyết được các bài toán liên quan rất dễ dàng và nhanh gọn Trong quá trình dạy học và
ôn luyện cho lớp 10A2 năm học 2017-2018,và lớp 10B9 năm học vừa rồi tôi nhận thấy việc vận dụng tính chất của đường phân giác sẽ giúp học sinh giải nhanh và chính xác được các bài toán về tọa độ của điểm ,phương trình đường thẳng trên hệ trục tọa độ Oxy mà giả thiết bài toán có liên quan đến phương trình đường phân giác Vì vậy tôi chọn đề tài : “Sử dụng tính chất đường phân giác trong bài toán hình học tọa độ phẳng ”để giúp học sinh có tài liệu học tập ,luyện tập cho kiểu bài toán này,giáo viên có tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy
2 Mục đích nghiên cứu:
Trên cơ sở nghiên cứu đề tài: “Sử dụng tính chất đường phân giác trong bài toán hình học tọa độ phẳng ” cùng quá trình ôn luyện cho học sinh, tôi mong muốn giúp học sinh định hướng và khai thác tốt tính chất hình học cũng như tìm được tính chất hình học ẩn trong bài toán để giải quyết được bài toán về tam giác, từ đó các
em có thể giải quyết được các bài toán tọa độ phẳng nói chung, giúp các em có thể đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán
3 Đối tượng nghiên cứu:
Cách định hướng khai thác tính chất hình học của tam giác để giải bài toán về tam giác trong hình học tọa độ phẳng Oxy
4 Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
Trang 4
II NỘI DUNG
1 Cơ sở lí luận:
Hình học phẳng được xây dựng từ các đối tượng như điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác, đường tròn,elip,parabol,hypebol… Từ lớp 7 các em đã được học về các tam giác đặc biệt, các đường trong tam giác và tính chất của chúng Bài toán tọa độ trong mặt phẳng liên quan mật thiết tới kiến thức hình học phẳng mà các em
đã biết ở lớp dưới Khi giải một bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng ta cần phải đọc kỹ đầu bài, vẽ hình chính xác, phân tích giả thiết của bài toán, định hướng bài toán cho biết gì, cần phải làm gì Đặc biệt là khai thác tính chất hình học của bài toán.Việc sử dụng tính chất đặc trưng hợp lý sẽ tạo ra lời giải “đẹp” cho bài toán
2 Thực trạng vấn đề:
Đứng trước những bài toán hình học tọa độ phẳng như vậy học sinh thường lúng túng không xác định được đường lối, phương pháp giải, nhiều học sinh không tránh khỏi tâm trạng hoang mang, mất phương hướng Các em cho rằng nhiều dạng toán như thế thì làm sao nhớ hết các dạng toán và cách giải các dạng toán đó, nếu bài toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có thể sự thử nghiệm đó sẽ có kết quả nhưng hiệu suất giải toán sẽ không cao Với thực trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học tọa độ trong mặt phẳng nói chung và bài toán về tam giác nói riêng người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải: ta cần phải làm gì, giả thiết bài toán cho ta biết điều gì, đặc biệt khai thác tính chất đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải.Đặc biệt trong các bài toán liên quan đến đường phân giác ,việc sử dụng tính chất mà tôi đề cập dưới đây sẽ tạo cho học sinh có đường lối rõ ràng khi giải quyết bài toán
3.Giải pháp thực hiện:
Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, đường tròn, kiến thức về tọa độ của vectơ và của điểm Với mỗi bài toán cụ thể yêu cầu học sinh vẽ hình chính xác, bởi nhiều bài toán từ trực quan hình
vẽ ta có thể chỉ ra tính chất của hình và định hướng tìm cách giải Với mỗi dạng toán đó tôi đưa ra một số tính chất đặc trưng mà các bài toán hay sử dụng, các ví dụ
cụ thể, phân tích định hướng cách giải, trình bày lời giải, đặc biệt là bước phân tích định hướng tìm lời giải, thông qua đó giúp học sinh tư duy và vận dụng để giải bài toán khác một cách tốt nhất
Trang 5* Kiến thức liên quan tới đường phân giác trong:
Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm , gọi là đường phân giác trong góc ( ); là trung điểm ; phân giác cắt ( ) tại điểm thứ hai là
Tính chất 1: Ta có tỉ lệ:
Tính chất 2: Nếu điểm thuộc đường thẳng thì
điểm ’ đối xứng với qua sẽ thuộc đường
Tính chất 3: là điểm chính giữa cung và vuông góc với tại trung điểm của
Đặc biệt với tính chất 2 sẽ được sử dụng vào tất cả các bài toán tọa độ để có hiệu quả lới giải cao nhất
* Bài tập minh họa:
Bài tập 1:
Trong mặt phẳng tọa độ ,cho tam giác có đỉnh ,đường trung tuyến và đường phân giác trong có phương trình lần lượt là:
Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh
( Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư phạm Hà Nội -2005)
A
D
E
M
Định hướng:
Từ giả thiết ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm
Gọi là điểm đối xứng với qua .Tìm được tọa độ điểm
Theo tính chất của đường phân giác thì nằm trên đường thẳng
Từ đó viết được đường thẳng
Lời giải:
Gọi Do là trung điểm của nên
Mặt khác nằm trên nên ta có phương trình:
Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng .Ta dễ dàng tìm được
M D O A
E N N'
Trang 6Theo tính chất của đường phân giác thì nằm trên đường thẳng Nên đường thẳng đi qua 2 điểm và và có phương trình là:
Vậy phương trình đường thẳng là :
Bài tập 2:
Trong mặt phẳng tọa độ , hãy tìm tọa độ đỉnh của tam giác biết rằng hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng là điểm , đường phân giác trong của góc có phương trình : và đường cao kẻ từ có
( Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Cộng đồng Vĩnh Long -2004)
Định hướng:
Ta biết phương trình đường phân giác trong góc và
tọa độ điểm thuộc cạnh nên có thể tìm được tọa
độ điểm ’ đối xứng với qua phân giác và ’
thuộc Khi đó ta lập được phương trình cạnh
đi qua ’ và vuông góc với nên tìm được tọa độ
điểm Từ đó tìm được tọa độ điểm
Lời giải:
Gọi ’ là điểm đối xứng với qua phân giác
PT đường thẳng ’ đi qua và vuông góc với là: x+y+2=0
Tọa độ trung điểm của ’ là nghiệm của hệ:
Đường thẳng đi qua ’ và vuông góc với nên có PT:
Bài tập 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , tìm tọa độ đỉnh của tam giác
biết hình chiếu vuông góc của lên là phương trình đường phân giác trong của góc là ,phương trình đường cao kẻ từ là
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối B -2008)
I C
K
D H'
Trang 7
I A
H
D K
Định hướng:
Gọi là điểm đối xứng với qua đường phân giác Khi đó nằm trên đường thẳng Từ đó viết được phương trình đường thẳng Tìm được tọa độ điểm
Do là đường cao nên viết được phương trình đường thẳng
Do là giao điểm của và nên tìm được tọa độ điểm
Lời giải:
Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng
Phương trình đường thẳng là
Gọi .Tọa độ là nghiệm của hệ :
Do là trung điểm của nên
Theo tính chất của đường phân giác thì thuộc đường thẳng
Phương trình đường thẳng là:
Do nên tọa độ là nghiệm của hệ :
Do vuông góc với nên phương trình đường thẳng là :
Do nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ :
Vậy
Bài tập 4:
Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có đường phân giác trong góc có PT: , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( Viết phương trình cạnh biết diện tích tam giác bằng hai lần diện tích tam giác
( Tài liệu tham khảo trêndiễn đàn toán học)
Định hướng:
Trang 8Trong bài toán này vẫn cho phương trình đường phân giác trong góc nhưng không biết điểm nằm trên hai cạnh hoặc (khác điểm ) Vậy việc sử dụng tính chất đối xứng của đường phân giác trong bài toán này như thế nào ? Hay phải
sử dụng tính chất ẩn gì ở đây nữa? Vấn đề bài toán là ở chỗ này
Kéo dài phân giác trong góc cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ hai là ta có là điểm chính giữa cung Phương trình đường tròn ngoại tiếp ta lập được, suy ra tọa độ điểm .Do nên viết được dạng của phương trình đường thẳng Sử dụng tiếp giả thiết thứ hai
để tìm phương trình cạnh
Lời giải:
Gọi là giao điểm của đường phân giác trong góc với
đường tròn ( ) ngoại tiếp
Ta có
Đường tròn (C) có tâm và bán kính
nên có phương trình:
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:
Ta có => là điểm chính giữa cung =>
Do nên phương trình đường thẳng có dạng : 3x+4y+m=0
Mặt khác :
Vậy phương trình đường thẳng là hoặc
Bài tập 5:
Trong mặt phẳng tọa độ ,cho tam giác có phương trình đường phân giác trong góc và phân giác ngoài góc lần lượt là (d1): và (d2):
I A
D
Trang 9Tìm tọa độ các đỉnh , , của tam giác biết ; lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác
(Tài liệu tham khảo trên diễn đàn giáo viên toán)
Định hướng:
Giả thiết bài toán cho biết PT đường phân giác ngoài góc , vậy sử dụng giả thiết này như thế nào?
Vì tâm đường tròn nội tiếp , ta có thể lập được phương trình đường phân
giác trong góc (đi qua và vuông góc với phân giác ngoài)
Từ đó tìm được tọa độ điểm
Suy ra phương trình đường tròn ( )ngoại tiếp
( Tâm và bán kính )
Rồi suy ra tọa độ điểm
Để tìm tọa độ điểm ta sử dụng tính chất của
đường phân giác trong góc tìm điểm ’ là giao
điểm của phân giác trong góc với đường tròn ( )
Đường thẳng đi qua và vuông góc với ’
Do là giao của với đường tròn ( ) nên tìm được tọa độ điểm
Lời giải:
Đường phân giác ngoài góc đi qua và vuông góc với (d2) : nên có phương trình:
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ:
Đường tròn ngoại tiếp có tâm và có bán kính
Phương trình đường tròn ( ) :
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:
*) Với
Gọi ’ là giao điểm của đường phân giác trong góc với đường tròn ( )
nên có phương trình
A
A'
Trang 10*) Với phương trình :
(loại vì )
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ ,cho tam giác vuông tại ,có đỉnh
đường phân giác trong của góc có phương trình :
Viết phương trình đường thẳng biết diện tích tam giác bằng 24 và đỉnh
có hoành độ dương
( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010)
Định hướng:
Gọi là điểm đối xứng với qua đường phân giác ,khi đó thuộc đường thẳng Nghĩa là tam giác vuông tại nên nằm trên đường tròn đường kính Từ đó tìm được tọa độ điểm Khi đó viết được phương trình Sử dụng giả thiết còn lại tìm được tọa độ điểm và viết được phương trình đường thẳng Lời giải:
Gọi là điểm đối xứng của qua đường phân giác của góc
Phương trình đường thẳng là :
Gọi là trung điểm của ,tọa độ của là nghiệm
của hệ :
Theo tính chất của đường phân giác nên thuộc
.Do đó tam giác vuông tại nên nằm trên
đường tròn đường kính có phương trình là :
I D
B
Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ :
Do
Phương trình đường thẳng là :
Do là đường phân giác trong nên cùng hướng nên
Trang 11 Nhận xét:
Với 6 bài tập trên ta đều sử dụng tính chất hình học có sẵn trong bài toán là tính chất đối xứng của đường phân giác trong của tam giác.
Bài tập 7:
Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác vuông tại Điểm là hình chiếu vuông góc của lên Đường phân giác trong góc của tam giác thuộc đường thẳng d: Đường thẳng chứa trung tuyến của tam giác đi qua Tìm tọa độ các đỉnh biết điểm có tung độ dương
( Tài liệu tham khảo trên mạng Internet)
Định hướng:
Bài toán cho biết đường phân giác trong góc của nhưng không biết điểm thuộc cạnh mà biết điểm là chân đường vuông góc kẻ từ lên và đường trung tuyến đi qua điểm Vậy ba giả thiết này có mối liên hệ gì với nhau?
Từ giả thiết vuông tại ta chứng minh được đường phân giác trong góc cũng là phân giác trong góc Đó chính là tính chất hình học ẩn trong bài toán
Đến đây ta sử dụng tới tính chất đường phân giác trong để giải bài toán
Lời giải:
Gọi là chân đường phân giác trong góc ( )
Do là đường trung tuyến của tam giác vuông nên
cân tại nên
Lại có
là đường phân giác trong góc
Gọi ’ là điểm đối xứng với qua thì
’thuộc
Đường thẳng d đi qua và vuông góc với
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ:
M I
B
A
C H
H'
Trang 12Vì là trung điểm của nên
Đường thẳng đi qua hai điểm ’ và nên có phương trình :
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ:
Đường thẳng đi qua và có VTPT
Nên phương trình đường thẳng là:
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ :
Đường tròn ngoại tiếp có tâm và bán kính nên có phương
Tọa độ hai điểm là nghiệm của hệ:
Vậy ( Vì điểm có tung độ dương)
Nhận xét:
Để giải bài toán này ta cần chỉ ra được tính chất hình học ẩn trong bài toán đó là:
là đường phân giác trong góc
Bài tập 8:
Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác Các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho Trung điểm và lần lượt là Viết phương trình đường thẳng biết và phương trình đường thẳng
Định hướng:
Trong bài toán này các giải thiết của bài toán không liên quan tới đường phân giác trong mà cho biết tọa độ điểm và phương trình đường thẳng Một tư duy
tự nhiên ta nghĩ tới các đường thẳng qua hoặc và vuông góc với
Vẽ đường thẳng qua và vuông góc với Ta thấy có thể là đường phân giác trong góc Khi đó điểm ’ đối xứng với qua sẽ thuộc Khi
đó đường thẳng sẽ viết được phương trình
Vấn đề là làm thế nào chứng minh được d là phân giác trong góc Bài toán có các yếu tố đoạn thẳng bằng nhau và các trung điểm của và
Trang 13Hãy tìm mối liên hệ giữa các yếu tố này? Nếu gọi là trung điểm của ta hoàn toàn chứng minh được cân, từ đó suy ra đường thẳng qua vuông góc với là đường phân giác trong góc Mà và là phân giác trong góc
Lời giải:
Gọi lần lượt là trung điểm của và
Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với
và là đường phân giác trong
là phân giác trong góc
Đường thẳng qua và vuông góc với : nên có phương
Đường thẳng qua và vuông góc có phương trình :
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ:
Gọi ’ là điểm đối xứng của qua thì ’ thuộc là trung điểm ’
’(3;5)
Phương trình đường thẳng là
Nhận xét:
Trong bài toán này tính chất hình học ẩn trong bài toán là đường thẳng d qua
và vuông góc với là đường phân giác trong góc A.
Bài tập 9:
Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có điểm ngoại tiếp đường tròn tâm Gọi lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( ) với các cạnh Gọi là giao điểm của với Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác , biết
(Đề thi thử trường THPT Anh Sơn 2- lần 2-năm 2016)
Định hướng:
Từ trực quan hình vẽ ta thấy vuông góc với Nếu chứng minh được điều này ta sẽ tìm được hướng giải bài toán như sau:
d J
A
F
B'