(SKKN CHẤT 2020) báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến ứng dụng đao hàm trong tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ham số

Một bàitoán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ

1 Lời giới thiệu:

Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT Một bàitoán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ

đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn Ứng dụng cách tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số vào giải quyết các bài toán thực tế, giảm chi phí, nâng cao chấtlượng và hiệu quả trong công việc…

Nội dung tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong nhữngnội dung quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia trong những nămgần đây, nhưng rất nhiều học sinh còn mơ hồ và lúng túng không biết giải bài toán này.Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có nhiều dạng khác nhau Họcsinh không biết phân loại bài tập để có cách giải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tậprất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trường hợp

Học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về lí thuyết; chưa được rènluyện nhiều về kĩ năng Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm về bàitoán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với mong muốn giúp học sinhhiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toánthành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đạo hàm

để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”

2. Tên sáng kiến: “Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”

3. Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THƠM

- Địa chỉ: Trường THPT Trần Hưng Đạo- Tam Dương –Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0985794595

- Email: nguyenthithom.gvtranhungdao@vinhphuc.edu.vn

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Thơm

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Chương I: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ

thị của

hàm số Trong chương trình Giải tích 12 bậc THPT Cụ thể như sau:

1

download by : skknchat@gmail.com

- Về phía học sinh, tôi lựa chọn học sinh các lớp 12A3, 12A4 trường THPTTrần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc, do tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2018–2019.

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Năm học 2018 -2019.

7. Mô tả bản chất của sáng kiến:

PHẦN I NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

Cho hàm số liên tục trên đoạn

Nếu giữ nguyên dấu trên đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn

3. QUY TẮC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

Bước 1 Tìm các điểm trên khoảng mà tại đó

hoặc không xác định

Bước 2 Tính

.Bước 3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có

4. CHÚ Ý KHI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT:

Nếu hàm số liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên thì

2

download by : skknchat@gmail.com

Nếu hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kỳ thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn có độ dài bằng

Khi bài toán yêu cầu tìm GTLN, GTNN mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số

3

download by : skknchat@gmail.com

PHẦN II CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1.1 Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Phương pháp

Tự luận

Xét hàm số trên khoảng TínhTìm các điểm , tại đó hoặc Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng Kết luận

Câu 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A Câu 2 (MH – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng

Câu 4. Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng là

Khi đó, các giá trị lần lượt là :

Phân tich cac sai lâm dễ măc phai cua hoc sinh

Học sinh không loại giá trị

5

download by : skknchat@gmail.com

download by : skknchat@gmail.com

Câu 9. Giá trị lớn nhất của hàm số

download by : skknchat@gmail.com

Phân tich cac sai lâm dễ măc phai cua hoc sinh

Học sinh không tìm TXĐ của hàm số, Tìm GTLN, GTNN bằng cách

download by : skknchat@gmail.com

DẠNG 2 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Phương pháp:

Tư luâṇ thuân túy:

B1: Đặt B2: Tìm điều kiện của t là B3: Chuyển hàm số theo t: .B4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên

Casio: (Nếu TXĐ là đoạn).

Tìm TXĐ, để chế độ chỉ có 1 hàm ấn shift + mode + 5 +

1 B1: Ấn MoDe sau đó chọn 7 (TABLE)

B2: Nhập biểu thức vào máy

B3: Ấn “=” sau đó nhập giá trị Start, end, step với

Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng:

Lơi giai Chon B

Giai theo tư luân:̣

Giai theo pp trăc nghiêm:̣

Phân tich cac sai lâm dễ măc phai cua hoc sinh:

Học sinh không nhớ công thức lượng giác nên dễ biến đổi sai hoặc khi thử nghiêm bằng máy tính không đổi sang đơn vị radian

9

download by : skknchat@gmail.com

download by : skknchat@gmail.com

Câu 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giai theo tư luân:̣

Phân tich cac sai lâm dễ măc phai cua hoc sinh:

Học sinh thường hay quên tìm điều kiện của t nên sẽ chọn đáp án B hoặc nhầm lẫn khoảng xác đinh của hàm số nên sẽ chọn D hoặc sử dụng Casio

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI TOÁN 1: Biết bẳng biến thiên – đồ thị của hàm số

Dựa vào đồ thị, BBT để xác định giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

Ví dụ 1: (MH – 2019) Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình bên Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

đoạn Giá trị của bằng

A B.

C D

Câu 5 Hàm số có đồ thị như hình vẽ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất trên đoạn tại điểm có hoành độ lần lượt là Khi đó tổng

A Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 và không có giá trị lớn nhất

3

B Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 và giá trị lớn nhất bằng 1

C Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

D Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ x 1

và giá trị nhỏ nhất bằng 1

A B C D .

Bài toán 2: Biết bảng biến thiên – đồ thị của

Dựa vào đồ thị của đạo hàm để lập BBT, từ đó xác định giá trị nhỏnhất, giá trị lớn nhất

Vi du 2: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng tại bằng bao nhiêu?

A B C D Lơi giai Chon C

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng tại

Bài tập tương tự:

Câu 1. Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số

như hình bên Tìm giá trị để hàm số đạt giá trị lớn

17

download by : skknchat@gmail.com

Câu 3. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng tại bằng bao nhiêu?

Câu 4. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ

18

download by : skknchat@gmail.com

Hàm số

của

A

Vận dụng cao

Câu 5. Cho hàm số liên tục trên Đồ thị của hàm số như hình

bên Đặt Mênḥ đê nao dươi đây đúng.

y

42

Câu 6 Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên Biết rằng đồ thị hàm số

như dưới đây

download by : skknchat@gmail.com

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có với thì

.Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

Bài tập tương tự:

20

download by : skknchat@gmail.com

DẠNG 4 BÀI TOÁN THAM SỐ

là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x 0; 2

download by : skknchat@gmail.com

Ví dụ 2: Cho hàm số với là tham số thực Tìm tất cả các giá trị

của để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng

Lời giải

Đạo hàm

Suy ra hàm số đồng biến trên

Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị của để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

Câu 8. Cho hàm số Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị , để giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên luôn bé hơn là:

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực khác của tham số

DẠNG 5: ỨNG DỤNG MAX-MIN TRONG CÁC BÀI TOÁN THAM SỐ

Bài toán 1 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có

nghiệm (nghiệm đúú́ng với mọi ) ?

Phương pháp:

Biến đổi bpt về dạng: ,

,

Vi du 1: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi ?

Lơi giai Chon D

Giai theo tư luân:̣

Hàm số nghịch biến và liên tục trên

Giai theo pp trăc nghiêm:̣

Do hàm số bậc nhất trên bậc nhất nên giá trị lớn nhất,nhỏ nhất đật tại các

đầu mút nên suy ra kết quả!

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình có nghiệm

?

A Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương

nghiệm đúng với mọi

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình

nghiệm đúng với mọi ?

Bài toán 2:Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng

Bước 2:Lập bảng biến thiên của hàm số trên

Bước 3:Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị

đồng biến trên khoảng

DẠNG 6 BÀI TOÁN THỰC TẾ

Ví dụ 1: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức

, trong đó là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết

áp ( được tính bằng mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp đểhuyết áp giảm nhiều nhất

A mg

download by : skknchat@gmail.com

Bảng biến thiên:

x G'(x) G(x)

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg Khi

đó, độ giảm huyết áp là 100

Ví dụ 2 Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách 300km Vận tốc

dòng nước là 6km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng

lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

,

trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng

yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất

Lời giải

Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là (km/h)

Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300km là (giờ)

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là

Để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên) là 9km/h Ví

dụ 3: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inox có nắp đậy với

thể tích là Chi phí mỗi đáy là nghìn đồng, mỗi nắp là

27

download by : skknchat@gmail.com

nghìn đồng và mỗi mặt bên là nghìn đồng Hỏi ông An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất ? (Biết bề dày vỏ inox không đáng kể)

Lập bảng biến thiên, ta thấy đạt giá trị nhỏ nhất khi

Vậy với bán kính đáy là thì chi phí làm bể là ít nhất

Ví dụ 4: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm

bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là Nếuxem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm Hỏi tốc độ truyền bệnh

sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ

Bài tập tương tự :

28

download by : skknchat@gmail.com

Câu 1 (MH – 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở bốn

góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x

(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp

Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Câu 2. Người ta khảo sát gia tốc của một vật thể chuyển động ( là khoảng thờigian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 và ghinhận được là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới Hỏi trong thờigian từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốclớn nhất?

A giây thứ 2

C. giây thứ 1,5

Câu 3. Người ta khảo sát gia tốc của một vật thể chuyển động ( là khoảng thờigian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghinhận được là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới Hỏi trong thờigian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vậntốc lớn nhất?

29

download by : skknchat@gmail.com

A. giây thứ 7. B. giây thứ nhất C. giây thứ 10 D. giây thứ 3.

Câu 4. Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hìnhhộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều rộng là (m), chiều dài gấp 2 lần chiều

rộng và không nắp, có chiều cao là (m), có thể tích là Tìm chiều rộng của đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng là thấp nhất

Câu 6. Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh cm Người ta cắt một tấm gỗ có hình

một tam giác vuông từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau Biết (

cm) là một cạnh góc vuông của tam giác và tổng độ dài cạnh góc

vuông với cạnh huyền bằng cm Tìm để tam giác có diện tíchlớn nhất

A cm B cm

C cm D cm

Câu 7 (QG – 2018) Ông dự định sử dụng hết kính để làm một bể cá bằngkính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mốighép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kếtquả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 8 (QG – 2018) Ông A dự định sử dụng hết m2 kính để làm một bể các bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

30

download by : skknchat@gmail.com

- Sáng kiến có thể áp dụng với tất cả các em học sinh THPT khi học Chương I - bài 3:

“Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” – Giải tích 12

- Sáng kiến đã được áp dụng trong thực tế với các em học sinh tại lớp 12A3 trường

THPT Trần Hưng Đạo, khi học Chương I - bài 3: “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số” – Giải tích 12

Thực tế cho thấy các em học sinh dễ tiếp thu bài giảng, dễ làm quen với các bài

tập về tính thể tích khối đa diện hơn

- Ở lớp thực nghiệm 12A3: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB thấp hơn ở lớp đối

chứng, tỉ lệ khá và giỏi cao hơn

31

download by : skknchat@gmail.com

- Ở lớp đối chứng 12A4: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB cao hơn ở lớp thực nghiệm, tỉ lệ có điểm khá giỏi thấp hơn.

Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng kiến thức tốt hơn Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn so với đối chứng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nhà xuất bản Giáo dục - 2008)

[2] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (Nhà xuất bản Giáo dục – 2009)

[3]. Sách bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất bản Giáo dục - 2007)

[4] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (Nhà xuất bản Giáo dục – 2009)

[5] Đề thi đại học cao đẳng, THPT Quốc gia các năm

[6] Mạng Internet

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không có

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Giáo viên: Nhiệt tình, có trách nhiệm cao, đầu tư chuyên môn, chuẩn bị kĩ bài tập và đáp án

- Học sinh: Chuẩn bị bài, sách giáo khoa, và các đồ dùng học tập khác

- Thiết bị dạy học: Máy tính, máy chiếu, giấy A0, A3, A4, bút dạ, sách giáo khoa…

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

So sánh phương pháp dạy khi chưa phân dạng và phương pháp dạy theo hướng phân dạng

a Phương pháp dạy khi chưa phân dạng

Khi chưa phân dạng mà ra bài tập cho học sinh làm ta thấy như sau:

- Học sinh không có phương hướng làm bài dẫn đến mất nhiều thời gian suy nghĩ

- Nhiều khi biến đổi không hiểu bản chất dẫn đến mắc sai lầm trong toán học

32

download by : skknchat@gmail.com

Mặc dù dạy theo kiểu chưa phân dạng giúp các em phải kiên trì tư duy, tự phát

hiện vấn đề để giải nhưng lại không khắc sâu tổng quan về chuyên đề

b Phương pháp dạy khi phân dạng

Sau khi học xong chuyên đề này các em có thể sẽ cảm thấy rất tự tin vào nội

dung chương trình Nhờ vào việc tận dụng những từ khóa và phương pháp sáng tạo,

một chuyên đề như thế được ghi bài hết sức cô đọng trong một trang giấy, mà không

bỏ lỡ bất kỳ một thông tin quan trọng nào Tất cả những thông tin cần thiết để đạt điểm

cao trong kỳ thi vẫn được lưu giữ nguyên vẹn từ những chi tiết nhỏ nhặt nhất

Sáng kiến đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa

bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các

mức độ khác nhau

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

Đề tài nghiên cứu có tính khả thi, và ứng dụng vào thực tiễn, mang lại hiệu quả cao

trong giờ học “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” ở chương trình môn

Toán 12

Giúp học sinh có niềm say mê và hứng thú với môn học

Với sáng kiến nhỏ này, người viết mong nhận được ý kiến đóng góp của các đồng

nghiệp nhằm bổ sung cho đề tài được sâu sắc và thiết thực hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng

sáng kiến lần đầu (nếu có):

12A4

, ngày tháng năm , ngày tháng năm , ngày tháng năm

Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến

SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

33