3đ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a.. b Tính góc giữa SC và ABCD.. 3đ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a.. b Tính góc giữa SD và ABCD..
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY
ĐỀ THI HỌC KÌ II (NH 2014-2015) MÃ ĐỀ: 951
Môn : Toán – Khối 11 Thời gian: 90 phút
TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY
ĐỀ THI HỌC KÌ II (NH 2014-2015) MÃ ĐỀ: 591
Môn : Toán – Khối 11 Thời gian: 90 phút
Câu 1.(1đ) Tính giới hạn:
xlim ( 9 x2 x 1 3 ) x
Câu 2.(1đ) Xét tính liên tục của hàm số
tại
�(�) = { �3‒ 7� + 6 4 ‒ �2 n ếu � ≠ 2
2� ‒ 21 4 n ếu � = 2
� = 2
Câu 2.(1đ) Xét tính liên tục của hàm số
tại
�(�) = { �3+ �2‒ � ‒ 1
1 ‒ �2 n ếu � ≠‒ 1 2� + 2 nếu � =‒ 1
� =‒ 1
Câu 3.(2đ) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) � = (3 ‒ 2�) �2+ 2 �) � = tan �2‒ � + 1
Câu 3.(2đ) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) � = (2 ‒ �) �2+ 3 �) � = cot �2‒ 2� + 3
Câu 4.(1đ) Cho hàm số �(�) = 2� + 1 Viết phương trình tiếp tuyến với
2 ‒ �
đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng �:� =‒ 15�+ 2
Câu 4.(1đ) Cho hàm số �(�) = 3� + 1 Viết phương trình tiếp tuyến với
1 ‒ �
đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng �:� = 4� + 1
Câu 5.(1đ) Chứng minh hàm số
� = 3(���4� + ���4�)‒ 2(���6� + ���6�)
có đạo hàm không phụ thuộc �
Câu 5.(1đ) Chứng minh hàm số
� = ���6� + 2���4�.���2� + 3���2�.���4� + ���4�
có đạo hàm không phụ thuộc �
Câu 6.(1đ) Chứng minh rằng hàm số � = 2� ‒ �2thỏa hệ thức
�3�''+ 1 = 0
Câu 7 (3đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
a �� ⊥ (����), �� = 2�
a) Chứng minh (���) ⊥ (���)
b) Tính góc giữa SC và (ABCD)
Câu 6.(1đ) Chứng minh rằng hàm số � = 4� ‒ 2�2thỏa hệ thức
�3�''+ 4 = 0
Câu 7 (3đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a
�� ⊥ (����), �� = 3�
a) Chứng minh (���) ⊥ (���)
b) Tính góc giữa SD và (ABCD)
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ II LỚP 11 MÔN: TOÁN
1
x
x
x x
x
x x
2
2
2
2
2
2 2 2 ( 2 )
2 2
2 2
2 2 lim
2 2
1
x
x
x x
x
x x
2
2
2
2
2
1
1
1 1 lim
1 6
0,25
0,25
0,25
0,25 2
(1đ)
�(2) = ‒ 54
x
x x x - 3
f x
x x - 3
x
2
2
2
( 2)( 2 ) lim ( ) lim
( 2)( 2)
lim
x
2
(2) lim ( )
Hàm số liên tục tại x=2
�( ‒ 1) = 0
x
x x -1
f x
x -1 x
2
2 1
( 1)( ) lim ( ) lim
( 1)(1 )
1
x
1 ( 1) lim ( )
Hàm số liên tục tại x=-1
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Gọi I là trung điểm AC Tính khoảng cách từ I đến (SCD)
Hết.
c) Gọi I là trung điểm BD Tính khoảng cách từ I đến (SCD)
Hết.
Trang 3(1đ)
�'= (3‒ 2�)' �2+ 2 + (3‒ 2�)( �2+ 2 )'
=‒ 2 �2+ 2 + (3‒ 2�) �
�2+ 2
= ‒ 2(�2+ 2)+�(3 ‒ 2�)
( �2+ 2)3
= ‒ 4�2+3� ‒ 4
( �2+ 2)3
�'= (2‒ �)' �2+ 3 + (2‒ �)( �2+ 3 )'
=‒ �2+ 3 + (2‒ �) �
�2+ 3
= ‒(�2+ 3)+�(2 ‒ �)
( �2+ 2)3
= ‒ 2�2+2� ‒ 3 ( �2+ 3)3
0,25
0,25
0,25
0,25 3b
(1đ)
�'=(1 + tan2 �2‒ � + 1 )( �2‒ � + 1 )'
=(1 + tan2 �2‒ � + 1 ) 2� ‒ 1
2 �2‒ � + 1
�'=‒(1 + cot2 �2‒ 2� + 3 )( �2‒ 2� + 3 )'
=‒(1 + cot2 �2‒ 2� + 3 ) � ‒ 1
�2‒ 2� + 3
0,5
0,5
4
'(x) =x
2+ 2x‒ 5 (x + 1)2
Do tiếp tuyến vuông góc với d nên � =‒ 5
⟺6x2+ 12x = 0(x≠‒ 1)⇔[ x = 0 (n)→y = 2
x =‒ 2 (n)→y =‒ 12 PTTT tại �(0;2): � =‒ 5� + 2
PTTT tại �( ‒ 2; ‒ 12): � =‒ 5� ‒ 2
f'(x) =2x
2‒ 8x + 10 (x‒ 2)2
Do tiếp tuyến song song với d nên � = 4
⟺ ‒ x2+ 4x‒ 3 = 0(x ≠ 2)⇔[x = 1 (n)→y = 3
x = 3(n)→y = 3 PTTT tại �(1;3): � = 4� ‒ 1
PTTT tại �(3;3): � = 4� ‒ 9
0,25
0,25
0,25 0,25
5
(1đ)
� =3(���4� + ���4�)‒ 2(���4� + ���4� ‒ ���2����2�)
���4� + ���4� + 2���2����2� = 1
�’ = 0
Vậy hàm số có đạo hàm không phụ thuộc �
� =���6� + 2���2�.���2�(���2� + ���2�)+���2�.���4� + ���4�
=���6� + 2���2�.���2� + ���4�(1 ‒ ���2�) + ���4�
=���4� + ���4� + 2���2����2� = 1
�’ = 0
0,5
Trang 4Vậy hàm số có đạo hàm không phụ thuộc � 0,25
6
(1đ) �
'= 1‒ �
2� ‒ �2
�''= ‒ 1
( 2� ‒ �2)3
�� =( 2� ‒ �2)3 (‒ 1)
( 2� ‒ �2)3+ 1 (đpcm)
=‒ 1 + 1 = 0 = VP
�'= 2‒ 2�
4� ‒ 2�2
�''= ‒ 4
( 4� ‒ 2�2)3
�� =( 4� ‒ 2�2)3 (‒ 4)
( 4� ‒ 2�2)3+ 4 (đpcm)
=‒ 4 + 4 = 0 = VP
0,25
0,25
0,25
0,25 7a
(0,75đ)
,
�� ⊥ �� �� ⊥ ��
�� ∩ �� = �;��,�� ⊂ (���)
⇒�� ⊥ (���)
mà BD ⊂ (���)
⇒(���) ⊥ (���)
,
�� ⊥ �� �� ⊥ ��
�� ∩ �� = �;��,�� ⊂ (���)
⇒�� ⊥ (���)
mà AC ⊂ (���)
⇒(���) ⊥ (���)
0,25
0,25
0,25 7b
(1đ)
�� ⊥ (����) Hình chiếu của SC lên mp (ABCD) là AC
[��;(����)]=(��;��)=���
Trong tam giác vuông ���,tan ��� =����= 2
��� ≈ 54044'
�� ⊥ (����) Hình chiếu của SD lên mp (ABCD) là BD
[��;(����)]=(��;��)=���
Trong tam giác vuông ���,tan ��� =����= 3
2.
��� ≈ 64046'
0,25 0,25
0,25 0,25 7c Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH Trong tam giác SBC kẻ đường cao BH
Trang 5(0,75đ) �� ⊥ ��,�� ⊥ ��
�� ∩ �� = �;��,�� ⊂ (���)
⇒�� ⊥ (���)
mà AH ⊂ (���)
⇒�� ⊥ ��
�� ⊥ ��
�� ∩ �� = �;��,�� ⊂ (���)
⇒�� ⊥ (���)
⇒�(�;(���)) = ��
Trong tam giác vuông SAD:
1
��2= 1
��2+ 1
��2= 5
4�2⇒�� =2 55 �
�(�;(���)) =12�(�;(���)) = 55�
�� ⊥ ��,�� ⊥ ��
�� ∩ �� = �;��,�� ⊂ (���)
⇒�� ⊥ (���)
mà BH ⊂ (���)
⇒�� ⊥ ��
�� ⊥ ��
�� ∩ �� = �;��,�� ⊂ (���)
⇒�� ⊥ (���)
⇒�(�;(���)) = ��
Trong tam giác vuông SBC:
1
��2= 1
��2+ 1
��2= 10
9�2⇒�� =3 1010�
�(�;(���)) =12�(�;(���)) =3 1020 �
0,25
0,25
0,25