Một số phương pháp tìm giới hạn của một hàm số31517

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐI.. Quy tắc về giới hạn vô cực a Quy tắc tìm giới hạn của tích fx.gx... Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốI.. Thông thường ta áp dụng các

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ

I Tóm tắt lý thuyết

1 Giới hạn hữu hạn

 Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên

K\{x0} lim khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ ,xn \{x0} và xn

�→� 0

,ta có limf(xn)=L

→�0

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b) lim khi và chỉ khi

�→� + 0

�(�) = � với dãy số (xn) bất kỳ x0<xn<b và xn→�0, ta có limf(x)=L

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0) lim , khi và chỉ khi

�→�‒0

�(�) = �

với dãy số (xn) bất kỳ , a<xn<x0 và xn→�0, ta có limf(xn)=L

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞) lim , khi và chỉ khi

�→ + ∞�(�) = � với dãy (xn) bất kỳ ,xn>a và xn→ + ∞, thì limf(xn)=L

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞;a) lim , khi và chỉ khi

�→ ‒ ∞�(�) = � với dãy số (xn) bất kỳ ,xn<a và ��→ ‒ ∞ thì limf(xn)=L

2 Giới hạn ở vô cực

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng(a;+∞) lim , khi và chỉ

�→ + ∞�(�) =‒ ∞ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn>a và ��→ + ∞ ,ta có limf(xn)=-∞

 Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0} lim khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) ,xn thuộc

�→� 0

�(�) =+ ∞ K\{x0} và xn→�0, ta có limf(xn)=+∞

Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞

3.Các giới hạn đặc biệt

a) lim

�→� 0

� = �0

�) lim

�→� 0

� = � ; lim

x→ ± ∞c =� ; lim

x→ ± ∞

c

x= 0

�) lim

�→ + ∞��=+∞ , Với k là một số nguyên dương

�) [ lim

� ‒ ∞��=‒ ∞ , �ℎ� � ��

lim

�→ ‒ ∞��=+∞ , �ℎ� � �ℎ��

4 Định lý về giới hạn hữu hạn

* Định lý 1

�→� 0

�(�) = � lim

�→� 0

�(�) = �

 lim

�→� 0

[�(�) + �(�)] = � + �

 lim

�→� 0

[�(�) ‒ �(�)] = � ‒ �

 lim

�→� 0 [�(�).�(�)] = �.�

 lim

�→� 0[�(�)�(�)]= �

� (� ≠0 ) b) Nếu f(x)≥ 0 và lim , thì L ≥ 0 và

�→� 0

�→� 0

�(�) = �

Định lý 2

lim

�→� 0

�(�) = � �ℎ� lim

�→� + 0

�(�) = lim

�→�‒0

�(�) = �

5 Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

lim

�→� 0

�→� 0

�→� 0

�(�)�(�)

L>0

L <0

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương �(�)

�(�)

lim

�→� 0

�→� 0

�(�) Dấu của g(x)

lim

�→� 0

�(�)

�(�)

- +∞

B Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

I Thông thường ta áp dụng các quy tắc và định lý về giới hạn của hàm số là ta

tìm được ngay giá trị của giới hạn

Ví dụ , Tìm các giới hạn sau

�) lim

�→1

�2

+2� ‒ 3

2�2‒ � ‒ 1 �) lim�→2

2‒ �

� + 7 ‒ 3

�) lim

→ + ∞

2�3

+3� ‒ 4

‒ �3‒ �2

+ 1; �) lim

�→ ‒ ∞

�2

‒ � ‒ 4�2

+ 1 2� + 3

�) lim

�→0

1

�( 1

� + 1 ‒1) ; �) lim

�→ ‒ ∞( 4�2

‒ � + 2�)

Bài giải :

�) lim

�→1

�2

+2� ‒ 3

2�2

‒ � ‒ 1 = lim�→1

(� ‒ 1)(� + 3) 2(� ‒ 1)(� +12)= lim�→1

� + 3 2� + 1=

4 3

�) lim

�→2

2‒ �

� + 7 ‒ 3= lim�→2

(2‒ �)( � + 7 + 3)

� ‒ 2 = lim�→2‒( � + 7 + 3)=‒ 6

�) lim

�→ + ∞

2�3

+3� ‒ 4

‒ �3

‒ �2

+ 1= lim�→ + ∞

2 + 3

�2‒ 4

�3

‒ 1 ‒1�+ 1

�3

=‒ 2

�)

lim

�→ ‒ ∞

�2‒ � ‒ 4�2

+ 1 2� + 3 = lim�→ ‒ ∞

|�|( 1‒1� ‒ 4 + 1

�2) 2� + 3 = lim�→ ‒ ∞‒

( 1‒ � ‒ �

�

�) lim

�→0‒

1

�( 1

� + 1 ‒1)= lim

�→0‒

1‒ (� + 1)

�(� + 1) = lim�→0‒ ‒� + 11 =‒ 1

�) lim

�→ ‒ ∞( 4�2‒ � + 2�)= lim

�→ ‒ ∞

‒ �

|�| 4 ‒1� ‒ 2�

= lim

�→ ‒ ∞

1

4‒1�+ 2

=1 4

II Một số dạngvô định thường gặp và cách biến đổi

�→� 0

�(�)

�(�) �ℎ� �→�lim0�(�) = lim�→�0�(�) = 0

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử Sau đó giản ước nhân tử chung :

lim

�→� 0

�(�)

�(�)= lim�→�0

(� ‒ �0)�(�)

(� ‒ �0)�(�)= lim�→�0

�(�)

�(�)=

�(�0)

�(�0)=� ( ∗∗ )

 Nếu u(x) và v(x) chứa biến số dưới dấu căn ,thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp ,trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước

 Một số biểu thức liện hợp thường dùng :

1) � ‒ 1 = � ‒ 1� + 1 2) � + 1 = � ‒ 1

� ‒ 1 3) � ‒ � =

� ‒ �

� + � 4) � + � = � ‒ �

� ‒ � 5)

3 � + 1 =3 � + 1

�2‒3 � + 1 6) 3 � ‒ 1 =3 � ‒ 1

�2

+3 � + 1 7)

3

� ‒3 � =3 � ‒ �

�2

+3 �� +3

�2

8 )3 � +3 � =3 � + �

�2‒3 �� +3

�2

�� ‒ 1+� �� ‒ 2� +�

�� ‒ 3�2

+ … +� �1

�� ‒ 2+� �� ‒ 1

�� ‒ 1‒�

�� ‒ 2� +�

�� ‒ 3�2‒ … +�

�1�� ‒ 2+� �� ‒ 1

* Chú ý : Trong (**) nếu A(x0)=B(x0)=0 ,ta lại phân tích tiếp chúng thành :

�(�)

�(�)=

(� ‒ �1).�(�)

(� ‒ �1)�(�) =

�(�)

�(�)⇒�→�lim0

�(�)

�(�)= lim�→�0

�(�)

�(�)=

�(�1)

�(�1)=�1

* Khi u(x) hoặc v(x) chứa căn thức cùng bậc :

Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp ( như đã cho ở trên )

Sau đó rút gọn làm xuất hiện thừa số chung

Giản ước thừa số chung ,sẽ mất dạng vô định

Ví dụ1 ( Bài 4.57-tr-143-BTGT11-NC).

Tìm các giới hạn sau

�) lim

�→ ‒ 2

�3

+ 8

�2

+11� + 18 �) lim�→3

2�3‒ 5�2‒ 2� ‒ 3

4�3‒ 13�2

+4� ‒ 3

�) lim

�→0

(� + 3)3‒ 27

� �) lim�→0

3�2

+�4

2�

�) lim

�→( ‒ 2) +

�|� + 2|

�2

+3� + 2; �) lim�→1( 1

1‒ � ‒

3

1‒ �3)

Bài giải :

�) lim

�→ ‒ 2

�3

+ 8

�2

+11� + 18= lim�→ ‒ 2

(� + 2)(�2‒ 2� + 4)

(� + 2)(� + 9) = lim�→ ‒ 2

�2‒ 2� + 4

12 7

�) lim

�→3

2�3‒ 5�2‒ 2� ‒ 3

4�3‒ 13�2

+4� ‒ 3= lim�→3

(� + 3)(2�2

+� + 1)

(� ‒ 3)(4�2‒ � + 1) = lim�→3

2�2

+� + 1

4�2‒ � + 1 =

11 17

�) lim

�→0

(� + 3)3‒ 27

� = lim�→0

�[(� + 3)2

+ 3(� + 3) + 9]

� = lim�→0(� + 3)2+ 3(� + 3) + 9

= 27

�) lim

�→0

3�2

+�4

2� = lim�→0

|�| 3 + �2

2� = lim�→0

3 +�2

3 2

�) lim

�→( ‒ 2) +

�|� + 2|

�2

+3� + 2=�→( ‒ 2)lim +

�|� + 2|

(� + 1)(� + 2)=�→( ‒ 2)lim +

‒ �

� + 1=‒ 2

Vì �→( ‒ 2)+, thì x+2<0 ,cho nên |� + 2| =‒ (� + 2)

�) lim

�→1( 1

1‒ � ‒

3

1‒ �3)= lim

�→1

(� ‒ 1)(2 + �) (1‒ �)(1 +� + �2)= lim�→1

2 +�

1 +� + �2= 1

Ví dụ 2 ( Bài 4.59-tr144-BTGT11-NC)

Tìm các giới hạn sau

�) lim

�→1

� + 3 ‒ 2

� ‒ 1 ; �) �→7lim

2‒ � ‒ 3

�2‒ 49

�) lim

�→3

�2

‒ 2� + 6 ‒ �2

+2� ‒ 6

�2‒ 4� + 3 ; �) lim�→3‒

� ‒ 3

3‒ 6� ‒ �2

�) lim

�→2

� + 2 ‒ 2

� + 7 ‒ 3; �) �→ + ∞lim ( 3�2

+� + 1 ‒ � 3)

Bài giải :

�) lim

�→1

� + 3 ‒ 2

� ‒ 1 = lim�→1

(� ‒ 1) (� ‒ 1)( � + 3 + 2)= lim�→1

1

� + 3 + 2=

1 4

�) lim

�→7

2‒ � ‒ 3

�2‒ 49 = lim�→7

7‒ � (� ‒ 7)(� + 7)(2 + � ‒ 3)= lim�→7

‒ 1 (� + 7)(2 + � ‒ 3)=‒

1 56

�) lim

�→3

�2

‒ 2� + 6 ‒ �2

+2� ‒ 6

�2

‒ 4� + 3 = lim�→3

‒ 4(� ‒ 3) (� ‒ 1)(� ‒ 3)( �2‒ 2� + 6 + �2

+2� ‒ 6)

= lim

�→3

‒ 4 (� ‒ 1)( �2‒ 2� + 6 + �2

+2� ‒ 6)=

‒ 1 3

�) lim

�→3‒

� ‒ 3

3‒ 6� ‒ �2= lim

�→3‒

(� ‒ 3)(3 + 6� ‒ �2)

(� ‒ 3)2 = lim

�→3‒

(3 + 6� ‒ �2)

(� ‒ 3) =‒ ∞

�) lim

�→2

� + 2 ‒ 2

� + 7 ‒ 3 = lim�→2

� + 7 + 3

� + 2 + 2.

(� ‒ 2) (� ‒ 2)= lim�→2

� + 7 + 3

� + 2 + 2=

3 2

�) lim

�→ + ∞( 3�2

+� + 1 ‒ � 3)= lim

�→ + ∞

� + 1

3�2

+� + 1 + � 3

= lim

�→ + ∞

1 +1

�

3 +1

�+

1

�2+ 3

2 3=

3 6

2 Để tìm giới hạn :(Dạng : )∞

∞ lim

�→ ± ∞

�(�)

�(�)�ℎ� lim�→ ± ∞�(�) = ± ∞ ; lim�→ ± ∞�(�) = ± ∞ ;

Ta có thể làm như sau :

 Chia tử và mẫu cho , với n là số mũ cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử �� và mẫu thành tích chứa nhân tử xn ,rồi giản ước )

 Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức ,thì đưa xk ra ngoài dấu căn ( với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho luỹ thừa của x

 - Chú ý đến cận : Khi x→ + ∞, nghĩa là x>0 ; còn x→ ‒ ∞ , nghĩa là x<0

 - Giống như đối với dạng , hoặc ta phân tích thành nhân tử ,hoặc ta nhân liên 0

0 hợp ,hoặc ta đưa x ra ngoài dấu căn thức ( phải chú ý đến cận mà bỏ dấu trị tuyệt đối )

Ví dụ 1 (Bài 32-tr159-GT11-NC)

Tìm các giới hạn sau

�) lim

�→ + ∞

3 2�5

+�3

‒ 1

(2�2‒ 1)(�3

+�); �) lim

�→ ‒ ∞

2|�| + 3

�2

+� + 5

�) lim

�→ ‒ ∞

�2

+� + 2�

2� + 3 ; �) �→ + ∞lim (� + 1)

�

2�4

+�2

+ 1

Bài giải :

�) lim

�→ + ∞

3 2�5

+�3

‒ 1

(2�2‒ 1)(�3

+�)= lim�→ + ∞

32�5

+�3

‒ 1

2�5

+�3‒ �= lim�→ + ∞

3

2 + 1

�2‒ 1

�5

2 + 1

�2‒ 1

�4

= 1

�) lim

�→ ‒ ∞

2|�| + 3

�2

+� + 5= lim�→ ‒ ∞

‒ 2� + 3

‒ � 1 + 1

�3+ 5

�4

= lim

�→ ‒ ∞

‒ 2 +3�

‒ 1 +1�+ 5

�2

= 2

�) lim

�→ ‒ ∞

�2

+� + 2�

2� + 3 = lim�→ ‒ ∞

‒ � 1 +1�+2�

�(2 +3

�) = lim�→ ‒ ∞

2‒ 1 +1�

2 +3

�

=1 2

�) lim

�→ + ∞(� + 1) �

2�4

+�2

+ 1= lim�→ + ∞

�(� + 1)2

2�4

+�2

+ 1= lim�→ + ∞

1

�+

2

�2+ 1

�3

2 + 1

�2+ 1

�4

= 0

Ví dụ 2 (Bài 44-tr167-GT11NC)

Tìm các giới hạn sau

�) lim

�→ ‒ ∞� 2�

3

+�

�5‒ �2

+ 3 ; �) lim

�→ ‒ ∞

|�| + �2

+�

� + 10

�) lim

�→ + ∞

2�4

+�2‒ 1

1‒ 2� ; �) lim�→ ‒ ∞( 2�2+ 1 +�)

Bài giải :

�) lim

�→ ‒ ∞� 2�

3

+�

�5‒ �2

+ 3 = lim�→ ‒ ∞‒ �

2(2�3

+�)

�5

‒ �2

+ 3 = lim�→ ‒ ∞‒

2 + 1

�2

1‒ 1

�3+ 3

�5

=‒ 2

�) lim

�→ ‒ ∞

|�| + �2

+�

� + 10 = lim�→ ‒ ∞

‒(1 + 1 +1

�)

1 +10

�

=‒ 2

�) lim

�→ + ∞

2�4

+�2‒ 1

1‒ 2� = lim�→ + ∞�.

�2‒ 1

�4

1

� ‒2

=‒ ∞

�) lim

�→ ‒ ∞( 2�2

+ 1 +�)= lim

�→ ‒ ∞�(1‒ 2 + 1

�2)=+∞

Ví dụ 3 Tìm các giới hạn sau :





 

2 2 x

3x(2x 1)

1 lim



 

2 x

x x 1



 



2 3 2

3 lim

3 1

x

  

2 2 x

4 lim

ø giải:

  

 



    

  

  

2

2

1

3 2

3 2x 1

1 2

x x

 





2 2

2

x x

    

 

 

1

x

x

x x



2

2

x x

Ví dụ 4 Tìm các giới hạn sau



 



3 3 2 2

1 lim

2 2

x

   



3

3

2

( 2 ) 2

2 lim

3 2

x



 



2 3 2

3 lim

3 1

x

x

(x x x 1)( x 1)

(x 2)(x 1)

Bài giải :

 

     

 

 

3

2

1 1 2

1

x

x

x

x x

2

3

3

2

x

x

   



 

2

3 x

2 3

(x x x 1)( x 1)

1 1 1

t t

1

Bài tập tự luyện

Tìm các giới hạn sau:

a) xlim 2x 1 b) c)

x 1

 





2 2 x

x 1 lim

1 3x 5x





x x 1 lim

x x 1





 

d)

2 2 x

3x(2x 1) lim

(5x 1)(x 2x)





 

e) lim 3 33 2 2 2 f) g)

x



4

3 2 1 lim

4 3 2

x



 

 

2

2 2 lim

x



 

 

h) lim 43 3 2 1

2 2

x



 

  

x

(x 1) (7x 2)

lim

(2x 1)



 



2 2 x

(2x 3) (4x 7) lim

(3x 4) (5x 1)



2

x

lim 3x 1





 l) lim 2 3 2

3 1

x

x



 

2 2 x

2 2 x

x 2x 3 4x 1 lim

4x 1 2 x



   

x x 3 lim

x 1







3 Để tính giới hạn :( Dạng ∞-∞ )

lim

�→� 0

[�(�) ‒ �(�)] �ℎ� lim

�→� 0

�(�) =+ ∞ ; lim

�→� 0

�(�) =+ ∞ ; Hoặc

lim

�→� 0

�(�).�(�) �ℎ� lim

�→� 0

�(�) = 0 ; lim

�→� 0

�(�) =± ∞ ;

 Ta nhân và chia với biểu thức liên hợp ( nếu có biểu thức chứa biến số dưới

dấu căn thức ) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều

phân thức )

Dạng vô định   và dạng 0.∞

Ví dụ 1 Tìm giới hạn của các hám số sau

3

1 lim (2 3 )

x

 2 

 2  

x

3 lim ( x x x)

2

x

x

   

 2   2 

x

6 lim ( x 4x 3 x 3x 2)

Bài giải

2

3

1 lim (2 3 ) lim 2

x





2

2

3 4

khix

khix

x x

            

    

2

2

3 lim ( x x x) lim x 1 x lim x 1 1 0 ?

1

x

2

2

x x

x

  



 

     

    



 

  



    

x

x 1

6 lim ( x 4x 3 x 3x 2) lim

x 4x 3 x 3x 2

4 3 3 2 khi x

x x x x

Ví dụ 2 Tìm giới hạn của các hàm số sau

�) lim

�→3(1

� ‒

1 3) 1 (� ‒ 3)3 �) lim

�→1( 1

1‒ � ‒

3

1‒ �3)

�) lim

�→( ‒ 4)‒ ( 2

�2

+3� ‒ 4‒

3

� + 4); �) lim

�→ ‒ 1

�2

+� + 2 ‒ 1 ‒ �

�4

+�

Bài giải :

�)lim

�→3(1

� ‒

1 3) 1 (� ‒ 3)3= lim

�→3

3‒ � 3�(� ‒ 3)3= lim

�→3‒13 1

(� ‒ 3)2=+∞

�) lim

�→1( 1

1‒ � ‒

3

1‒ �3)= lim

�→1

�2

+� ‒ 2 (1‒ �)(1 +� + �2)= lim�→1

(� ‒ 1)(� + 2) (1‒ �)(1 +� + �2)

= lim‒

�→1

(� + 2)

(1 +� + �2)=‒ 1

�) lim

�→( ‒ 4)‒ ( 2

�2

+3� ‒ 4‒

3

� + 4)= lim

�→( ‒ 4)‒( 2

(� ‒ 1)(� + 4) ‒

3

� + 4)

�→( ‒ 4)‒

2‒ 3(� ‒ 1) (� ‒ 1)(� + 4)=�→( ‒ 4)lim ‒

5‒ 3�

(� ‒ 1).

1 (� + 4)=‒

17

5 (‒ ∞) =+ ∞

�) lim

�→ ‒ 1

�2

+� + 2 ‒ 1 ‒ �

�4

+� = lim�→ ‒ 1

(� + 1)2

�(� + 1)(�2

‒ � + 1)= lim�→ ‒ 1

� + 1

�(�2

‒ � + 1)

= 0.‒13= 0

Ví dụ 3 ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1

.Tìm các giới hạn sau

�) lim

�→( ‒ 1) + (�3

+ 1) �

�2

‒ 1; �) lim�→ + ∞(� + 2) � ‒ 1

�3

+�

�) lim

�→ + ∞( �2

+ 1‒ �); �) lim

�→ ‒ ∞( 2�2

+ 1 +�)

Bài giải :

�) lim

�→( ‒ 1) +(�3

+ 1) �

�2

‒ 1=�→( ‒ 1)lim +

�(� + 1)2(�2

‒ � + 1)2

(� ‒ 1)(� + 1)

= lim

�→( ‒ 1) +

�(� + 1)(�2

‒ � + 1)2

1

‒ 2= 0

�) lim

�→ + ∞(� + 2) � ‒ 1

�3

+�= lim�→ + ∞

(� + 2)2(� ‒ 1)

�3

+� = lim�→ + ∞

�3

+ 3�2

‒ 4

�3

+�

= lim

�→ + ∞

1 +3

� ‒

4

�3

1 + 1

�2

= 1

�) lim

�→ + ∞( �2

+ 1‒ �)= lim

�→ + ∞

1

( �2

+ 1 +�)= 0

�) lim

�→ ‒ ∞( 2�2

+ 1 +�)= lim

�→ ‒ ∞

�2

+ 1

2�2

+ 1 +�= lim�→ ‒ ∞‒ �

1 + 1

�2

2 + 1

�2‒ 1

=+∞

Bài tập tự luyện

Tính các giới hạn sau:

xlim ( x x x)





xlim (3x 2 9x 12x 3)

n) lim ( 2  3  2   2 ) t)



x

3 3 2

xlim ( x x x x)



x

2

q) lim ( 2 3 1 3)

r)

2

xlim ( x x x)

v) xlim ( x 12 3x 1)3 w)

4 Để tìm giới hạn

lim

�→� 0

�(�)

�(�)

Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số

 Khéo léo thêm và bớt vào tử số hay mẫu số ( có chứa căn không cùng chỉ số ) một số hợp lý ( thường là thêm vào số x0)

 Tách giới hạn đã cho thành hai giới hạn mà sao cho mỗi giới hạn chỉ chứa căn thức có cùng chỉ số và áp dụng các định lý ,hoặc quy tắc tìm giới hạn đã biết

 Chẳng hạn ,ta tìm :

lim

�→� 0

�(�)

�(�)=

� (�) ‒� �(�)

�(�) ;

{� �(�0)=� �(�0)=�

�(�0)= 0 ⟹ lim

�→� 0

�(�)

�(�)=

� (�) ‒� �(�)

�(�) = lim�→�0

� �(�) ‒ �

�(�) ‒�→�lim0

� �(�) ‒ �

�(�)

 Chú ý : Đôi khi ta phải thêm ,bớt một đại lượng h(x) sao cho h(x0)=c Sau đó áp dụng cách phân tích trên để giải ( Thông qua ví dụ : lim

�→0

1 +2� ‒3

1 +3�

�2

)

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 Tìm giới hạn của các hàm số sau

�) lim

�→0

2 1‒ � ‒3 8‒ �

� ; �) lim�→1

3� ‒ 2 ‒3

4�2‒ � ‒ 2

�2

‒ 3� + 2

Bài giải :

�) lim

�→0

2 1‒ � ‒3 8‒ �

� = lim�→02( 1‒ � ‒ 1� )+ lim

�→0(2‒3 8‒ �

= lim

�→02( 1‒ � + 1‒ 1 )+ lim

�→0(4 + 23 8‒ � +‒ 1 3

(8‒ �)2)=‒1312

�)lim

�→1

3� ‒ 2 ‒3

4�2‒ � ‒ 2

�2

‒ 3� + 2 = lim�→1(�3� ‒ 2 ‒ 12

‒ 3� + 2)+ lim

�→1(1‒3

4�2‒ � ‒ 2

�2

‒ 3� + 2 )

= lim

�→1

3 (� ‒ 2)( 3� ‒ 2 + 1)+ lim�→1

‒ (4� + 3) (� ‒ 2)(1 +3 4�2

‒ � ‒ 2 +3 (4�2

‒ � ‒ 2)2

)

=‒32+7

3=

5 6

Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau.

�) lim

�→1

5‒ �3‒3

�2

+ 7

�2

‒ 1 ; �) lim�→1

3

3� ‒ 2 ‒ 4�2

‒ � ‒ 2

�2

‒ 3� + 2

Bài giải :

�) lim

�→1

5‒ �3‒ 3

�2

+ 7

�2‒ 1 = lim�→1( 5‒ �3‒ 2

�2‒ 1 )

�→0

+ lim

�→1(2‒3

�2

+ 7

�2‒ 1 )

= lim

�→1‒(�3‒ 1

�2

( 5‒ �3

+ 2)+ lim�→1

‒ 1

4 + 23 �2

+ 7 +3 (�2

+ 7)2

= lim

�→1‒ �

2

+� + 1 (� + 1)( 5‒ �3

+ 2)‒ lim�→1

1

4 + 23 �2

+ 7 +3 (�2

+ 7)2=‒1124

�) lim

�→1

3

3� ‒ 2 ‒ 4�2

‒ � ‒ 2

�2

‒ 3� + 2 = lim�→1(3

3� ‒ 2 ‒ 1

�2

‒ 3� + 2)+ lim

�→1(1‒ 4�2

‒ � ‒ 2

�2

‒ 3� + 2 )

= lim

�→1

3 (� ‒ 2)[1 +3 3� ‒ 2 +3

(3� ‒ 2)2

]+ lim�→1

4� + 3 (2‒ �)(1 + 4�2

‒ � ‒ 2)

=‒ 1 +72=5

2

Ví dụ 3 Tìm các giới hạn sau

�) lim

3

� + 7 ‒ 5 ‒ �2

�) lim 3� + 4 ‒3

8 +5�

�) lim

�→0

3

1 +2� ‒ 1 + 7�

�

Bài giải :

�)lim

�→1

3

� + 7 ‒ 5 ‒ �2

� ‒ 1 = lim�→1(3 � + 7 ‒ 2� ‒ 1 )+ lim

�→1(2‒ 5 ‒ �2

� ‒ 1 )

= lim

�→1

1

4 + 23 � + 7 +3

(� + 7)2+ lim x + 1

2 + 5‒ �2

�→1

= 1

12+

1

2=

7 12

�) lim

�→0

3� + 4 ‒3

8 +5�

� = lim�→0( 3� + 4 ‒ 2� )+ lim

�→0(2‒3

8 +5�

= lim

�→0

3 3� + 4 + 2+ lim�→0

‒ 5

4 + 23 8 +5� +3

(8 +5�)2=3

4 ‒

5

12=

1 3

�) lim

�→0

3

1 +2� ‒ 1 + 7�

� = lim�→0(3 1 +�2� ‒ 1)+ lim

�→0(1‒ 1 + 7�

= lim

�→0

2

1 +3 1 +2� +3

(1 +2�)2+ lim

�→0

‒ 7

1 + 1 +7�=

2

3 ‒

7

2=‒176

Ví dụ 4 Tìm các giới hạn sau

�) lim

�→1

� + 3 ‒3

3�2

+ 5

� ‒ 1 ; �) lim�→1

3

7 +�3‒ 3 + �2

� ‒ 1

Bài giải :

�) lim

�→1

� + 3 ‒3

3�2

+ 5

� ‒ 1 = lim�→1( � + 3 ‒ 2� ‒ 1 )+ lim

�→1(2‒3

3�2

+ 5

� ‒ 1 )

= lim

�→1

1

� + 3 + 2+ lim�→1

‒ (1 + �)

4 + 23 3�2

+ 5 +3 (3�2

+ 5)2=1

4 ‒

2

12=

1 12

�) lim

�→1

3

7 +�3‒ 3 + �2

� ‒ 1 = lim�→1(3 7 +�3‒ 2

� ‒ 1 )+ lim

�→1(2‒ 3 + �2

� ‒ 1 )

= lim

�→1

�2

+� + 1

4 + 23 7 +�3+3 (7 +�3)2+ lim

�→1

‒ 1(1 + �)

2 + 3 +�2= 3

12 ‒

2

4=‒14

Ví dụ 5 Tìm giới hạn sau :

�→0

1 +2� ‒3

1 +3�

�2

Giải :

Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1 Khi đó

lim

�→0

1 +2� ‒3

1 +3�

�→0

1 +2� ‒ (1 + �)

�→0

3

1 +3� ‒ (1 + �)

�2

= lim

�→0

‒ 1

1 +2� + (1 + �) ‒�→0lim

� + 3 (1 +�)2

+ (1 +�)3

1 +3� +3

(1 +3�)2=‒12+ 1

5 Để tìm giới hạn : lim

�→� 0

�(�)

�(�)

Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số ( với căn có chỉ số cao hơn 3- từ 4 trở đi )

 Ta đổi biến số bằng cách đặt u=� �(�)⟹�(�) = ��;�ℎ� �→�0 ;�→�0

 Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp dụng các định lý và quy tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay