Con lắc dao động tắt dần chậm Ta có thể giải bài toán trên theo hai cách: Nếu chọn gốc tọa độ là điểm O tại đó lò xo không co dãn - Độ giảm biên độ trong mỗi nửa chu kỳ vật không đổi chi
Trang 1Bài toán dao động tắt dần
Khi nghiên cứu hiện tượng dao động tắt dần cơ học ta đều biết nguyên
nhân cơ bản là do tác dụng của lực cản luôn ngược chiều chuyển động thực hiện
công âm làm năng lượng dao động giảm dần theo thời gian Chúng ta cần phân
biệt hai loại lực cản:
- Lực ma sát trượt ( hay ma sát lăn) có độ lớn không đổi Fms = μNN
- Lực ma sát nhớt có độ lớn thay đổi theo tốc độ của vật Fc = bv
Dưới đây ta lần lượt tìm hiểu dao động tắt dần dưới tác dụng của từng
loại lực này
1 DAO ĐỘNG DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC MA SÁT
Vấn đề: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát trượt bằng
hệ số ma sát nghỉ giữa vật và mặt phẳng là µ Con lắc dao động tắt dần chậm
Ta có thể giải bài toán trên theo hai cách:
Nếu chọn gốc tọa độ là điểm O tại đó lò xo không co dãn
- Độ giảm biên độ trong mỗi nửa chu kỳ (vật không đổi chiều chuyển động)
Áp dụng định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng trong nửa chu kỳ: ∆W=A ms
=> = (1.1) Như vậy mỗi lần vật đổi chiều chuyển động vật cách O một khoảng là
A 1 = A 0 - ∆A
-Biên độ giảm theo cấp số cộng:
1
download by : skknchat@gmail.com
Trang 2=> Số lần nửa chu kỳ dao động đã thực hiện trước khi dừng lại là phần nguyên
=> Quãng đường vật đi được từ lúc thả vật đến lúc dừng lại.
Nếu bắt đầu từ biên độ A 0 thì quãng đường đi của vật đến khi dừng hẳn Ta
có thể chứng minh như sau:
Biên độ và quãng đường đi sau mỗi nửa chu kỳ
là A 1 = A 0 - ∆A => s 1 = A 0 +A 1 = 2A 0 - ∆A
A 2 = A 1 -∆A => s 2 = A 1 + A 2 = 2A 0 -3∆A
-
-A n = A 0 -n∆A => s n = 2A 0 - (2n-1)∆A
; với tổng cấp số cộng 1+3+5+ +(2n-1) =
n 2 ta được công thức:
=> s =n(2A 0 – n ∆A)
(1.4)
với n là số nguyên nằm trong khoảng giá trị
- Vị trí nằm yên của vật sau khi dao động tắt dần cách vị trí có lò xo không co dãn là x, có thể tính dựa vào định bảo toàn và chuyển hóa năng lượng như sau:
(1.5)
Bài tập vận dụng.
Dạng 1 Tìm tỉ lệ hao hụt năng lượng trong dao động tắt dần
Bài 1 Dao động tắt dần chậm, năng lượng dao động giảm 6% sau mỗi chu kì Hỏi
biên độ dao động giảm một lượng bao nhiêu so với biên độ trước đó?
Giải:
Trang 3Xét mỗi nửa chu kỳ dao động, vật bắt đầu từ vị trí biên có giá trị biên độ A0 đến vị trí biên bên kia có giá trị A1 Ta có
Vì ∆A<< nên bỏ qua ∆A2 , vậy = 3%
Bài 2 Một con lắc lò xo dao động tắt dần Cứ sau mỗi chu kì biên độ dao động
giảm 5% Tính độ giảm cơ năng tương đối so với ban đầu của con lắc sau 5 chu kì dao động
Giải:
Gọi β là độ giảm tương đối của biên độ (β=5%)
Ta có A1 = A0 (1– β)
A2 = A1 (1– β) = A0 (1– β)2
-
An = A0 (1- β)n
Với n = 5 ta có độ giảm cơ năng tương đối
Dạng 2 Tìm tổng quãng đường vật đi được và vị trí vật dừng lại trong dao động tắt dần
Bài 1
Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 40 (N/m), một đầu gắn vào giá cố định, đầu còn lại gắn vào vật nhỏ có khối lượng m = 100(g) Ban đầu giữ vật sao cho lò xo nén 4,8 cm rồi thả nhẹ Hệ số ma sát trượt và ma sát nghỉ giữa vật và mặt bàn đều bằng nhau và bằng 0,2; lấy g = 10 (m/s2)
a) Tính tổng chiều dài quãng đường vật đi được cho đến lúc dừng hẳn
b) Vị trí vật dừng lại hẳn lò xo dãn (nén) một đoạn bao nhiêu?
Giải
a) Độ giảm biên độ sau mỗi lần vật đổi chiều chuyển động (mỗi nửa chu kỳ dao động)
3
download by : skknchat@gmail.com
Trang 4∆A = = 0,01m = 1cm
với n là số nguyên nằm trong khoảng giá trị => n = 5
b) Vị trí dừng là xo biến dạng một đoạn x = ∆l Áp dụng định luật bảo toàn năng
lượng, ta suy ra
=> x = 0,2cm
n = 5 vật đang thực hiện nửa chu kỳ cuối lần 5 nền lò xo bị nén một đoạn ∆l=0,2cm
Bài 2.
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng 20 N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01 Từ vị trí lò xo không bị biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu 1 m/s, con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò xo Lấy g =
10 m/s2 Tính tổng chiều dài quãng đường vật nhỏ đi được trong quá trình dao động
Giải:
Độ biến dạng lớn nhất của lò xo ΔllMax = A0
Định luật bảo toàn năng lượng cho ta
=> 0,1=10∆l 2 +0,02∆l
∆lMax = 0,099m = 9,9cm
Ta xem như dao động tắt dần bắt đầu từ biên độ A0 = 9,9cm
Tương tự bài 1 ta tìm được S = A0 + S1 = 499,9cm
Bài 3.
Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 20N/m, khối lượng của vật m = 40g
Hệ số ma sát giữa mặt bàn và vật là 0,1 lấy g = 10m/s2, đưa vật tới vị trí mà lò xo nén 5cm rồi thả nhẹ (Chọn gốc O là vị trí vật khi lò xo chưa bị biến dạng, chiều
Trang 5dương theo chiều chuyển động ban đầu) Quãng đường mà vật đi được từ lúc thả
đến lúc véc tơ gia tốc đổi chiều lần thứ 2 là
Giải:
Lưu ý trong dao động tắt dần Gia tốc của vật bằng 0 khi Fđh = Fms và đổi chiều tại
hai điểm M1 và M2 tùy theo chiều chuyển động:
* khi vật chuyển động theo chiều dương
a = 0 khi OM1 = x = - = - 0,2cm (điểm M1)
* khi vật chuyển động theo chiều âm
a = 0 khi OM2 = x = = 0,2cm (điểm M2)
Ta có thể gọi các điểm M1; M2 là các vị trí cân bằng tạm thời, tại M1 gia tốc đổi
chiều khi vật chuyển động theo chiều dương; tại M2 gia tốc đổi chiều khi vật
chuyển động theo chiều âm
Như vậy gia tốc đổi chiều lần thứ 2 khi vật trở lại M2 theo chiều âm lần đầu tiên
Ta có quãng đường mà vật đi được từ lúc thả đến lúc véc tơ gia tốc đổi chiều lần
thứ 2 là S = M0M + MM2
M0M = MoO + OM
Độ giảm biên độ dao động mỗi khi vật qua O: ∆A = = 0,4 cm
Do đó : OM = M0O - ∆A = 5 – 0,4 = 4,6 cm; MM2 = 4,6 – 0,2 = 4,4cm
-> S = 5 + 4,6 + 4,4 = 14 cm Đáp án C
* Xác định các đại lượng tức thời bằng phương pháp góc quét Nếu chọn gốc tọa độ
là vị trí cân bằng tạm thời O 1 hay O 2 :
5
download by : skknchat@gmail.com
Trang 6Như ta biết, trong dao động tắt dần có hai điểm được xem như vị trí cân bằng O 1 ; O 2 tùy theo chiều chuyển động của vật, cách vị trí lò xo không biến
dạng O một đoạn
OO 1 = OO 2 = a =
- Tại vị trí cân bằng tạm O 1 vật có tốc độ lớn nhất trong nửa chu kỳ theo một chiều dương Ta có thể tính được giá trị cực đại này bằng định luật bảo toàn năng lượng :
(1.2)
Nếu nửa chu kỳ đầu vật chuyển động theo chiều dương nhận O 1 làm vị trí cân bằng, trong thời gian ∆t = T/2 Ta chọn O 1 làm gốc tọa độ theo chiều dương, vật dao động điều hòa có biên độ A 1 = A 0 – a Nửa chu kỳ tiếp theo vật đổi chiều chuyển động nhận O 2 làm vị trí cân bằng, ta chọn lại chọn O 2 làm gốc tọa độ theo chiều âm, biên độ là A 2 = A 0 – 3a thực hiện nửa chu kỳ làn thứ n (n lẽ nhận O 1 làm VTCB;
n chẵn nhận O 2 làm VTCB) với biên độ thỏa A n = A 0 – (2n-1)a ≥2a Ta
có thể sử dụng các công thức về dao động điều hòa cho từng nửa chu kỳ
Nếu biên độ A n+1 = x ≤ 2a thí vật sẽ dừng hẳn tại vị trí cách O một khoảng
∆l=a-x, đây là một cách khác để ta có thể xác định chiều dài lớn nhất mà vật đi được cùa vật.
Trang 7Với ∆l Max là độ biến dạng cực đại của lò xo
Bài tập vận dụng
Bài 1.
Một con lắc lò xo khối lượng vật nặng 100 g, độ cứng lò xo 10 N/m, đặt trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát trượt 0,2 Kéo con lắc để lò xo dãn 20 cm rồi thả nhẹ Chọn gốc thời gian lúc thả vật Tìm thời điểm lần thứ ba lò xo dãn 7 cm
Giải
Vị trí cân bằng tạm O1,O2 cách vị trí có lò xo không biến dạng một đoạn
16cm
Chu kỳ
T=
Chất điểm dao động điều hòa quanh 2 vị trí cân bằng tạm
Từ hình vẽ ta thấy từ t=0 đến lần thứ 3 lò xo giãn 7cm là t = T+t’
Trang 8T: là thời gian vật từ vị trí xuất phát đến vị trí lò xo giãn ra cực đại lần 2 trong thời gian này lò xo dãn 7cm 2 lần
7
download by : skknchat@gmail.com
Trang 9t’ là thời gian con lắc từ vị trí lò xo giãn cực đại lần 2 về vị trí x=7cm: vật thực hiện nửa chu kỳ thứ 3, nhận O1 là VTCB và biên độ A3 = A0 – 5a = 10cm
x3 = 7-2=5cm
Dùng phương pháp góc quét để tính thời gian : O1 600
10cm Vật đi từ vị trí biên A3 =10cm đến li độ x’=5cm 5cm
vậy t =
Bài 2.
Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 100g và lò xo nhẹ có độ cứng 0,01N/cm, dao động theo phương nằm ngang Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo dãn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động Trong quá trình dao động lực cản tác dụng lên vật có độ lớn không đổi 10-3N Lấy π2 = 10 Xem như chu kỳ dao động không phụ thuộc lực cản Xác định vị trí của vật tại thời điểm 21,25s
Giải:
Độ giảm biên độ sau mỗi lần vật qua vị trí lò
xo không biến dạng O:
= 2.10-3m = 0,2cm
Vị trí cân bằng tạm cách O là a = = 0,1cm
Chu kỳ dao động T = = 2s
4cm 45 O
sau 21,25s vật đang thực hiện nửa chu kỳ dao động thứ 22 nên nhận O2 làm VTCB với biên độ A22 = 10 – 43.0,1 = 5,7cm
Thời điểm t = (21+0,25)s vật thực hiện thêm 1/8 chu kỳ bắt đầu từ vị trí biên dương Dùng phương pháp góc quét trong chuyển động quay đều tương đương dễ
8
Trang 10download by : skknchat@gmail.com
Trang 11dàng xác định vị trí của vật tại thời điểm t=21,25s (hình vẽ) cách O một khoảng (5,7cos450+a ) =4,13cm về phía lò xo bị nén
2 DAO ĐỘNG DƯỚI TÁC DỤNG CỦA CẢN TRONG MÔI TRƯỜNG
NHỚT.
Thực tế, con lắc chuyển động trong môi trường chất khí hay chất lỏng, vật
dao động luôn chịu tác dụng bởi một lực cản F C = - bv = -b = bx’, với b là hệ
số nhớt phụ thuộc vào bản chất của môi trường và đặc điểm về mặt tiếp xúc của vật dao động với môi trường.
Phương trình động lực học có biểu thức hình chiếu lên phương chuyển động
=> x”+ (*) Nếu b < 2 nghiệm của phương trình vi phân (*) có dạng
Là dao động điều hòa tắt dần Biên độ dao động có biểu thức A t = A cho thấy biên độ này giảm theo thời gian theo quy luật một hàm mũ
Tần số góc dao động tắt dần ω =
Cơ năng: E = =
Nếu b ≥ 2 vật không dao động mà trở về vị trí cân
bằng Bài tập vận dụng.
Bài 1.
Con lắc lò xo có khối lượng m = 250g; độ cứng k = 85 N/m dao động trong môi trường nhớt, lực cản tỷ lệ với vận tốc theo công thức Fc = -bv với b = 70g/s Tìm a) Chu kỳ dao động
9
download by : skknchat@gmail.com
Trang 12b) Thời gian để biên độ giảm còn một nửa.
c) Thời gian để cơ năng giảm còn một nửa Giải:
a) Ta có với ω = =18,44 rad/s
T= 0,34s
b) Thời gian biên độ giảm còn một nửa
Theo công thức At = A => = =2
c) Thời gian để năng lượng giảm còn một nửa
Theo công thức E = E0 => t= =2,5s
Bài 2 Một vật có khối lượng m = 500g, được treo vào đầu một lò xo có độ cứng k,
dao động theo phương đứng, chịu lực ma sát nhớt của chất lỏng Người ta thấy vật
dao động động với chu kỳ T = 2s và biên độ có sau 20 dao động toàn phần thì giảm
đi 10 lần Hãy xác định hệ số nhớt b và chu kỳ dao động riêng của hệ dao động
này, tìm độ cứng k của lò xo
Giải.
Phương trình dao động
Suy ra biên độ và tần số ω
Trang 13At = A và ω = = =π
Ta có
với m = 0,5kg => b =5,76.10-2N.s/m
Ta có ω2 = ω 0 2 - = π2 => ω 0 =
Độ cứng của lò xo k = mω 0 2 = 4,936N/m
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Câu 1 Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào lò xo có độ cứng k = 80 N/m Một
đầu của lò xo được cố định, ban đầu vật ở vị trí lò xo không biến dạng trên mặt phẳng nằm ngang Kéo m khỏi vị trí ban đầu 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là = 0,1 (g = 10m/
s2) Độ giảm biên độ dao động của m sau mỗi chu kỳ dao động là:
Câu 5 Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào một lò xo có độ cứng k = 80N/m.
Một đầu lò xo được giữ cố định Kéo vật m khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10cm dọc theo trục của lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa vật m và mặt phẳng ngang là = 0,1 Lấy g = 10m/s2 Thời gian dao động của vật là
Câu 6 Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí.Kéo con lắc lệch phương
thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật.coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ Số lần con lắc qua vị trí cân bằng đến lúc dừng lại là:
Câu 7 Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 1kg và một lò xo nhẹ độ
cứng 100 N/m Đặt con lắc trên mặt phẳng nằm nghiêng góc = 600 so với mặt
11
download by : skknchat@gmail.com
Trang 14phẳng nằm ngang Từ vị trí cân bằng kéo vật đến vị trí cách vị trí cân bằng 5cm, rồi thả nhẹ không tốc độ đầu Do có ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng nên sau 10 dao động vật dừng lại Lấy g = 10m/s2 Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là
A = 2,5.10-2 B = 1,5.10-2 C = 3.10-2 D = 1,25.10-2
Câu 8 (Đề thi ĐH – 2010) Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 0,02kg
và lò xo có độ cứng 1N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt của giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10m/s2 Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là
A 40 cm/s B 20 cm/s C 10 cm/s D 40 cm/s
Câu 9 Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm một vật có khối lượng m = 100g gắn
vào 1 lò xo có độ cứng k=10N/m Hệ số ma sát trượt giữa vật và sàn là 0,1 Ban đầu đưa vật đến vị trí lò xo bị nén một đoạn 7cm và thả ra Tính quãng đường vật
đi được cho tới khi dừng lại Lấy g = 10 m/s2
Câu 10 Con lắc lò xo nằm ngang có k = 100N/m, vật m = 400g Kéo vật ra khỏi
VTCB một đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa vật và sàn là μN = 5.10-3 Xem chu kỳ dao động không thay đổi, lấy g = 10m/s2 Quãng đường vật đi được trong 1,5 chu kỳ đầu tiên là:
Câu 11 Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật có
khối lượng m = 400g, hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ là = 0,1 Từ vị trí cân bằng vật đang nằm yên và lò xo không biến dạng người ta truyền cho vật vận tốc v = 100cm/s theo chiều làm cho lò xo giảm độ dài và dao động tắt dần Biên độ dao động cực đại của vật là bao nhiêu?
Trang 15Câu 12 Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ có khối lượng 1 kg, lò xo có độ
cứng 160 N/m Hệ số ma sát giữ vật và mặt ngang là 0,32 Ban đầu giữ vật ở vị trí
lò xo nén 10 cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10 m/s2 Quãng
đường vật đi được trong kể từ lúc bắt đầu dao động là
Câu 13 Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10N/m, khối lượng vật nặng m = 100g,
dao động trên mặt phẳng ngang, được thả nhẹ từ vị trí lò xo giãn 6cm so với vị trí cân bằng Hệ số ma sát trượt giữa con lắc và mặt bàn bằng μN = 0,2 Thời gian
chuyển động thẳng của vật m từ lúc ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng là:
A (s) B (s) C (s) D (s) Câu 14 Một con lắc lò xo gồm
lò xo có độ cứng k = 2N/m, vật nhỏ khối lượng m
= 80g, dao động trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là μN = 0,1 Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10cm rồi thả nhẹ Cho gia tốc trọng trường g = 10m/s2 Tốc độ lớn nhất mà vật đạt được bằng
A 0,36m/s B 0,25m/s C 0,50m/s D 0,30m/s Câu 15 Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 2 N/m và vật nhỏ khối
lượng 40 g Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị giãn 20 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g
= 10 m/s2 Kể từ lúc đầu cho đến thời điểm tốc độ của vật bắt đầu giảm, thế năng của con lắc lò xo đã giảm một lượng bằng
A 39,6 mJ B 24,4 mJ C 79,2 mJ D 240 mJ.
13
download by : skknchat@gmail.com
Trang 16TÀI LIỆU THAM KHẢO
- SÁCH GIÁO KHOA VẬT LÝ 12 NÂNG CAO – NHÀ XB GIÁO DỤC
- TÀI LIỆU CHUYÊN VẬT LÝ 12 – TÁC GIẢ: TÔ GIANG- VŨ THANH
KHIẾT – ĐẶNG ĐÌNH TỚI
- BÁO VẬT LÝ TUỔI TRẺ
- Xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp nhiệt tình đóng góp để chúng tôi hoàn thiện chuyên đề này
Tiền Giang, mùa xuân 2016 Người biên soạn
NGUYỄN MINH BIỀN