(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề yếu tố giải tích trong các bài toán đại số, số học, tổ hợp

Chuyên đềYẾU TỐ GIẢI TÍCH TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ, SỐ HỌC, TỔ HỢP Nguyễn Việt Hà Trường THPT Chuyên Lào Cai Chuyên đề đạt giải nhất A.. Tuy nhiên, bên cạnh những câu được phát biểu dướ

Chuyên đề

YẾU TỐ GIẢI TÍCH TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ, SỐ HỌC, TỔ HỢP

Nguyễn Việt Hà Trường THPT Chuyên Lào Cai

(Chuyên đề đạt giải nhất)

A MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán THPT, Giải tích là một nội dung rất quan trọng, học sinhđược học sau khi học Đại số một thời gian dài Đối tượng nghiên cứu của Đại số và Giảitích là khác nhau về căn bản Trong khi Đại số nghiên cứu các đối tượng tĩnh tại, rời rạc

và hữu hạn Còn môn Giải tích nghiên cứu các đối tượng có bản chất biến thiên, liên tục

và vô hạn Sự khác nhau căn bản đó dẫn đến những cách tiếp cận khác nhau, lối tư duy khác nhau khi giải quyết các bài toán Đại số và Giải tích

Giải tích là một trong các nội dung luôn xuất hiện trong kỳ thi học sinh giỏi toánTHPT cấp quốc gia (VMO) Tuy nhiên, bên cạnh những câu được phát biểu dưới dạnggiải tích, thì các bài toán lại được phát biểu dưới dạng đại số nhưng công cụ giải tích, kỹnăng của giải tích giúp chúng ta định hướng tìm ra lời giải Bên cạnh đó, trong các kì thiIMO cũng như các kỳ thi học sinh giỏi các nước cũng như khu vực, có nhiều bài toán cảđại số, số học cũng chứa đựng các yếu tố giải tích

Với mong muốn có một tài liệu hệ thống về vấn đề này, tác giả đã quyết định viết chuyên

đề : ‘’Yếu tố giải tích trong các bài toán đại số, số học, tổ hợp’’ Chuyên đề này đã cố

gắng phân chia các bài toán đại số, số học, và một số bài toán tổ hợp có thể giải quyếtnhờ công cụ giải tích một cách chi tiết nhất có thể với hy vọng giúp ích được cho họcsinh có thêm kỹ năng làm việc với những dạng toán này đồng thời giúp đồng nghiệp cóthêm tài liệu trong giảng dạy học sinh giỏi môn Toán cấp quốc gia

Nội dung của chuyên đề bao gồm sáu phần trình bày các kĩ thuật giải tích để giải cácbài toán đại số về phương trình hàm và bất phương trình hàm, các bài toán về đa thức,các bài toán về phương trình và bất đẳng thức, các bài toán chứng minh tính chất của dãy

số, các bài toán số học, tổ hợp và một số bài toán khác Các bài toán trong chuyên đề đềuđược giải tường minh và đưa ra những nhận xét, bình luận Phần cuối của chuyên đề làmột số kết luận của tác giả về chuyên đề và những tài liệu tham khảo khi viết chuyên đềnày

Tác giả của chuyên đề đã làm việc hết sức nghiêm túc, cố gắng tập hợp, sưu tầm, phândạng, sắp xếp và liên kết các dạng toán theo một logic hợp lý nhất có thể theo ý chủ quancủa mình với hy vọng tạo ra được một chuyên đề có chất lượng, có tác dụng đối với các

em học sinh ôn thi VMO và các thầy cô giáo dạy chuyên Tuy đã có nhiều cố gắng nhưngchuyên đề không thể tránh khỏi những sai sót, thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sựgóp ý của các thầy cô để chuyên đề được hoàn thiện hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn

download by : skknchat@gmail.com

1.4.1 Với mỗi số thực a cho trước luôn tồn tại một dãy

1.4.3 (Chuyển qua giới hạn một bất đẳng thức) Nếu hàm số f (x) thỏa mãn trên (0; + ¥

x® + ¥

1.4.4 Cho hai dãy số thực hội tụ ( x n ), ( y n )

1.5 Bổ sung về yếu tố giải tích của đa thức

1.5.1 Đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm Từ đây có thể suy ra các hệ quả sau:

- Nếu P ( x) không có nghiệm thì deg P chẵn

- Nếu P ( x) là đa thức bậc chẵn và có nghiệm duy nhất thì đó phải là nghiệm bộichẵn

Đạo hàm của đa thức bậc n có đầy đủ nghiệm

Giả sử x1 , x2 , , x n là các nghiệm của P ( x) Khi

M  0 lớn

tùy ý thì

Đặt s n =

 Nếu k

 Nếu k

11

k

£

>

+11

12

k

thìthì

Từ đây dễ thấy rằng khẳng định cũng đúng với mọi

Tiếp theo với k > 1 , ta có thể dùng định lý Lagrange:

2 YẾU TỐ GIẢI TÍCH TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ, SỐ HỌC

2.1 Kỹ thuật giải tích giải quyết các bài toán phương trình hàm, bất phương

trình hàm.

2.1.1 Sử dụng dãy số và giới hạn dãy số giải các phương trình hàm, bất

phương trình hàm.

Trong mục này, ta sẽ đi nghiên cứu những bài toán đại số không có gải thiết liên

tục hay khả vi của phương trình hàm, bất phương trình hàm mà có thể sử dụng dãy số và

giới hạn dãy số để giải quyết Ta hãy bắt đầu bằng ví dụ quen thuộc sau:

Bài toán 2.1.1.1 Tìm tất cả các hàm số f : ® , đơn điệu trên và thỏa mãn

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , " x , y Î (1)

Nhận xét: Nếu bài toán này, thay giả thiết đơn điệu bằng giả thiết liên tục thì việc giải

quyết là đơn giản Vậy bây giờ không còn yếu tố liên tục nữa, thì ta làm thế nào? Chúng

ta cùng tìm hiểu thông qua lời giải sau:

Kết luận: hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là f ( x ) = kx , " x Î ( k

Bình luận: Ta thay tập nguồn và tập đích của bài toán trên thành

thiết đơn điệu, ta có bài toán sau:

Bài toán 2.1.1.2 Tìm tất cả các hàm số f : + ® + thỏa mãn

là hằng số bất kì)

( 0;+ ¥ ) và bỏ giả

(

x + y f

x nê

n cóngay f( x)là hàm đơn điệu tăng Sử dụng kết quả ởNếu bài toán đổi thành

đây là ý cơ bản nhưng có vẻ trước giờ không có tài liệu nào đề cập)

Bình luận: Trong bài toán 2.1.1.2, ta đã bỏ giả thiết đơn điệu, nhưng cuối cùng ta lại có

thể chứng minh được tính đơn điệu, nhờ đó mà đường lối giải lại quay về như bài toán

2.1.1.1 Từ bài toán 2.1.1.1, ta giữ lại tập nguồn và tập đích là , bỏ giả thiết đơn điệu, và

thêm giả thiết hàm nhân tính, ta có bài toán sau:

Bài toán được giải hoàn toàn

Bình luận: Một lần nữa, trong bài toán 2.1.1.3, ta bỏ giả thiết đơn điệu nhưng thêm giả

thiết hàm nhân tính, ta lại chứng minh được hàm đồng biến nên lại có thể giải tiếp giống

bài toán 2.1.1.1 Tuy nhiên điểm chung của cả ba bài toán trên là đều có giả thiết cộng

tính.

Sau đây ta đi xét những bài toán phức tạp hơn:

Bài toán 2.1.1.4 [China MO 1998] Cho hàm số f : ®

cần chứng minh cho trường hợp

nên bằng phương pháp quy nạp ta được

Vậy ta có f (x )£

cố định

Tiếp theo, ta xét một bài toán tổng quát hơn:

Bài toán 2.1.1.5 [Olympic sinh viên toàn quốc 2016, môn Giải tích].

với trường hợp a 1

Bây giờ, ta sẽ xét trường hợp a 1

vớix 0 ,nN* Từ định nghĩa của hàm g ta thu được

toán được chứng minh.

• Bài toán trên là một bài toán về bất phương trình hàm có sử dụng tính chất giải tích và

giá fx Px.u n với lim u n1 hoặc fx Px u n với lim u n 0 , trong bài toán này

thì

download by : skknchat@gmail.com

n

n

có thể sử dụng giả thiết ii của bài toán để tiếp tục đánh giá Bài toán trên là bài toán tổng

quát của bài toán 2.1.1.4

• Ngoài cách giải đã trình bày ở trên, ta có thể tiếp cận bài toán theo hướng khác

như

sau:

Vẫn như lời giải ở trên, ta chứng minh được

với mọi x và bất đẳng thức cần chứng minh đúng khi

Do điều kiện thứ hai của bài toán, vế trái của (20) bị

ý khi n đủ lớn, vô lý! Do đó điều giả sử là sai hay

a x

Vì n có thể lớn tùy ý nên điều này chỉ đúng khi và chỉ khi hx

suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2.1.1.6 Tìm tất cả các hàm f : ® thỏa mãn với mọi

Do (2) nên f ( 2 n x 0 )

-sao cho

Tuy nhiên, kết quả này không thể nào được thỏa mãn với mọi

được cho ta kết quả vừa khẳng định ở trên, tức

các yêu cầu của bài toán

Nhận xét Có thể thay số 2 trong (1) bởi số thực dương khác 1 và VP = 1 trong (2)

(5)

Cứ thế, bằng cách lặp lại các quy trình đánh giá giống nhau như vậy, ta thu được

Tiếp theo ta xét một bài toán gần gũi với bài trên:

Bài toán 2.1.1.8 (Bulgaria, 2008) Tìm tất cả các hàm số

Lời giải Thay

x Î Từ đây, kết hợp với (1) ta suy ra

quả quen thuộc, bạn đọc có thể tự chứng minh) Do đó, từ bất

trên, bằng cách thay x =

tiến đến dương vô cùng trong khi vế trái là hằng số) Do vậy, ta phải có f ( x ) = 0

Bài toán 2.1.1.9 Cho hàm số

( 3 )

0 Thay

download by : skknchat@gmail.com

Trong (7), cố định x , ta cho với để ý lim

0 <

1 thì được

0, " x Î .

Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả thiết là sai Nói cách khác, phải tồn tại ít nhất một

số x0 > 0 sao cho f ( x0 ) < 0

Bài toán 2.1.1.10 [Chọn đội tuyển Sư phạm, vòng 2, 2013] Cho hàm số f xác định

trên đoạn [ 0;2013 ] và nhận các giá trị trên tập thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

Chứng minh rằng f ( x ) ³

Lời giải Trong (2), ta xét

đó, kết hợp với (1), ta có ngay f ( 0 ) = 0 Kết quả này cho thấy khẳng định bài toán đúngvới x = 0 và như thế ta chỉ còn phải chứng minh kết quả bài toán cho trường hợp

Bất đẳng thức (5) cho ta kết quả của bài toán.

Bài toán 2.1.1.11 [Romania TST, 2007] Tìm tất cả các hàm

2

f ( x ) - f ( y ) £ ( x - y )

Lời giải Thay y bởi x + y

vào (1), ta thu được

x + y

æ ç

f

ç

ç

èCộng hai bất đẳng thức (2) và (3) lại theo vế và sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối

Hơn nữa, ta chứng minh được

Từ đây suy ra lim u n

Thử lại ta thấy thỏa, vì chú ý rằng

Nhận xét Bài toán cũng đúng khi thay miền thành

download by : skknchat@gmail.com

Thử lại thấy thỏa mãn.

Từ đây suy ra: f

Theo nguyên lý quy nạp suy ra: f ( x ) u n ,n 1, 2, ,x

Cũng bằng nguyên lý quy nạp ta chứng minh được dãy

Lời giải 1 Giả sử tồn tại hàm số

Kết quả trên chứng tỏ

và chọn số tự nhiên n f là một hàm giảm thực sự trên

sao cho nf ( x + 1 )

Bây giờ,có

Trong bất đẳng thức trên, lần lượt cho k nhận giá trị từ 0 đến

bất đẳng thức lại theo vế Khi đó, ta thu được kết quả sau

Từ đó, sử dụng tính nghịch biến (như trong lời giải 1) của hàm f

f

(x)

1

+ 2

+

+

f giảm nên từ trên,

với mọi x > 0 và n

Mâu thuẫn vì f luôn nhận giá trị dương

kết luận tương tự Do vậy, ta phải có f ( x ) = 2x

Hàm này thỏa mãn các yêu cầu của bài toán

Nhận xét Bài toán trên cũng có thể được giải bằng phương pháp kẹp dãy số như sau: Xét

ak f ( x ) < 6x - f (x )< b k f (x).

Từ đây, ta dễ dàng suy ra

download by : skknchat@gmail.com

a x =

k + 1

Như vậy, khẳng định cũng đúng với n = k + 1 Bất đẳng thức (1) được chứng minh Bây

minh ở trên, ta dễ dàng suy ra f ( x ) = 2x với mọi x > 0

Bài toán 2.1.1.19.(Bulgaria 2006) Cho hàm số f :0; 0; thỏa mãn điều kiện

fx  y fx  y 4 f x f y ,x y 0

a) Chứng minh rằng f2 x 4 fx,x 0 ;

b) Tìm tất cả hàm số f thỏa mãn điều kiện đã cho

Lời giải: Để chứng minh đẳng thức f

tính các fnx, n 3 theo

cách biểu diễn được theo

và f2x Để thực hiện được điều này ta sẽ lần lượt tính f3 x, f4 x, f5 x,

Đặt a fx, b f2x Khi đó kết hợp với phương trình đã cho ta có

Dựa theo tính trù mật của tập

u n,v n hữu tỉ sao cho

là dãy số tăng có giới hạn là

 0 , tồn tại hai dãy

vàv n là dãy số

u

với mọi x , y 0.

Lời giải Đầu tiên, đổi chỗ

Trong giả thiết, thay

download by : skknchat@gmail.com

2.1.2 Cho biến số qua giới hạn trong bất phương trình hàm.

Trong giải bất phương trình hàm, kĩ thuật sử dụng các điểm đặc biệt (chẳng hạn 0,

1) là tương đối thông dụng Tuy nhiên đôi khi ta cần tới một điểm đặc biệt khác, đó là

điểm Nhờ phép chuyển qua giới hạn mà ta có thể giải quyết được một số bài toán bất

phương trình hàm

Bài toán 2.1.2.1 Chứng minh rằng không tồn tại hàm f :  thỏa mãn đồng thời

f 0 0 và

fx  y fx

Lời giải Giả sử trái lại rằng tồn tại hàm

fx

mâu thuẫn Vậy phải tồn tại x sao cho

Bình luận: Bây

không tồn tại hàm f

giờ ta thay đổi tập nguồn và tập đích ( bởi ), ta có bài toán sau:

Bài toán 2.1.2.2 [Romania, 2001] Chứng minh rằng không tồn tại hàm

Tuy nhiên, điều này là không thể xảy ra Vậ

chất như yêu cầu của đề bài

" x > 4 x

y không tồn tại hàm f nào thỏa mãn các tính

Nhận xét: bài này là phiên bản

giống, tuy nhiên ta có thể thấy tính khác nhau của cách làm khi thay

Bài toán 2.1.2.3 (IMO, 2011) Cho hàm số f :

fx  y yf

Chứng minh rằng fx 0 với mọi x 0

Lời giải Trước hết ta sẽ chứng minh

Thật vậy, giả sử có a mà fa 0

f0 xfhay

2.2 Kỹ thuật giải tích giải quyết các bài toán về đa thức.

2.2.1 Lấy đạo hàm của đa thức

ta có

Ở một số bài toán xuất hiện ở một số kì thi học sinh giỏi, đôi khi việc lấy đạo hàm

của đa thức giúp ta có được hiệu quả trong việc tìm được chìa khóa cho các lời giải Dưới

đây là một số bài toán như vậy

Bài toán 2.2.1.1 Chứng minh rằng nếu đa thức

Lời giải Rõ ràng các đa thức hằng và các đa thức bậc nhất luôn thỏa mãn yêu cầu bài

toán Xét trường hợp deg P = n ³ 2 Thay y = - 2x + t và z = x - t với x > t > 0 vào phươngtrình đã cho, ta được

( )

Cho t ® 0+ với chú ý P (x ) liên tục và khả vi trên ¡

download by : skknchat@gmail.com

Vì hai đa thức

Gọi a (a ¹ 0

sánh hệ số bậc n

, hay

Giải phương trình này với chú ý

Thay vào phương trình (1) và rút gọn, ta được

mãn phương trình đã cho ở đề bài Vậy tất cả các đa thức thỏa mãn yêu cầu đề bài có

( 2

)

Hai đa thức ở hai vế của phương trình trên nhận giá trị bằng nhau tại vô số giá trị dương

Do đó  6 n



tồn tại đa thức g ( x) thỏa mãn

Bài toán 2.2.1.6 Xét đa thức

R ( x) là đa thức dư khi chia P (

Lời giải.

Đặt ( x 1)20 ( x 3)20 ( x 1)2 ( x 3)2 Q ( x ) R( x) với deg Q ( x ) 16, deg R ( x) 3.

Thay x  1, x 3 vào hai vế, ta có R (1) R(3) 220 suy ra R ( x ) ( x 1)( x 3)( ax b) 220

download by : skknchat@gmail.com

Nhận xét Câu b có thể giải được bằng cách dùng Viete thuận và đảo, nhưng biến đổi

rắc rối hơn nhiều.

Bài toán 2.2.1.8 Cho P ( x ), Q ( x) là hai đa thức hệ số nguyên thỏa mãn

 1 thì vế trái khả quy, trong khi áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein với

p 2017 thì đa thức này bất khả quy, mâu thuẫn

2.2.2 Cho qua giới hạn trong giải toán đa thức.

Bài toán 2.2.2.1 (Đề thi Olympic Toán của Bungari năm 2003)

download by : skknchat@gmail.com

Tìm tất cả các đa thức

có ít nhất một nghiệm x n

Lời giải. Từ giả thiết, ta thấy rằng

sao cho phương trình

Vậy tồn tại số nguyên dương n2 n1

Bài toán 2.2.2.2 Cho đa thức

tồn tại số nguyên dương

thỏa mãn

f

Lời giải Giả sử các số nguyên

k + 1 số nguyên phân biệt

(

f P

Ta hãy bắt đầu xem xét trong trường hợp

Điều này gợi cho ta nhớ đến Bổ đề sau:

Cho dãy số nguyên phân biệt b , i = 0, k

Trường hợp f (x ) = x đã được giải quyết

Quay lại bài toán gốc, ta có

thỏa mãn hai điều kiện của bài

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử tồn tại đa thức

là sai Do đó bài toán không có nghiệm khác đa thức

(

f

( x ) x 2018.

Bài toán 2.2.2.4 Tìm tất cả các đa thức P

o bấtđẳngthức AM-GM,dấu

“=”

khôn

g xảy ra)

Vậy, tồn tại số nguyên dương

Bài toán 2.2.2.5 [VN TST 2014] Tìm tất cả các đa thức P , Q Î

Lời giải 1 Cho P,Q Î ¢ é ùêx ú

ë û thỏa mãn yêu cầu của đề bài Ta sẽ từng bước chứng minhcác kết luận sau

Trong cả hai trường hợp, yêu cầu của đề bài đều không thể thỏa mãn được

Vậy deg P ³ 1, deg Q ³ 1

2l + 3 đều không là bội của m

Suy ra m không thể là ước của một số hạng khác 0 nào của (x

thấy một trong hai dãy con nói trên có tính chất: với

sao cho r q y n ¹ 0 Hiển nhiên khi n ® + ¥

Vì thế, một điều kiện cần để yêu cầu của đề bài được thỏa

điều kiện này, yêu cầu của đề bài nói rằng: với mỗi

dư thức tuyến tính

mãn là b + d ¹

¥

2014 (mod m ),

có vô số nghiệm x = n trong ¥ Một cách tương đương,

với mỗi m Î ¥*

Thật ra, chỉ cần xét

kiện cần và đủ để yêu cầu của đề bài được thỏa mãn là

Lời giải 2 Ta sẽ đưa ra ở đây một cách chứng minh khác cho cặp bước (ii) – (iii)

giữ nguyên chứng minh của (i) và (iv) – (iv)

(ii) – (iii) deg P = 1 , deg Q = 1

Ta cần Bổ đề: Cho

Giả sử mỗi số nguyên dương

Khi đó,

Chứng minh Dễ thấy mọi đa thức hằng

phản chứng rằng deg T > 1 Khi đó, tồn tại số thực c > 0 sao cho T (x ) > 2 x

không chia hết cho

Bài toán 2.2.2.6 Biết rằng với k là số nguyên nào đó, đa thức

P ( x ) = x n+ 1 + kx n + 31x2 + 12x + 2016 có nghiệm nguyên với vô hạn giá trị nguyên

Lời giải.

Đa thức này có nghiệm nguyên thì các nghiệm đó chỉ có thể là ước của 2016

Giả sử a là một nghiệm nguyên nào đó thì

nguyên nữa (mẫu lớn hơn tử) và vì thế không thể thỏa mãn

Do đó, nghiệm nguyên ở đây chỉ có thể là 1 hoặc - 1