Câu I: (4,0 điểm). 1. Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng 2. Giải phương trình sau: . Câu II: (4,0 điểm). 1. Giải phương trình sau: . 2. Giải hệ phương trình sau: Câu III: (4,0 điểm). 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: 2. Cho dãy số a. Chứng minh dãy số là dãy số giảm. b. Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số . Câu IV: (4,0 điểm). 1. Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp . Tính xác suất để trong baCâu V: (4,0 điểm). 1. Cho tứ diện , gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của . Một mặt phẳng đi qua cắt các cạnh lần lượt tại . Tính . số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp. Câu V: (4,0 điểm). 1. Cho tứ diện , gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của . Một mặt phẳng đi qua cắt các cạnh lần lượt tại . Tính .
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019- 2020 Môn thi:Toán– LỚP 11 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang
Câu I: (4,0 điểm)
1 Tìm m để hàm số
2 )
1 ( 2 )
y
đồng biến trên khoảng )
(-2;+∞
Câu II: (4,0 điểm).
1 Giải phương trình sau:
2 sin
2
1 2 cos 2
sin 3 2 sin cos sin
=
−
+
−
−
−
−
x
x x
x x
x
2 Giải hệ phương trình sau:
−
=
− +
−
+
= +
−
+
4 5
3
2 2
x y x
x
x x
y y x x
Câu III: (4,0 điểm).
1 Cho ba số thực dương
a, b, c
thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng:
1 2
3 2
3 2
+ +
+ + +
+ +
c a
c b
b c
b a a
2 Cho dãy số
( )u n :
n , n N
u
u
=
=
−
2
31 1 1
a Chứng minh dãy số
( )u n
là dãy số giảm
b Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số
( )u n
Câu IV: (4,0 điểm)
1 Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp {1; 2; 3; 20}
Tính xác suất
để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp
x x
x x
Trang 22 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
,
Oxy
cho hình vuông ABCD có
1) (5;
D
Gọi
M
là trung điểm của BC và N thuộc AC sao cho AC =4AN
Biết rằng đường thẳng
MN
có phương trình
0 4
3x−y− =
và M có tung độ dương Tìm tọa độ đỉnh C
Câu V: (4,0 điểm).
1 Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác BCD, G' là trung điểm của AG
Một mặt phẳng ( )α
đi qua G' cắt các cạnh
AB, AC, AD
lần lượt tại
B', C', D'
Tính '
'
AD AC
AC
AB
AB
+
+
2 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi ( )P
là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD')
Xác định vị trí của M để thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng ( )P
có diện tích lớn nhất
……….HẾT……
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019- 2020 Môn thi: TOÁN– LỚP 11 THPT
(Hướng dẫn chấm có 06 trang)
I
4,0
điể
m
1 Tìm m để hàm số
2 )
1 ( 2 )
y
đồng biến trên khoảng )
Với m=0 ta có y=2x-2 nên hàm số đồng biến trên R 0,5
Với m>0 hàm số đồng biến trên khoảng
1
;
m m
−
Để hàm số đồng biến trên khoảng
1
;
m m
−
thì
1 2
m
3
m
0,25
Trang 3II
4,0
điể
m
Vậy m
1 0;
3
∈
2,0
Điều kiện xác định của bất phương trình là x∈ −[ 3;2]
(*).
Phương trình (1) ⇔
Đặt t=
.Phương trình trở thành
6 5 0
5
t
t t
t
=
Với t=1 ta có 2− +x 2 3+ = ⇔x 1 3x+ +13 4 2( −x) (3+x) =0
(vô nghiệm ) do − ≤ ≤3 x 2
0,5
Với t=5 ta có
2
2
11 3 0
25 50 25 0
x
Vậy phương trình có nghiệm x=1
1 Giải phương trình sau:
2 sin
2
1 2 cos 2
sin 3 2 sin cos sin
=
−
+
−
−
−
−
x
x x
x x
x
Điều kiện
2
s inx
3 2
2 4
≠ +
(k,l ∈ Z)
0,5
2,0
0,5
x x
x x
Trang 4Phương trình tương đương
( ) ( ) ( )
2 sinx cos sin 2 3 2sin cos 2sin 0 sinx- cosx sin 2 3 2sin sinx cos 0 sinx cos sin 2 2sin 3 0
sinx cosx 0 1 sin 2 2sin 3 0 2 1
4 sin 2 1 2
sinx 1
x loai
⇔ = +
=
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
( )
5 2 4
x= π +k π k∈ Ζ
0,5
0,5 0,5
III
4,0
Điể
2 Giải hệ phương trình sau:
( )
Điều kiện
(2 3) 0 5
x x y
Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình là
2
4 0
Pt(1)
(x y 4) (x2 1) 0 y 4 x
Thay vào pt(2) ta được
2
2
1 2
2 3 3
3
3
1 2
2 3 3
3
1 2
2 3 3
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
+ +
− +
=
+ +
− +
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3;1)
1,0
0,5
Trang 5IV
4,0
điể
m
1 Cho ba số thực dương
a, b, c
thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng:
1 2
3 2
3 2
+ +
+ + +
+ +
c a
c b
b c
b a a
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có
1
1 1
c a b c a b c a
a
Tương tự
;
Khi đó
1
a b c b c a c a b
a b c ab bc ca
0,5
0,5 0,5 0,5
2 Cho dãy số
( )u n :
n , n N
u
u
=
=
−
2
31 1 1
a Chứng minh dãy số
( )u n
là dãy số giảm
b Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số
( )u n
2,0
a)Ta có
1
1
2 3
n
u
u + = +
Chứng minh n 1 n
u + <u
bằng phương pháp qui nạp toán học
1,0
b)Ta có
1
+
Đặt
3n 6
n n
v = u +
ta được
1
3
( ) 2
v + = v ⇒ v
là cấp số nhân với v1=9 , công bội
0,5
Trang 6n
−
0,5
1 Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp {1; 2; 3; 20}
Tính xác suất
để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp
Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ tập A là
3 20
C
=1140 cách
Số cách chọn ba số liên tiếp là 18 cách
Số cách chọn ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp là 17.2+17.16=306
cách
Vậy xác suất cần tìm là
1140 18 306 68
2,0 0,5
0,5 0,5
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
,
Oxy
cho hình vuông ABCD có
1) (5;
D
Gọi M
là trung điểm của BC và N thuộc AC sao cho AC 4= AN
Biết rằng đường thẳng MN
có phương trình
0 4
3x−y− =
và M có tung độ dương Tìm tọa độ đỉnh C
Gọi I là tâm hình vuông , ta có tanNDI=tanMDC=1/2
0 45
NDM IDC ICM
Do đó tư giác NDCM nội tiếp
0 90
DNM
DNM
⇒ ∆
vuông cân tại N
Phương trình DN x+3y-8=0
N là giao điểm của DN và MN ⇒N( )2;2
Gọi K=AC∩DM ⇒ K là trọng tâm của
11 11
3 3
∆ ⇒uuur= − uuuur⇒ ÷
2,0 0,5
0,5 0,5
0,5
Trang 7Lại có
( )
5;5
KN
KC = ⇒uuur= − uuur⇒
V
4,0
điể
m
1 Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác BCD, G' là trung điểm của
AG
Một mặt phẳng ( )α
đi qua G' cắt các cạnh
AB, AC, AD
lần lượt tại
B', C', D'
Tính ' ' AD'
AD AC
AC AB
AB
+ +
2,0
Ta chứng minh kết quả : Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Một đường
thẳng d bất kỳ cắt AB,AM,AC lần lượt tại B1,M1, C1.Khi đó
2
AB AC AM
AB + AC = AM
0,5
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và BG
Gọi
/, /
M N
lần lượt là giao điểm của ( )α
với AM,AN
Áp dụng kết quả trên cho tam giác ACD ta được
( )
2 1
AC AD AM
AC + AD = AM
Áp dụng cho tam giác AMN ta được
2
AN AM AG
AN + AM = AG
( )
2
AN AM AG
AN AM AG
Áp dụng cho tam giác ABG ta được
( )
2 3
AB AG AN
AB + AG = AN
Thay (1),(3) vào (2) ta được
3
6
AB AC AD AG
AB + AC + AD = AG =
0,5
0,5 0,5
M I
K N
C D
B A
Trang 8
2 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi ( )P
là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD')
Xác định vị trí của M để thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng ( )P
có diện tích lớn nhất
2,0
Các tam giác JKI,ACD/,RQI,SMJ,NKP đồng dạng nên
0,5
0,5
0,5
A
A
C’
C1
B
M1
C E
F
B
B1
I
Q R
B’’
A’’
K N
B J
Trang 9;
JM MA NC NK PC PK QD QI
MN MB NB MN PC PQ QC QP
MJ NK PK QI
RQI JMS NKP
Và có diện tích là S1
Gọi diện tích các tam giác JKI và ACD/ là S2 và S
Đặt
(0 1)
AM
k k
ta có
1
1
2
2
k S k S
+
Diện tích thiết diện là
( )2 2
2 1
3
2
td
S
S =S − S = +k S− k S ≤
Dấu “=” xảy ra khi
1 2
k =
Vậy diện tích thiết diện lớn nhất khi M là trung điểm của AB
.