Đề thi học kì II môn: Toán (khối 11)31502

Gọi M là trung điểm AD , O là giao điểm 2 của AC và BM a Chứng minh AC vuông góc CD và SAC vuông góc SCD.. b Xác định và tính khoảng cách từ A đến SBM.. Chứng minh C là trung điểm của ED

Trường THPT Bùi Thị Xuân ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn: Toán (Khối 11) Thời gian thi: 90 phút

Câu 1 (2 điểm) Tính các giới hạn sau :

1 x 3

6x 5x 4x 1 lim

9x 8x 1



  

x lim 9x 3x 1 3x 1

Câu 2 (2 điểm)

a) Tìm a , b để hàm số sau liên tục tại x = 1 :

2

2

khi x > 1 1

( ) khi x = 1

2 3 khi x < 1

x



 





b) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m R∈ (m2 – 3m + 2)(x2 - 3x + 2) + (3 – 2x)(3 - 2m) = 0

Câu 3 (1 điểm) : Tính đạo hàm các hàm số sau :

a)     b) y = (1  x).

2015 2x 1 y

3x 1

2

x  2x  5

Câu 4 : (1 điểm)

Cho hàm số y f(x) 2x 1 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết

1 2x



song song với đường thẳng d: 4x – y – 7 = 0

Câu 5 (4 điểm) Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông tại A , B với AB = BC =a , AD = 2a , SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) , SA = a Gọi M là trung điểm AD , O là giao điểm 2 của AC và BM

a) Chứng minh AC vuông góc CD và (SAC) vuông góc (SCD)

b) Xác định và tính khoảng cách từ A đến (SBM)

c) AB cắt CD tại E Chứng minh C là trung điểm của ED ; tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD)

và (SAB)

d) Tính khoảng cách giữa hai đường SB và CD

HẾT

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 – 2015 TOÁN 11

(đáp án gồm 4 trang )

Câu 1 (2 điểm) Tính các giới hạn

a)

b)

3 2

4 2

1

x

3

6x 5x 4x 1

lim

9x 8x 1



  

x lim 9x 3x 1 3x 1

2

2

3 2

1

x

3

(3x 1)(2x x 1) 6x 5x 4x 1

9x 8x 1 (3x 1)(3x x 3x 1)

2x x 1

lim

3x x 3x 1



  

   

 



  

2

5



x lim 9x 3x 1 3x 1





9x 3x 1 9x

9x 3x 1 3x





x

2

3x 1

x x

=





x

2

1 3 x

x x

 1

2

0,25+0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

2 a) Ta có f(1) = a + b ;

2

2

Hàm số liên tục tại x = 1  

x 1 lim f(x) lim f(x) f(1) x 1 ⟺        

3a 2b 1 9 b 19

tục trên R

Ta có: f(1) = –(3–2m) và f(2) = 3 – 2m

f(1).f(2) = –(3 – 2m)2 0 với mọi (2)

+ Xét 3 – 2m = 0 m 3

2

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm là x = 1 v x = 2

f (1) 0

f (2) 0







+ Xét 3 2m 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên (1; 2)

f (1)f (2) 0

Vậy, trong cả hai trường hợp thì pt f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m¡

Cách 2: Đặt 2 2 thì f(x) là hàm số xác định và liên tục trên R

(1)

Ta có: f(1) = –(3–2m) và f(2) = 3 – 2m

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

ThuVienDeThi.com

f(1).f(2) = –(3 – 2m)2 0 với mọi (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm xo ∈ [1;2] với mọi m R ∈

Chú ý: nếu HS ghi kết luận có nghiệm trên (1; 2) mà không làm tiếp thì trừ 0,25

3 a)

2

2(3x 1) 3(2x 1) 2x 1





2014

2

  

y '   (1 x) ' x  2x    5 (1 x) x  2x  5 '

2 2

2x 4x 6

x 1

x 2x 5 (1 x).



Chú ý: HS không rút gọn thì cũng tha

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 4.

Gọi M x( ;0 y0) Î ( )C là tiếp điểm và kDlà hệ số góc của tiếp tuyến D

, hay Suy ra d có hệ số góc

  

song song với d

Û í

ï D º/

ïî

d

d

Ta có: 

4 '( )

( 2 1)

f x

x

0

4

x

2 0

( 2 1) 1

x

+ Với    x0 0 y0 1 M1 (0;1)

Phương trình tiếp tuyến tại M1 (0;1)

 :y f'(0)(x  0) 1

hay : y 4x1 (nhận)

+ Với     x0 1 y0 3 M2(1; 3) 

Phương trình tiếp tuyến tại M2(1; 3) 

:y f'(1)(x 1) 3

hay : y4x7 (loại vì trùng với d)

Vậy, : y4x1

Chú ý: Nếu học sinh không loại một trường hợp của thì trừ 0,25đ 

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 5 (4 điểm)

a) Ta có: Tứ giácABCM là hình vuông

·







/ /

90

MAB

Suy ra, Tam giác ACD vuông tại C, hay CD AC

2

Ta có:











CD (SAC)

Mà: CD (SCD)

(SCD) (SAC)

Chú ý: nếu HS chỉ nhận nhanh ABCM là hình vuông thì cũng được 0,25đ

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Trong (SAC), kẻ AHSO tại H

Ta có MD//BC và MD = BC = a nên tứ giác BCDM là hình bình hành Suy ra: BM //CD

Ta có:







tại H

Tam giác SAO vuông tại O có AH là đường cao nên: 1 2 12 12

10

5

a

AH

5

a

0,25

0,25

0,25

0,25

c) Ta có BC //AD và 2BC = 2a = AD nên BC là đường trung bình của tam giác EAD, suy ra C là

trung điểm của ED.

Trong (SAB), kẻ kẻ AFSE tại F (1)

Ta có:







(1),(2),(3) SE(ADF)

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

Ta có:





(do AD(SAB) nên ADAF Suy ra tam giác ADF vuông tại A nên ·AFD900 )

a AF

AF

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) bằng 60o

0,25

0,25

d) Ta có:







d(CD, SB) = d(CD,(SBM)) = d(D, (SBM))

⟹

[ ,( )]

d D SBM DM

d D SBM d A SBM

d A SBM  AM   

d(CD, SB) = d(A, (SBM)) = (cmt)

0,25

0,25

0,25

0,25