(SKKN mới NHẤT) hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán tự luận và TNKQ liên quan đến số phức trong thi tốt nghiệp THPT quốc gia

Luyện tập ngoàiviệc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúp họcsinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệthố

MỤC LỤC

10 I Hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức cơ bản. 5

12 Dạng 1: Bài toán xác định một số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước 7

14 Dạng 3: Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z 12

15 III Phụ lục: Giới thiệu một số câu hỏi dạng TNKQ và lời giải 17

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành

đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động, sáng tạo, có

đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" [1] (Trích văn kiện Đại

hội Đảng toàn quốc lần thứ VII) Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa

XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án “Đổi mới căn

bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” [2] Trong

những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới mạnh mẽ cả về nội dung,phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan

2 Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạonhững con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi mới phương pháp dạy học khôngchỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập Luyện tập ngoàiviệc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúp họcsinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệthống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng độngsáng tạo

3 Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp dùnglời (thuyết trình, đàm thoại ), các phương pháp trực quan, các phương pháp thực hành,luyện tập đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lý thuyếttình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, có sử dụngmáy tính đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn mới

4 Với tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp giảng dạy đểphù hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay Trong công tác giảng dạy, tôi đã luôn traudồi, tích luỹ kinh nghiệm qua từng bài học, qua từng tiết dạy cũng như đã dự nhiều tiếtdạy của đồng nghiệp giúp tôi ngày càng hoàn thiện từ đó giúp các em học sinh hăng say

trong tìm tòi nghiên cứu và học tập, các em đã linh hoạt và sáng tạo hơn trong con đườngchiếm lĩnh tri thức của mình.

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Qua đề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ hệ thống kiến thức về số phức, các phéptoán trên C, biểu diễn hình học của số phức trên mặt phẳng phức, phương trình bậc hai vàmột số phương trình bậc cao đơn giản trên C để hình thành cho học sinh phương phápgiải các dạng toán này một cách chủ động, tự tin và khoa học

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các bài toán liên quan đến số phức như nhân, chia, cộng trừ, khai căn bậc hai, lũythừa hay giải các phương trình trên tập các số phức ở trường THPT thường gặp trong kỳthi THPT Quốc Gia

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập, Sách

tham khảo, đề thi THPT Quốc Gia, đề giới thiệu của Bộ GD – ĐT, đề giới thiệu của các

Sở GD – ĐT và các tài liệu liên quan

2 Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và học

phần bài tập này

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.

PHẦN HAI: NỘI DUNG

A CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:

Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có liên

quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp, do đó người làmtoán phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với bài toánnày hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội dung:

"Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một điều

kiện thiết yếu”[3].

Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến

thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bàybài toán theo một thể thống nhất Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức màtrong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tư duy cần thiết chongười làm toán

B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Chúng ta đã biết, Số phức có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh của khoa học, kỹthuật, suốt một thời gian dài chỉ được giảng dạy ở các trường Đại học, Cao đẳng vàTrung học chuyên nghiệp mà không giảng dạy ở phổ thông nên đã gây ra sự thiệt thòicho nhiều học sinh không có điều kiện học tiếp Trước những đòi hỏi khách quan của thờiđại bùng nổ thông tin và khoa học kỹ thuật hiện đại ngày nay, Bộ GD – ĐT đã đưa phần

Số phức về giảng dạy cho học sinh khối THPT (học sinh lớp 12), và nó đã tạo ra sựhưởng ứng tích cực của đội ngũ thầy cô giáo và các em học sinh

Đây không phải là nội dung khó, song là nội dung mới và có những kết quả khácnhiều so với những gì mà các em học sinh đã biết trước đây trên tập số thực, bởi vậyphần nào cũng làm cho các em có phần bỡ ngỡ nhất định, do vậy khi dạy học sinh học,chúng ta cần làm rõ để học sinh thấy được sự ra đời của Số phức là một thực tế khácquan, nó xuất hiện một cách tự nhiên, đồng thời ta cũng cho các em thấy rõ từng phầntrong kiến thức một cách cẩn thận, chắc chắn

2 Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tàiliệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận cácbài toán về số phức một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các yêu cầu cầnthiết của đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn đối với một

trong những vấn đề mới ở trường phổ thông, bởi vậy tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học

sinh giải một số dạng toán tự luận và TNKQ liên quan đến số phức trong thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia” Tôi mong rằng qua đề tài này có thể góp phần làm tăng

thêm khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về phần sốphức cho học sinh

C CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP THU KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả

mãn i 2 = -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

2 Hai số phức bằng nhau.

Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i; z = z’ 

3 Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi

Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu là môđun của số phư z, đó là số thực không âm

được xác định như sau:

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì = =

- Nếu z = a + bi, thì = =

8 Phép chia số phức khác 0.

- Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a 2 +b 2 > 0 ).Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số

phức z ≠ 0 là số: z -1 =

- Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

* Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất

giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.

9 Phương trình bậc hai với hệ số phức.

Cho phương trình bậc hai với và Phương trình này cóbiệt thức , Khi đó

* Nếu thì phương trình có hai nghiệm với là một căn bậc hai của

* Nếu thì phương trình có nghiệm kép

Đặc biệt: Khi là các số thực thì với :

+) phương trình có hai nghiệm phân biệt

+) phương trình có hai nghiệm phức

II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Bài toán xác định một số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước.

1 Thuật toán :

Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng z = a +b.i (với a, b thực)

Bước 2: Từ các điều kiện ban đầu ta lập hệ phương trình với ẩn là a, b.

Bước 3: Giải hệ phương trình để từ đó tìm a, b

2 Một số bài tập minh họa :

Nhóm 1: Các bài toán dạng tự luận

Bài 3: (KA-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết (3)

Lời giải Giả sử ( ), ta có

Nhóm 2: Một số bài dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ)

Bài 1(TNKQ): Cho số phức z thỏa mãn: và Xác định phần thực của z?

và suy ra: Do đó:

Chọn C

Dạng 2: Căn bậc hai và phương trình trên C.

1 Kiến thức liên quan:

Căn bậc hai của số phức:

Định nghĩa: Cho số phức

Căn bậc hai của số phức là số phức thỏa mãn

Phương trình bậc hai trên tập số phức

Gọi là căn bậc hai của , nghiệm của phương trình là:

2 Một số bài tập minh họa :

Nhóm 1: Các bài toán dạng tự luận

Bài 1: Tìm các căn bậc hai của số phức [4]

Từ bài toán xác định các căn bậc hai của một số phức, ta có thể giải được các phương trình bậc hai trên C Ta hãy xét bài toán sau:

Bài 2: Giải phương trình: [4]

Thay (2) vào (1) ta được:

vậy có hai căn bậc hai là 2 + i và -2 - i

Bài 4: Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình:

Lời giải

Bên cạnh việc giải các phương trình bậc hai, chúng ta còn gặp các phương trình bậc

cao như bậc 3, bậc 4 Khi đó để giải các phương trình này ta phải biến đổi để quy về các phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua phương trình tích hoặc dùng ẩn phụ:

Bài 5: Giải phương trình:

Lời giải

Dễ thấy z = -i là nghiệm của (1) nên

Giải (2):

Vậy có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2-i

Do đó nghiệm của (2) là

Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i

Bài 7: Giải phương trình sau trên tập số phức C: (1) [5]

Lời giải : Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z

Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( (2)

Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= ; z=

Nhóm 2: Một số bài dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ)

Bài 1: Giải phương trình trên tập số phức Chọn phát biểu đúng:

A Phương trình chỉ có 1 nghiệm

B Phương trình này vô nghiệm

C Phương trình này có hai nghiệm

D Phương trình này có hai nghiệm

Suy ra phương trình có hai nghiệm

Thay vào w ta được

Bước 3: Từ hệ thức nhận được ta suy ra quỹ tích cần tìm.

2 Một số bài tập minh họa :

Nhóm 1: Các bài toán dạng tự luận

Bài 1 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn:

Lời giải

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có PT [6]

Bài 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho số phức là một sốthuần ảo

Lời giải

Tử số bằng

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm , bán kính bằng ,khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).[6]

Bài 3 Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức biết số phức z thỏa

Nhận xét: Bên cạnh bài toán tìm quỹ tích điểm, chúng ta còn gặp bài toán liên quan đến

mô đun nhỏ nhất hoặc lớn nhất của số phức Ta xét bài toán sau:

Bài 4: Biết rằng số phức z thỏa mãn là một số thực Tìm giá trịnhỏ nhất của |z|

Lời giải

Dấu = xảy ra khi Vậy

Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của ? [6]

Lời giải

Vậy

Nhóm 2: Một số bài dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ)

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

điều kiện:

A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1

C Đường tròn tâm bán kính 2 D Đường tròn tâm bán kính 3

A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1

C Đường tròn tâm bán kính 5 D Đường tròn tâm bán kính 3

Lời giải

Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bánkính bằng 5 và tâm là

Chọn C

Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa

mãn điều kiện

A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1

C Đường tròn tâm bán kính 5 D Đường tròn tâm bán kính 2

A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1

C Đường tròn tâm bán kính 5 D Đường tròn tâm bán kính 2

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn:

Bài 6: Cho số phức z = x +yi, với có điểm biểu diễn M thuộc đường thẳng

và có giá trị nhỏ nhất Số phức z là:

Lời giải

Ta có: điểm biểu diễn M thuộc đường thẳng d nên:

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất

.

Phương pháp tự luận: Giả sử

Phương pháp trắc nghiệm: Giả sử

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện là đường thẳng

.Phương án A: có điểm biểu diễn nên loại A

Phương án B: có điểm biểu diễn nên loại B

Phương án D: có điểm biểu diễn nên loại B

Phương án C: có điểm biểu diễn

Bài 8: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Trong mặt phẳng tập hợpđiểm biểu diễn số phức là hình tròn có diện tích:

Đáp án C

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm , bán kính

Vậy diện tích cần tìm là [6]

PHỤ LỤC GIỚI THIỆU MỘT CÂU HỎI DẠNG TNKQ VÀ LỜI GIẢI

Câu 3: Cho các số phức khác nhau thỏa mãn: Chọn phương án đúng:

A B là số phức với phần thực và phần ảo đều khác

Số phức khác nhau thỏa mãn nên chọn , suy ra là

Câu 6: Kí hiệu là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức

PHẦN BA: KẾT LUẬN

1 Kết quả đạt được

Sau một thời gian giảng dạy như trên tôi thấy đã thu được những kết quả hết sức khảquan:

Đa số học sinh tiếp thu được kiến thức cơ bản

Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạngbài tập cơ bản cũng như bài tập vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạngbài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo

Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạngbài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành Tinh thầnhọc tập của các em học sinh khi được nghiên cứu phần này tăng lên đáng kể, các emhứng thú hơn trong việc tìm tòi, khám phá các lời giải, đồng thời tạo ra một động lực đểthúc đẩy trong việc nghiên cứu tiếp thu các phần kiến thức khác

Kết quả học phần này được nâng lên rõ rệt Trong các bài thi kiểm tra định kỳ, bài thihọc kỳ, bài thi THPT có nhiều em đạt điểm 10 môn Toán, có nhiều em đạt kết quả điểmthi THPT với điểm số rất cao

Trên cơ sở của chuyên đề này cùng với sự đồng ý của Ban giám hiệu nhà trường, tổchuyên môn ,tôi đã tiến hành thực hiện nội dung chuyên đề nêu trên của mình trên banăm liên tục, đó là các lớp 12A3, 12A9, 12A10 (năm học 2014 - 2015), các lớp 12A1,12A5, 12A7 (năm học 2015 - 2016) và các lớp 12A1,12A2, năm học 2016 - 2017), (Tổng

số học sinh bình quân là 90), kết quả thu được trong các kì thi thử THPT ở trường vớibảng số liệu sau:

Số em tham gia

làm bài thi

Đạt điểm dưới 5,0

Đạt từ 5,0 đến 6,5

Đạt từ 6,5 đến 7,5

Đạt từ 7,5 đến 8,5

Đạt trên 8,5

2 Bài học kinh nghiệm:

Nắm vững chuyên môn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả năng bao quát kiếnthức, có tinh thần trách nhiệm trong công việc

Trong công tác giảng dạy cần đổi mới phương pháp dạy học, tìm ra phương pháp phùhợp cho nội dung bài học Trước khi lên lớp cần có sự nghiên cứu kĩ nội dung chươngtrình, đặc biệt là tình hình học sinh để đưa ra bài học sát với khả năng của học sinh, chọnlọc hệ thống bài tập phù hợp, có sự hướng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh vận dụng đượctốt

Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện bài viết một cách cẩn thận nhất, song vẫn khôngtránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chuyên môn đóng góp ý kiến bổ sung đểchuyên đề ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn nữa Cũng rất mong được sự góp ý củaquý đồng nghiệp để chúng tôi có dịp được trau dồi và tích lũy kiến thức nhằm hoàn thànhtốt nhiệm vụ giáo dục được giao

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của ngườikhác

[3] Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục năm 1995.

[4] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục năm 2005.

[5] Phương pháp ôn luyện thi Đại học cao đẳng, môn toán theo chủ đề, NXB Đại học sư phạm.