(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc khai thác lời giải một bài toán bất đẳng thức trong chương trình toán THCS

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phongkhai thác lời giải một bài toán bất đẳng thức trong chương trình toán THCS Môn: Toán PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁN

Trang 1

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài toán bất đẳng thức trong chương trình toán THCS

Môn: Toán PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH TỪ VIỆC KHAI THÁC LỜI GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS.

Tác giả: Đỗ Minh Giáp – Trường THCS Lê Hồng Phong

Dành cho đối tượng: Học sinh giỏi THCS Thời lượng: 20 tiết

I- ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong nhiều năm giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS và nhiều năm bồi dưỡng họcsinh giỏi các cấp tôi nhận thấy vấn đề bất đẳng thức là một vấn đề khó nhưng lại có nhiều tácdụng trong việc rèn luyện trí tuệ cho học sinh Về kiến thức lý thuyết cũng như bài tập về phầnbất đẳng thức được ẩn tàng trong từng bài học và trong những bài tập từ trung bình đến nângcao Giáo viên giảng dạy hiểu vấn đề này một cách đơn giản, chưa thấu đáo và triệt để Chính

vì vậy mà khi giảng dạy giáo viên thường coi nhẹ hoặc cho vấn đề đó là khó, không quantrọng Mặt khác chính học sinh khi học, tiếp cận với vấn đề bất đẳng thức còn lơ mơ ngại khó.Như chúng ta đều biết khi theo dõi đề thi học sinh giỏi các cấp nhiều năm gần đây thì thấy sốlượng các bài toán về bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức chiếm tỉ lệ cao trong mỗi đề.Mặt khác trên báo học toán tuổi trẻ, báo toán tuổi thơ dành cho học sinh trung học cơ sở thì cácbài viết cũng như số lượng bài toán về bất đẳng thức chiếm tỉ lệ cao Với tầm quan trọng vàtính cấp thiết của vấn đề tôi viết chuyên đề này giúp cho phần nào giáo viên trực tiếp giảng dạytrên lớp cũng như đội ngũ giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi và những học sinh yêu thích bộmôn toán có cách nhìn nhận và đánh giá về bài toán bất đẳng thức, tăng thêm một phần kiếnthức cũng như sự đam mê, thích thú khi nghiên cứu về vấn đề này Mặt khác giúp cho sự pháttriển tư duy lô gíc của học sinh: giúp cho các em cảm nhận được mạch tư duy, cách suy nghĩ,cách đánh giá trước những vấn đề tưởng chừng đơn giản nhưng lại rất hay và lý thú Một lầnnữa tôi viết chuyên đề này mong muốn đóng góp một phần nhỏ cho việc giảng dạy và học tậpcủa giáo viên và học sinh đạt kết quả cao hơn

Nội dung chuyên đề bao gồm:

Một số bài toán bất đẳng thức trong chương trình toán

THCS Một số bài toán bất đẳng thức hay & khó

II- NỘI DUNG

II.1 Định nghĩa và một số tính chất của bất đẳng thức :

1 /Định nghĩa :

Ta nói rằng số a lớn hơn số b ( hoặc số a nhỏ hơn số b ) Ký hiệu là : a> b ( hoặc

a<b ) Nếu a - b > o ( hoặc a - b < o ) Ta gọi a>b (hoặc a < b ) là một bất đẳng thức

+/Chú ý: Đôi khi ta còn viết :a ≥ b  a-b ≥ 0 ;( hoặc : a≤ b  a-b ≤ 0

Trang 2

n2/ Bất đẳng thức Bu-Nhi-A-Cốp-SKi : Với hai dãy :( a1;a2;…;an ) và ( b1; b2 ;…; bn ) tùy ý thì :

( a1.b1 + a2.b2 +…+ an bn )2 ≤ ( a21+a22+…+ ann ) ( b21 +b22 +…+ bnn) Dấu bằng xảy ra khi và khi : ai = t bi ; với mọi i = 1 ;2; 3 ;…; n n3/ Bất đẳng thức Trê Bư Xép :

Với 2 dãy tăng hoặc giảm : ( a1 a2 an ) và (b1 b2 bn )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a1= a2= …= an hoặc b1= b2= …= bn

Với 2 dãy : dãy này tăng dãy kia giảm : a1 a2 an và b1 b2 bn

Thì : ( a1 b1+ a2.b2 +…+ an bn ) ≤ a 1 a 2 an

( b1+b2+…+bn)

n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a1= a2= …= an hoặc b1= b2= …= bn

II.2 Một số ví dụ minh họa

Bài toán 1: Chứng minh rằng x,y R thì x2 + y2 2xy

Lời giải 1: Xét hiệu: x2 + y2 – 2xy = (x – y)2 0 x2 + y2 2xy (đpcm)

Lời giải 2: Ta luôn có: x,y thì (x – y)2 0 x2– 2xy + y2 0

x2 + y2 2xy (đpcm)

Từ bài toán 1 ở trên ta thay x2& y2 tương ứng bởi x ; y thì ta có bài toán sau:

Bài toán 1.1: Chứng minh rằng x,y 0 thì: x + y 2 xy

Ta lại thấy nếu áp dụng bài toán 1 ở trên cho 4 số trở lên và đặc biệt thay một số chữ bởi các

số cụ thể thì ta có :

Bài toán 1.2: Chứng minh rằng a,b thì : a2 + b2 + 2 2(a +b)

Bài toán 1.3: Chứng minh rằng a,b,c thì: a2 + b2 + c2 + 3 2(a + b + c)

Trang 3

Như vậy từ 4 bài toán trên ta thấy rằng việc đưa ra bài toán tổng quát & giải bài toán đó thật

dễ ràng

22 download by : skknchat@gmail.com

Trang 4

Bài toán 1.4: Chứng minh rằng:

a1 , a2 , a3 a n thì: a1 a2 2 a n 2n 2(a1 a2 a n ) với n N, n 1

Hãy vận dụng bài toán 1 giải bài toán sau :

Bài toán 1.5: Chứng minh rằng: Với ai > 0; i = 1, n và a1.a2…an = 1 thì:

(a1 + 1)(a2 + 1)…(an + 1) 2n

Trong chương trình toán lớp 8 đã học hằng đẳng thức bình phương của một hiệu :

x y2 x2 2xy y2 0 => x2+ y2 => 2xy Từ đó ta có bài toán sau :

Bài toán 2: Chứng minh rằng: x,y,z thì: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx

Lời giải 1: Ta có: x2 + y2 2xy (1)

Lời giải 3: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki cho hai dãy: (x,y,z) và (y,z,x) ta có:

(xy +yz +zx)2 (x2 +y2 + z2)(y2 + z2 + x2)

(xy +yz +zx)2 (x2 + y2 + z2)2

xy yz zx x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 xy + yz + zx (đpcm)

Từ bài toán 2, ta đề suất các bài toán sau:

Bài toán 2.1: Chứng minh rằng x1, x2, …,xn thì x1 2 + x2 2 +… + xn 2 x1x2 + x2x3 +… + xnx1

Bài toán 2.2 (bài toán đặc biệt hóa):

Chứng minh rằng a2 + b2 + 1 ab + b + a Vận dụng bài toán 1& t/c xắp thứ tự trong R để giải bài toán sau :

Bài toán 2.3: Cho 5 số dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng ta có thể sắp xếp 5 số đó trên một vòng tròn sao cho tổng của tích hai số liền nhau không lớn hơn 1

Bài toán 3: Xác định số thực p để bất đẳng thức sau thỏa mãn với x1, x2, x3 > 0 x1 2

+ x2 2 + x3 2 p(x1x2 + x1x3)

23

Trang 5

download by : skknchat@gmail.com

Trang 6

Ta mở rộng cho bài toán 3 :

Bài toán 3.1: Xác định số thực p để bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi số thực x1, x2, x3, x4 > 0

x1 2 + x2 2 + x3 2 + x4 2 p(x1x2 + x1x3 + x1x4) Giải tương tự như bài toán 3 :

Ta có : p2

x1 2 + x2 2 ≥ px1x2 (1) p2

x1 2 + x3 2 ≥ px1x3 (2) p2

x1 2 + x4 2 ≥ px1x4 (3)

Cộng các vế của 3 BĐT trên lại ta được :

3 p42 x1 2

+ x2 2+ x3 2+x4 2 ≥ px1x2+ px1x3+ px1x4

Chúng ta xét tiếp bài toán :

Bài toán 4: Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y = 2 Chứng minh rằng:

x2y2(x2 + y2) 2 (1)

Lời giải: Từ x + y = 2 x2 + y2 = 4 – 2xy

Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có 2 = x + y 2 xy xy 1 <=>xy 1 Cách1: Ta có

Trang 8

0 T 2 mà x2y2(x2 + y2) T 2 ( vì 0 xy 1) => (đpcm) Vận dụng lời giải bài toán trên hãy giải các bài toán sau:

Bài toán 4.1: Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:

x y

2

x2 y2 (x2 y2 ) 2

a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) 0 (1) ( do a, b, c là độ dài ba cạnh

(b – c + a)(b + c – a) 0 (2)(c – a + b)(c + a – b) 0(3)

Xuất phát từ bài toán :

Bài toán 5: Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh tam giác Chứng minh rằng

Trang 9

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: x + y 2 xy > 0; y +

z 2 yz > 0 ;z + x 2 xz > 0

Trang 10

Nhân các vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều có 2 vế đều dương ta có:

đúng

Ta thay đổi bđt (*) (a + b + c – 2c)(b + c + a – 2a)(a + b + c – 2b) abc

(2p – 2c)(2p – 2a)(2p – 2b) abc(p – a)(p – b)(p – c) abc

8 ( vì p là nửa chu vi của tam giác)

Do a, b, c có vai trò như nhau không mất tính tổng quát, giả sử 0< a b c

Khi đó: hai trong ba thừa số: (a + b – c); (b + c – a); (a + c – b) luôn có giá trị dương

Nếu ba thừa số đều dương chứng minh tương tự như trên thì bất đẳng thức (*) đúng.Nếu có một thừa số không dương thì (*) luôn đúng do đó ta lại có bài toán

Bài toán 5.2: Cho a, b, c là ba số dương

Chứng minh rằng (a + b – c)(b + c – a)(c + a –b) abc

áp dụng bài toán 5.2 cho ba số dương: a, 1, b1

và thêm giả thiết a.b.c = 1

Từ đó ta có bài toán mở rộng sau:

Bài toán 5.3: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a.b.c = 1 Chứng minh rằng: (a + - 1)(b + 1

c - 1)(c + 1

a - 1) 1Theo bài toán 5 ta có: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc

Ta lại có bài toán sau :

Bài toán 5.4: Cho ba số dương a, b, c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

b

Trang 11

b)(1 b a

c )(1 a b

c ) Một bđt rất quen thuộc & được sử dụng nhiều trong chứng minh cũng như tìm cực trị đó là bàitoán sau :

Trang 13

( n a n b n c ) &( 1 1 1 ) ta có:

3( n a 1

a n b b1n c 1c

Từ đó ta lại có bài toán:

Bài toán 6.3: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

Để vận dụng bài toán 6 tôi xin đề suất một số bài tập áp dụng sau :

Bài toán 6.4: Cho các số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 1

Trang 15

Trang 16

có bài toán sau:

Bài toán 7: Cho các số a, b, c là các số bất kì và x, y, z là những số thực dương thì:

Trang 17

Bất đẳng thức luôn đúng bất đẳng thức (1) đúng

Ta lại thấy từ bài toán 7 thì mở rộng để có bài toán sau :

Bài toán 7.1: Với a, b, c, là các số thực tùy ý, x, y, z là các số thực dương thì:

a2 b2 c2 (a b c)2

a2 b2 (a b)2 a2 b2 c2 (a b)2 c2 (a b c)2

Lời giải: x y x y x y z x y z x y z (đpcm) Xuất phát từ 2 bài toán trên ta đưa ra bài toán tổng quát sau:

Bài toán 7.2: Cho n số thực bất kì a1, a2, …an và n số thực dương b1, b2,…bn thì:

Vận dụng bài toán 7.1 để giải bài toán :

Bài toán 7.3: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Trang 19

Bài toán 8: Với a, b dương ta luôn có: a3 + b3 ab(a + b) (*)

Lời giải: Bất đẳng thức (*) (a + b)(a2 – ab + b2) – ab(a+b) 0

a3

b 2 a 2 ab b

Tương tự với a, b, c > 0 thì b

3

c2c

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 8.2: Với ba số dương a, b, c

Vận dụng kết quả của bài tập 8 ta có bài toán sau:

Bài toán 8.3: Với a, b, c dương, Chứng minh rằng:

Trang 20

a 3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 a + b + c

Lại có 4(a3 + b3) (a3 + b3) + 3ab(a + b) với a, b > 0

Trang 21

4(a3 + b3) (a + b)3

Ta đề xuất được bài toán:

Bài toán 8.4: Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

8(a3 + b3 + c3) ≥ (a + b) 3 + (b + c)3 + (c + a)3 Lại thấy nếu bổ sung thêm giả thiết: abc = 1 thì từ bài toán 8 ta lại có:

Từ đó ta đề xuất được bài toán:

Chứng minh rằng:

1

a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1

Với cách làm tương tự như trên Tôi xin đề xuất một số bài toán sau đây :

Bài toán 8.6: Cho a, b, c dương và abc = 1 Chứng minh rằng:

(1. a + 1. b )2 (12 + 12)(a + b) = 2 ( a + b )2 2 a + b 2 Ta thay đổi điều kiện của

bài toán a + b = 1, ta có bài toán

Bài toán 9.1: Cho nai số a, b không âm thỏa mãn a + b = n Chứng minh

Trang 22

Trang 23

Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn a + b + c =n (n N, n 1) Chứng minh rằng: a +

Từ ba bài toán trên ta có thể tổng quát hoá bài toán:

Bài toán 9.3: Cho n số không âm a1, a2, …am thỏa mãn a1+ a2+ …+ am = n

Hãy vận dụng để giải các bài toán sau:

Bài toán 9.4: Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1

Trong khi giải các bài toán bất đẳng thức thì việc nhận xét và đánh giá bài toán là một vấn

đề rất quan trong Nhiều bài toán chỉ cần sử dụng một mẹo nhỏ ta đã tìm được lời giải khôngnhững thế ta còn tổng quát được bài toán Thật vậy ví dụ như bài toán sau:

Bài toán 10: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: b25a

Trang 24

Dựa vào cách giải bài toán trên ta đề xuất bài toán sau:

Bài toán 10.1: Cho m, n, p, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

Trang 25

Vậy Vế trái (*) 1 ( m n p )2- (m + n + p) (đpcm)

2

Trong khi giải bài toán bất đẳng thức ngoài việc sử dụng các phương pháp chứng minh, biếnđổi đại số mà ta biết liện hệ, vận dụng môn hình học vào để chứng minh thì công việc giải toánlại trở thành đơn giản, dễ hiểu Sau đây tôi xin đưa ra một bài toán:

Bài toán 11: Cho a1 , a2 , b1 , b2 ,, là các số dương Chứng minh rằng :

a1 b1 a2 b2 a1 a2 2b1 b2 2

Bài giải:Xét trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy :

Ta đặt trên tia Oy các đoạn thẳng: OA = a1, AB = a2 , OC = b1 , CD = b2 Qua A, B vẽ cácđường thẳng song song với Ox; qua C, D vẽ các đường thẳng song song với Oy, chúng cắtnhau tại M, N, P, Q Ta có OA2 + OC2 = OM2

thành bài toán sau:

Trang 26

Trang 27

Trên trục Ox ta đặt liên tiếp các đoạn thẳng : OB1 =b1; B1B2= b 2;…; Bn -1B n= bn Tại các điểm

Ai ta kẻ các đường thẳng song song với trục Ox; Tại các điểm Bi tacũmg kẻ các đường thẳngsong song với trục Oy, các đường thẳng đó cắt nhau tại các điểm Ci Khi đó ta có :

Lượng kiến thức về bđt trong sách giáo khoa được đề cập lại rất hạn chế, bởi thế trongquá trình giảng dạy cần phải khai thác tốt để thúc đẩy tư duy sáng tạo cho giáo viên và họcsinh Mặt khác giúp cho học sinh không bị động, sợ hãi mà lại có hứng thú học tập, tạo cho giờhọc không nhàm chán và trở thành sinh động Qua đó giúp cho học sinh độc lập suy nghĩ, tựrèn luyện mình trong học tập, tạo ra hướng tư duy phải đi tìm tòi cái mới đó là cách tốt nhấtgiúp phát triển trí tuệ, suy luận lô gíc, nhân cách cho học sinh

Bản thân người giáo viên khi giảng dạy cần lựa chọn những vấn đề đưa ra hết sức cơ bản,không được tham, không được nhồi nhét kiến thức mà phải tự nhiên, để từ đó khai thác, mởrộng, đề xuất những vấn đề mới một cách hợp lí

Tôi hi vọng chuyên đề này sẽ đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học bộmôn toán ở cấp học THCS Xin sự đóng góp chân thành của các đồng nghiệp kính yêu!

Trân trọng cảm ơn./

35

Trang 28

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	276,74 KB