Tài liệu “CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY” nhằm giúp cho học sinh lớp 12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Người thực hiện: Nguyễn Hữu Nam
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán học
THANH HÓA, NĂM 2019
Trang 2MỤC LỤC
1 Mở đầu 1
1.1 Lí do chọn đề tài……… ……… …… …1
1.2 Mục đích nghiên cứu………… ……… 1
1.3 Đối tượng nghiên cứu………….……… 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2
2 Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm 2 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay 3 2.3.1 Lý thuyết cơ bản 3 2.3.2 Lập ma trận chuyên đề 4 2.3.3 Các dạng toán theo ma trận……….5
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18
3 Kết luận, kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị……… ……… 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
Trang 31 Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài.
Vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăngtrụ, khối chóp, …gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học công thứctính thể tích Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơngiản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá,trừu tượng hoá
Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ởchương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em họcsinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay Khihọc vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máymóc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bịnhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ
để “chia nhỏ” thể tích mới tính được
Tài liệu “CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY” nhằm giúp cho học sinh lớp
12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắcphục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính thể tích của vật thể trònxoay Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về thể tích mà học sinh đã học
ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trongchương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đềứng dụng của tích phân Tài liệu này cũng phân loại các dạng toán theo các mức
độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất.Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyệnthi và ôn tập thi THPT Quốc gia
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trườngTHPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khaithác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tíchphân trong tính thể tích khối tròn xoay theo các cấp độ kiến thức khác nhau
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh cácdạng toán của ứng dụng tích phân trong hình học theo các cấp độ thông hiểu,vận dụng, vận dụng cao Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồngnghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương phápgiải các bài toán của ứng dụng tích phân trong hình học
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Ứng dụng của tích phân trong hình học Nội dung nằm ở chương 3 sách giáo
Trang 4Lập ma trận các dạng toán tính thể tích của khối tròn xoay theo các cấp độkiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học
- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019.
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy vàhoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sốngcủa con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiếnthức rộng, đa phần các em ngại học môn này
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúpcho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toántính thể tích của khối tròn xoay
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ởchương trình toán Giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúphọc sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính thể tích của vậtthể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia
Trang 5Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi)thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hìnhphẳng (hay vật thể tròn xoay) Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so vớikhi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây Học sinh không tận dụngđược kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đềnày
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính thể tích vật tròn xoay một cách máymóc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xétdấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừthể tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải
2.3 Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay.
2.3.1 Lý thuyết cơ bản.
a) Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng và
vuông góc với trục lần lượt tại
Một mặt phẳng bất kì vuông gócvới
tại điểm cắt C theo một thiết
diện có diện tích Giả sử là hàm liên
tục trên
Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn
bởi hai mp và được tính theo công
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay
miền được giới hạn bởi các đường
quanh trục Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với tại điểm có hoành
độ bằng là một hình tròn có bán kính
nên diện tích thiết diện bằng
Vậy thể tích khốitròn xoay được tính theo công thức:
Trang 6c) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi các
đường
tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay
quanh trục được tính bởi công thức:
.2.3.2 Lập ma trận chuyên đề.
hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao ỨNG
không đổi dấu trên )
Trang 7Bài toán thực tế liên quan
tính thể tích khối tròn xoay Câu 10,
11
Câu
12, 13,14
)
2.3.3 Các dạng toán theo ma trận.
Câu 1. Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường , , , quanh trục hoành cógiá trị bằng
Lời giải Chọn A
Trang 8Câu 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ,
, , Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành bằng
Lời giải Chọn A
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là
Câu 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục
hoành, hai đường thẳng , Thể tích của vật thể tròn xoay tạothành khi cho hình quay xung quanh trục bằng
, (trong đó , là các số hữu tỷ) Khi đó bằng
Lời giải Chọn D
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục là
Câu 4. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục
hoành Thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành là:
Lời giải Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là
Trang 9.Suy ra thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành là:
(đvtt)
Câu 5. Gọi là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm
số (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên)
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoànhbằng
.Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
Trang 10
Câu 6. Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường , quanh trục
A B. C D
Lời giải Chọn B
Trang 11Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường , trục hoành
Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường , trục hoành
Câu 8. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và
, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
Ox tại điểm có hoành độ x thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là và
Trang 12tại điểm có hoành độ làm một tam giác đều có cạnh là
A B C D .
Lời giải Chọn B
Câu 10.Một thùng rượu có bán kính các đáy là , thiết diện vuông góc với
trục và cách đều hai đáy có bán kính là , chiều cao thùng rượu là Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu
là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là baonhiêu ?
A lít B lít C lít D
lít
Lời giải Chọn D
Trang 13Đơn vị tính là Gọi qua
Câu 11. Một hình cầu có bán kính người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt
phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xungquanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ) Tính thể tích màchiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu
Trang 14Ta có nửa phần trên trục hoành của là
Thể tích của chiếc lu được tính bởi công thức:
Câu 12.Một viên gạch hoa hình vuông cạnh được thiết kế như hình bên
dưới Diện tích hoa văn trang trí (phần tô đậm) bằng
y = 20x
y = 201x2
A. B. C. D.
Lời giải Chọn A
Diện tích hoa văn trang trí bằng bốn lần diện tích một cánh hoa được tính theo công thức sau:
Câu 13.Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm , sao
cho là một đường kính của đường tròn Gọi là hìnhphẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phầnđược gạch chéo như hình vẽ) Quay quanh trục ta được mộtkhối tròn xoay Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành
A B C D
Lời giải
Trang 15Phần hình phẳng giới hạn bởi các đường trên có tính đối xứng qua trục , khi
đó thể tích cần tính chính bằng thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục trừ đi thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục
Câu 14.Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có
đường kính lần lượt là và Mặt xung quanh của bình là một phầncủa mặt tròn xoay khi quay đường cong quay quanh trục Thể tích của bình cắm hoa đó bằng
Lời giải Chọn B
Trang 16Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 và 4 nên bán kính của đáy bình và miệng bình lần lượt là 1 và 2.
Vậy thể tích của bình cắm hoa là
Câu 15.Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu , có cùng bán
kính thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc và ngược lại (xemhình vẽ) Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi và
Lời giải Chọn C
x
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục và mặt cầu tâm là hình tròn Diện tích thiết diện là
(Trong đó là khoảng cách từ đến mặt phẳng )
Trang 17Thể tích cần tính là:
Câu 16.Gọi là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số
của để đạt giá trị lớn nhất là
Lời giải Chọn B
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :
Bảng biến thiên
Hàm số có 1 cực trị duy nhất tại và là điểm cực đại Do đó giá trị lớn nhấtcủa hàm số đạt được tại
Câu 17.Cho Parabol và hai điểm
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi và trục , là hình chữnhật ( là 2 điểm thuộc ) Gọi là thể tích hình tròn
Trang 18xoay có được khi xoay quanh và là thể tích hình tròn xoay cóđược khi xoay quanh Tính giá trị lớn nhất của tỉ số
Lời giải Chọn C
Suy ra đạt giá trị lớn nhất là khi
Câu 18.Gọi là phần hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay quanh trục
A B C D
Lời giải
Chọn A
Trang 19Gọi là thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi
quanh :
Gọi là thể tich sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
quanh :
Câu 19.Cho hình giới hạn bởi các đường và ( phần gạch
sọc trong hình) Khối tròn xoay khi quay xung quanh trục có thểtích bằng bao nhiêu?
Lời giải Chọn D
Thể tích của khối tròn xoay:
Trang 20
Câu 20.Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và
(phần tô đậm trong hình) Khối tròn xoay tạo thànhkhi quay xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?
Lời giải Chọn D
Trang 21Chia thành 3 phần như hình 3 Khi đó thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục hoành là:
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tìm là:
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12,được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tính thể tíchkhối tròn xoay Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các
em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập.Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sángkiến này vào giảng dạy thì số Học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản cácdạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
Tổng số
Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5Số
lượng
Tỷlệ
Sốlượng Tỷ lệ
Sốlượng Tỷ lệ
Trang 22viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bàitốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung
và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác
Nguyễn Hữu Nam
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Tuyển tập các chuyển đề & kỹ thuật tính Tích phân- Trần Phương.
[3] Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục &Đào tạo
[4] Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 và 2019 của các trường THPTtrên toàn quốc