(SKKN CHẤT 2020) CHUYÊN đề bài TOÁN CHIA hết TRONG số học

MỞ ĐẦUĐể làm quen với số học thì việc đầu tiên, hãy biết đến các bài toán chia hết, vì nó là một khái niệm cơ bản và cũng là trọng tâm của số học.. Những bài toán vềchia hết có thể nói l

CHUYÊN ĐỀ

BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC

MỞ ĐẦU

Để làm quen với số học thì việc đầu tiên, hãy biết đến các bài toán chia hết,

vì nó là một khái niệm cơ bản và cũng là trọng tâm của số học Những bài toán vềchia hết có thể nói là không thể thiếu trong số học nói riêng và toán học nói chung.Trên thế giới đã có rất nhiều bài toán về chia hết rất ha, rất đẹp, và cũng có những

phương pháp chứng minh nó thật thú vị và bổ ích Khi cho trước số nguyên a và số nguyên dương b, một trong những câu hỏi hiển nhiên được đặt ra là: Liệu a có chia hết cho b không? Và làm cách nào để biết được điều đó? Đó là những điều mà

chúng ta phải giải quyết thường xuyên khi gặp những bài toán về số học

Có thể nói những vấn đề về đồng dư chia hết là vấn đề rất cơ bản và là kiếnthức bản lề khi học về phân môn số học Thường thì học sinh hay lao ngay vàonhững bài toán về phương trình nghiệm nguyên và các thủ thuật giải nó mà khôngbiết rằng chính những bài toán về phép chia hết lại là gốc dễ của mọi vấn đề Hiểu

rõ tầm quan trọng này, tác giả xin đưa ra một số phương pháp cơ bản giải các bàitoán chia hết, sau đó đưa ra cách khai thác và tiếp cận với những bài toán khó hơn.Qua đó hy vọng phần nào giúp bạn đọc có cách nhìn và sự định hướng đúng đắnkhi gặp các bài toán về số học

NỘI DUNG

A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG DƯ CHIA HẾT.

I Phép chia trong tập số nguyên

1.1 Định nghĩa Cho hai số nguyên , Ta nói b chia hết cho a nếu

với c nguyên, ta còn nói a chia hết b hoặc b là bội của a và kí hiệu

1.2 Tính chất cơ bản.

1.2.2 Nếu và thì với m,n nguyên.

1.3.Thuật chia Euclide Cho a và b là những số nguyên, Khi đó tồn tại duy

Ta gọi q là thương, r là phần dư Như vậy, a chia hết cho b khi và chỉ khi phần dư trong thuật chia Euclide bằng 0 Ta cũng thường gọi thuật chia Euclide là phép chia Euclide.

II Số nguyên tố và hợp số

2.1 Định nghĩa Số nguyên gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước

nguyên dương là 1 và chính nó Số nguyên không là nguyên tố được gọi làhợp số

2.2 Tính chất cơ bản.

2.2.1 Mỗi số nguyên dương lớn hơn 1 đều có ước nguyên tố

2.2.2 Ước nguyên dương nhỏ nhất khác 1 của n là số nguyên tố và ước đó không

vượt quá

2.2.3 Có vô hạn số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất đã tìm ra là , nóđược tìm ra năm 2006 và nó có 9808358 chữ số)

2.2.4 (Phân tích một số theo các thừa số nguyên tố) Mỗi số nguyên dương

được phân tích duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố: , với

nguyên tố và

BI. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất (The greatest common divisor and

the least common multiple).

3.1 Định nghĩa.

3.1.1 Giả sử a,b là hai số nguyên không đồng thời bằng 0 Ước chung lớn nhất của hai số a,b là số nguyên lớn nhất chia hết cả hai số đó Ta thường dùng kí hiệu

để chỉ ước chung lớn nhất của hai số a và b Hai số nguyên a,b được gọi là

nguyên tố cùng nhau nếu

3.1.2 Giả sử a,b là hai số nguyên khác 0 Bội chung nhỏ nhất của hai số a,b là số

nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả hai số đó Ta thường dùng kí hiệu để

chỉ bội chung nhỏ nhất của hai số a và b.

3.2.8 Nếu a,b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì tồn tại hai số

nguyên dương u,v sao cho

Tổng quát hơn: Nếu a,b là hai số nguyên dương thì tồn tại hai số nguyên u,v sao

IV Đồng dư (Modular arithmetics)

4.1 Định nghĩa Cho là số nguyên và là số nguyên dương Nếu chia

hết cho n thì ta nói a đồng dư với b modulo n, ký hiệu

Có thể đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý này như sau:

Xét số Ta chứng minh rằng không tồn tại 2 số đồng dư với

nhau trong phép chia cho p Thật vậy, giả sử tồn tại với

Hệ quả Nếu p nguyên tố thì

B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT

1 Phương pháp dùng phép chia có dư.

Căn cứ vào số chia b, mà xét mọi khả năng phân tích với

Sau đó, với mỗi khả năng phân tích này lý luận để suy ra lờigiải của bài toán Chẳng hạn với thì với mỗi số nguyên a có thể phân tích

Ví dụ 1 Chứng minh rằng không chia hết cho 3 với mọi số nguyên a.

Lời giải Với thì không chia hết cho 3

Vậy trong mọi trường hợp thì đều không chia hết cho 3

Ví dụ 2 Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn

Lời giải Rõ ràng n không chia hết cho 3 Như vậy, n có một trong các dạng

Nhận xét: Các số dạng được gọi là số Cullen Các số Cullen với

đều là hợp số, nhưng số Cullen với là số nguyên tố Từ bàitoán trên ta suy ra có vô hạn số Cullen là hợp số, tuy nhiên cho đến nay vẫn chưabiết có hữu hạn hay vô hạn số Cullen là số nguyên tố

Ví dụ 3 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 7 Chứng minh rằng

Lời giải Ta sẽ chứng minh chia hết cho 2; 3; 7 và p.

Bài 1 Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số nguyên a.

Bài 2 Chứng minh rằng chia hết cho 7 với mọi số nguyên a.

Bài 3 Chứng minh rằng chia hết cho 5 với mọi số nguyên

Ví dụ 1 Chứng mình rằng với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 24

Ví dụ 2 Chứng mình rằng với mọi số tự nhiên n thì chia hết cho 133

7

download by : skknchat@gmail.com

Lời giải Ta có: Vì nên

(1)

Ví dụ 3 Cho là các số nguyên dương Chứng minh rằng nếu

chia hết cho 9 thì ít nhất một trong các số chia hết cho 9

Lời giải Bài toán tương đương với việc chứng minh tồn tại ít nhất hai trong ba số

có cùng số dư khi chia cho 9

Từ đó ta thấy ngay phải tồn tại ít nhất hai số

minh

.bằng nhau và bài toán được chứng

3 Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp tỏ ra rất hữu hiệu với những bài toán chia hết phụ

thuộc biến n và có dạng lũy thừa phức tạp Ta đưa ra một vài bài toán minh họa

cho phương pháp này

Giả sử mệnh đề đã đúng với n, tức là , ta chứng minhmệnh đề đúng với Thật vậy, ta có

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì

Lời giải Với mệnh đề hiển nhiên đúng

Nhận xét 1: Từ bài toán ta suy ra kết quả sau:

Tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho Rõ ràng cách hỏi này rất khó

vì để làm được nó chúng ta phải đoán nhận ra một dạng tổng quát nào đó của n,

trong bài toán này thì chỉ cần chọn là được Đây vẫn là dạng bài khó đặc biệt là với học sinh THCS

Tuy nhiên nếu đưa thêm điều kiện n nguyên tố thì có thể tìm được n thỏa mãn đề

bài Thật vậy, theo định lý Fecmat, , suy ra

Vậy chỉ có là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn tính chất

Nhận xét 2: Ta có thể đưa ra một bài toán mà cách hỏi có bản chất khác hẳn như

sau: Chứng minh rằng phương trình có vô hạn nghiệm nguyên dương

Bài 2 Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết

Biết rằng Chứng minh rằng k không chia hết cho

Lời giải Giả sử k chia hết cho Theo định lý Fecmat ta có

thuẫn với Vậy k không chia hết cho

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k ta có chia hết cho 19

Lời giải Ta có

Mặt khác, theo định lý Fecmat,

Ví dụ 3 Chứng minh rằng chia hết cho 13

Lời giải a) Ta có , suy ra m là hợp số.

Lời giải Nếu thì mọi n chẵn đều thoả mãn điều kiện đề bài.

Lấy với

Do có vô số số nguyên dương m sao cho nên tồn tại vô số số

nguyên dương n thoả mãn (đpcm)

Ví dụ 7 Cho p là nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng số chia hết

Bài 1 Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt Chứng minh rằng

Bài 2 Tìm các số nguyên tố p và q sao cho p3 – q5 = (p + q)2

C MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO

Trong phần này đưa ra một số bài toán nâng cao điển hình về số học liênquan đến đồng dư và chia hết, sau đó phân tích và nhấn mạnh một số kết quả vàtính chất quan trọng đã được sử dụng và khai thác trong bài toán Qua đó góp phầnnào cho các bạn có cách nhìn và cách tiếp cận với các bài toán số học THCS

Bài toán 1 Cho là một số lẻ và n là số nguyên dương Chứng minh rằng

chia hết cho p.

Lời giải Đặt thì k lẻ Ta có

Lấy tổng khi cho d chạy từ 1 đến ta được điều phải chứng minh

Chú ý: Với nguyên phân biệt, ta có

Với nguyên , ta có , n lẻ.

Tính chất này rất hiển nhiên nhưng được sử dụng nhiều trong những bài toán chiahết có lũy thừa của một số nguyên

Từ tính chất này cho ta một tính chất về đa thức nguyên như sau:

Cho đa thức có các hệ số nguyên Khi đó luôn chia hết

với mọi nguyên phân biệt Ta thử đưa ra một ví dụ áp dụng tính chất

Bài toán 1.1 Tồn tại hay không đa thức hệ số nguyên sao cho ;

?

Hint Nếu tồn tại đa thức thỏa mãn đề bài thì phải chia hếtcho , đây là điều vô lý Vậy không tồn tại thỏa mãn

Bài toán 1.2 Cho đa thức hệ số nguyên Chứng minh rằng không tồn tại ba

Bài toán 1.3 Cho m nguyên dương sao cho là số nguyên tố Chứng minh

rằng m là số nguyên tố.

Hint Giả sử m là một hợp số, suy ra

Nhấn mạnh: Tính chất rất quan trọng: Nếu m,n nguyên dương thỏa mãn thì

Bài toán 2 Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 thỏa mãn Chứng minh

rằng n chẵn.

Phân tích bài toán Để chứng minh một số n là chẵn ta chỉ cần chứng minh ước

nguyên tố nhỏ nhất của n chính là 2 Khi đưa thêm yếu tố số nguyên tố vào đây ta

có thêm nhiều công cụ để giải quyết bài toán Đặc biệt là từ giả thiết sẽ có quan hệđồng dư , cùng với việc áp dụng định lý Fecmat ta sẽ có thêm nhiềucho

này

download by : skknchat@gmail.com

suy luận cho p và n Để giải quyết những bài toán dạng này ta sử dụng thêm một

tính chất rất hay sau đây:

Bổ đề: Cho a nguyên, n và p nguyên dương thỏa mãn Gọi h là số

nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn Khi đó n chia hết cho h.

mẫu thuẫn với việc chọn h là số mũ nhỏ nhất thỏa mãn

Vậy , tức là n chia hết cho h.

Lời giải bài toán 2.

Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n, ta chứng minh

Gọi h là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho (*)

Theo bổ đề trên thì n chia hết cho h.

Cũng theo định lý Fecmat ta có , nên cũng theo bổ đề thì

Nếu thì gọi q là ước nguyên tố của h , suy ra và Mà

, mâu thuẫn với p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n.

Vậy , từ đó theo (*) ta được Do đó n chẵn (đpcm).

Một số bài toán tương tự (sự dụng bổ đề)

Bài toán 2.1 Cho p nguyên tố Gọi q là ước nguyên tố bất kì của Chứngminh rằng chia hết cho p.

Hướng dẫn Gọi h là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn

Khi đó , dễ thấy suy ra

Bài toán 2.2 Cho p nguyên tố, a là số nguyên, Đặt Gọi q

là ước nguyên tố bất kì của A Chứng minh rằng chia hết cho p.

Bài toán 2.3 Cho n nguyên, thỏa mãn Chứng minh rằng n chẵn và

n không chia hết cho 4.

Bài toán 2.4 Cho a là số tự nhiên, n nguyên lớn hơn 1 thỏa mãn

a) Chứng minh rằng n lẻ.

b) Chứng minh rằng không là lũy thừa của 2

Hướng dẫn a) Nếu n chẵn thì là số chính phương, suy ra

mẫu thuẫn

b) Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n, vì n lẻ nên p lẻ.

Khi đó Từ đó chứng minh được (tương tự các bài toán trên)Suy ra Vậy có ước nguyên tố lẻ, tức là không thể là lũy thừacủa 2 (đpcm)

Bài toán 2.5 Tìm tất cả n nguyên dương sao cho

Bài toán 2.6 Cho p là số nguyên tố lẻ, q,r là những số nguyên tố thỏa mãn ương

Bài toán 3 (HSG lớp 9 Vĩnh Phúc 2009) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao

cho với mọi số a lẻ mà thì

Lời giải Ta sẽ khai thác giả thiết là với mọi a lẻ thỏa mãn đều có tính chất

để chặn được a Muốn vậy ta gọi a là số nguyên dương lẻ lớn nhất thỏa mãn

Nếu thì là 3 số lẻ chia hết n, mà các số này nguyên tố sánh đôi

Dễ thầy điều này mẫu thuẫn với Do đó

Nhận xét: Đây là dạng bài toán quen thuộc với học sinh THCS, bài toán yêu cầu

tìm các số nguyên thỏa mãn một quan hệ chia hết nào đó Để giải quyết các bàitoán dạng này ta thường khai thác tính chất chia hết để chặn các biến hoặc đánh giáthêm tính chất số học cho các biến Có thể sử dụng thêm định lý Fecmat để xử lýcho nhanh trong nhiều tình huống Ta xét một vài bài toán tương tự

minh rằng

Nếu thì

Bài toán 3.2 Tìm tất cả n nguyên dương sao cho khi xóa đi chữ số cuối cùng của

n ta được một số là ước của n.

Hint Gọi b là chữ số cuối cùng của n và a là số thu được khi đã xóa b, ta có

Từ ta suy ra

Nếu thì n luôn thỏa mãn.

Nếu thì do nên a là một chữ số của n Khi đó các số n thỏa mãn là

11, 12,…,19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 56, 77, 88, 99

Bài toán 3.3 Cho n là số nguyên dương chẵn và là hai số nguyên dương

nguyên tố cùng nhau Tìm biết chia hết cho

Hint Ta có

Từ Cùng với giả thiết suy ra và

Bài toán 3.5 Tìm tất cả nguyên dương để là số nguyên tố

Bài toán 3.6 Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho

Bài toán 4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì không là sốnguyên tố

Lời giải Ta có:

.Chú ý là cả 2 nhân tử đều lớn hơn 1 nên không là số nguyên tố

Nhận xét: Đây là dạng bài quen thuộc nhất trong số học Để chứng minh một số là

số nguyên tố hoặc hợp số ta thường cố gắng phân tích nhân tử và đánh giá vào cácước số của nó, có những trường hợp ta có thể dùng phương pháp phản chứng Một

số bài toán tương tự:

Bài toán 4.1 Cho nguyên khác 0 và thỏa mãn Chứngminh rằng không là số nguyên tố

Bài toán 4.2 (42 nd IMO) Cho là các số nguyên dương thỏa mãn

Chứng minh rằng không là sốnguyên tố

Bài toán 4.3 Cho là các số nguyên dương thỏa mãn

thể xảy ra Vậy là hợp số

Nhận xét: Tư tưởng rất hay và đẹp đẽ của bài toán nằm ở bước phản chứng, từ

bước này cho tam thêm giả thiết rằng là số nguyên tố, từ đó cho

ta các phép đánh giá theo đơn giản mà hiệu quả Nếu không có p nguyên tố

như vậy thì các phép suy luận về chia hết là khó khăn hơn hẳn

Bài toán 5 Tìm ước chung lớn nhất của các số với

Lời giải Ta có

Xét theo mod5 ta được

Với , , suy ra 5 không là một ước chung của các số Xét theo mod7 ta được

Do đó chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên n Suy ra ước chung lớn nhất của của

Bài tương tự: (IMO 2005) Cho dãy số Chứng minh

rằng với mỗi số nguyên tố p luôn tồn tại một số hạng của dãy chia hết cho p.

Hint Với thì thỏa mãn

Với , ta có

Nhận xét: Từ kết trên ta có thể giải được bài toán sau: Tìm tất cả các số nguyên

dương mà chúng nguyên tố cùng nhau với mọi số hạng của dãy trên Rõ ràng chỉ

có duy nhất số 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 7 Chứng minh một số kết quả cơ bản sau:

KQ1 Cho số nguyên tố Chứng minh rằng với x,y là hai số nguyên ta

Nếu thì , ta có điều phải chứng minh

Kết quả này được suy ra trực tiếp từ kết quả 1

KQ3 Cho số nguyên a Chứng minh rằng mọi ước số nguyên tố lẻ của đều

Từ đó suy ra mọi ước nguyên dương lẻ của đều có dạng

Chứng minh Gọi p là ước nguyên tố lẻ bất kì của

thỏa mãn

KQ5.2 Cho số nguyên tố dạng

nếu các số tự nhiên x,y thỏa mãn

Trên đây là 5 kết quả rất quan trọng và có ứng dụng rất mạnh với

toán về đồng dư chia hết Xin đưa ra một vài bài toán áp dụng minh họa:

Bài toán 7.1 Cho đa thức

Bài toán 9 Cho là các số nguyên, thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng không chia hết cho p.

Phân tích bài toán Rõ ràng cách hỏi của bài toán là khá đơn giản tuy nhiên đây

lại là bài toán khó nếu không hiểu rõ ý nghĩa của phép chia hết

Từ giải thiết và p là số nguyên gần như chẳng cho ta điều gì cả, ta ước rằng nếu p là số nguyên tố, bởi lẽ nếu p nguyên tố thì từ sẽsuy ra ngay Từ đó suy ra không chia hết cho p.

Vậy phải xử lý thế nào bây giờ để vẫn có thể dùng được tính chất chia hết như ở

trên Tại sao ta không nghĩ tới gọi một ước nguyên tố của p nhỉ Bởi lẽ nếu gọi q là ước nguyên tố của p mà vẫn chứng minh được không chia hết cho q thì

cũng suy ra không chia hết cho p Đến đây mọi thứ đã quá rõ ràng và bài

toán được giải quyết ngắn gọn

Ta rút ra một điều rất căn bản nhưng quan trọng: "Để chứng minh a

không chia hết cho b, ta chỉ cần chứng minh a không chia hết cho một ước nguyên

Có thể tổng quát với mọi n nguyên dương chia hết cho 6 ta có

Bài tương tự: Cho nguyên khác thỏa mãn là số nguyên.Chứng minh rằng chia hết cho