Th tích kh i chóp.
Trang 1S GD T HÀ T NH
THPT NGUY N TRUNG THIÊN
T TOÁN
THI TH KÌ THI THPT QU C GIA N M 2015
Môn TOÁN (L n 2)
Th i gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2,0 đi m). Cho hàm s y x = 3− 6 x2 + 9 x − (1) 1
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
b) Tìm các giá tr c a tham s m đ ph ng trình sau có nghi m duy nh t:
2 x − x + 2 x m − = .
Câu 2 (1,0 đi m).
a) Gi i ph ng trình: sin3 x + 3 cos3 x − 2sin x = 0
b) Gi i ph ng trình:
1
1
3
x
x
+
+ − =
.
0
I =∫ −x + e dx .
Câu 4 (1,0 đi m).
a) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z , bi t: z ( 1 2 − i ) + = z 10 4 − i
b) Cho s nguyên d ng n tho mãn: 2 C Cn1− n 2 + = n 0 Tìm s h ng ch a x 5 trong khai tri n
3 2 n
x
x
−
, v i ( x ≠ 0 ) .
C nh bên SA vuông góc v i đáy. Góc gi a m t ph ng ( SBC ) và m t ph ng ( ABC b ng ) 60 0 .
Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SM và AC theo a , bi t M
là đi m trên đo n BC sao cho MC = 2 MB .
Câu 6 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy. Vi t ph ng trình các c nh c a hình vuông
ABCD , bi t r ng các đ ng th ng AB , CD, BC và AD l n l t đi qua các đi m M ( ) 2;4 ,
( 2; 4 )
N − , P ( ) 2;2 , Q − ( 3; 7 )
( ) ( 2 ) ( 2 ) 2
x − + y − + z + = và m t ph ng ( ) P x : + 2 y z − − 11 0 = Ch ng minh r ng m t ph ng
( ) P c t m t c u ( ) S Tìm to đ tâm H c a đ ng tròn giao tuy n c a ( ) P và ( ) S .
Câu 8 (1,0 đi m). Gi i h ph ng trình:
2 2
Câu 9 (1,0 đi m). Cho các s th c không âm a b c , , tho mãn a2+ b2+ c2 − 3 b ≤ 0 Tìm giá tr nh
nh t c a bi u th c sau:
( ) ( 2 ) ( 2 ) 2
P
đ n www.laisac.page.tl
Trang 2S GD T HÀ T NH
THPT NGUY N TRUNG THIÊN
T TOÁN
ÁP ÁN THI TH KÌ THI THPT QU C GIA N M 2015
Môn TOÁN (L n 2)
áp án g m 04 trang
1
(2,0đ) a) (1 đi m) • T p xác đ nh: D = ℝ
• S bi n thiên:
Chi u bi n thiên: Ta có: y ' 3 = x2 − 12 x + 9 ; y = ⇔ ' 0 x = 1 ho c x = 3 . 0.25 Hàm s đ ng bi n trên các kho ng ( −∞ ;1 ) và ( 3;+∞ ) , ngh ch bi n trên kho ng ( ) 1;3 .
C c tr : Hàm đ t c c đ i t i x = 1 , y = CD 3 . Hàm đ t c c ti u t i x = 3 , y = − CT 1 .
Gi i h n: lim
→−∞ = −∞, lim
→+∞ = +∞.
0.25
B ng bi n thiên:
'
y
−∞
3
1
−
+∞
`
0.25
• th : th (C) c a hàm s đi qua đi m A ( ) 4;3 và c t tr c tung t i đi m B − ( 0; 1 ) .
0.25
b) (1 đi m)
Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ph ng trình: x3− 6 x2 + 9 x − = 1 2 m − 1 (1) 0.25
S nghi m c a ph ng trình (1) b ng s giao đi m c a đ ng th ng y = 2 m − 1 v i đ th (C) 0.25
D a vào đ th , đ ph ng trình có nghi m duy nh t thì : 2 m − > 1 3 ho c 2 m − < − 1 1 . 0.25 Hay m > 2 ho c m < 0 . V yph ng trình có nghi m duy nh t khi m > 2 ho c m < 0 . 0.25
2
(1,0đ) a. sin 3x+ 3cos3x 2sin− x = 0 1sin 3 3 cos3x sin
3
⇔ + =
Suy ra ph ng trình có các nghi m:
6
x = − + π k π ;
6 2
x = π + k π (v i k ∈ℤ). 0.25
b. Ph ng trình t ng đ ng: 3 3. 1 4 0
3
x
x
+ − = t t = 3 ,(x t > 0) ph ng trình tr thành:
0.25
Trang 31, 3x 1 0
t = ⇒ = ⇔ = x t = ⇒ 3, 3x = ⇔ = 3 x 1 .V y ph ng trình có 2 nghi m x = 0; x = 1 . 0.25
3
(1,0đ) 1( ) ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 2
Tính 1 ( ) 1 ( ) ( 2 ) 1
Tính 1 ( ) 2
2
0
1 x
2
1
2
x
x
e
= −
= −
⇒
2
0
0
0.25
V y 1 2 1 2 3 2 1
4
(1,0đ) a. G i z a bi = + , ( , a b∈ℝ ) . T gi thi t ta có: ( a bi + )( 1 2 − i ) + − a bi = 10 4 − i 0.25
( )
2 a b 2 ai 10 4 i
3
2
b
a
+ = =
=
=
. V y ph n th c là 2, ph n o là 3. 0.25
b. Tìm n tho mãn: 2 C C1n − n 2 + = n 0 (*) . i u ki n: n ≥ 2, n ∈ℤ .
−
0.25
Ta có:
7 7
7
0
2 k.( 2) k k
k
x
−
=
∑ Suy ra s h ng ch a x 5 ng v i 21 4 − k = ⇔ = 5 k 4 .
V y s h ng ch a x 5 là 4 ( ) 4 5 5
5 7 2 560
0.25
5
(1,0đ) Vì BC SA ⊥ và BC AB ⊥ nên BC SB ⊥
V y góc gi a mp( SBC ) và mp( ABC ) là
SBA = Ta có: AB = AC2− BC2 = a .
Di n tích D ABC là 1 . 3 2
0.25
0 .tan 60 3
SA AB = = a Th tích kh i chóp
.
K MN song song AC c t AB t i N, ⇒ AC SMN P ( ) . V y d SM AC ( , ) = d A SMN ( , ( ) ) .
G i I là hình chi u c a đi m A lên MN, H là hình chi u c a A lên SI , ⇒ MI ⊥ ( SAI ) ,
⇒ ⊥ .M t khác AH SI ⊥ nên AH ⊥ ( SMI ) . V y d A SMN ( ,( )) = AH .
0.25
AIN
D đ ng d ng v i D MBN , 2
10
AI
MN
⇒ = = . Xét D SAI vuông t i A và có AH là
17
AI SA a
AH
SI
17
a
d SM AC =
0.25
6 G i n a b r ( ) ; là vect pháp tuy n c a đ ng th ng AB. Vì AB đi qua đi m M ( ) 2;4 nên ph ng 0.25
Trang 4(1,0đ) trình t ng quát c a AB là: ax by + − 2 a − 4 b = 0 . ng BC đi qua P ( ) 2;2 và vuông góc v i
AB nên có ph ng trình BC là : − + bx ay − 2 a + 2 b = 0 .
ABCD là hình vuông nên d N AB ( , ) ( = d Q BC , ) hay
2 a 4 b 2 a 4 b 3 b 7 a 2 a 2 b
=
9 9
9 7
= −
⇔ =
0.25
TH1: Ch n a = ⇒ = − 1, b 1 .
Ph ng trình AB: x y − + = 2 0 ,ph ng trình BC:
4 0
x y + − =
ng CD đi qua N − ( 2; 4 ) và song song v i AB nên
ph ng trình CD là: x y − − = 6 0 .
ng AD đi qua Q − ( 3; 7 ) và song song v i BC ⇒AD
có ph ng trình: x y + + = 4 0 .
0.25
TH2: Ch n a = ⇒ = 7 b 9 .
Ph ng trình AB là: 7 x + 9 y − 50 0 = , ph ng trình BC:
9 x 7 y 4 0
− + + =
T đó ph ng trình CD là: 7 x + 9 y + 22 0 = , ph ng
trình AD là: − 9 x + 7 y + 76 0 =
0.25
7
(1,0đ) M t c u ( ) S có tâm I ( 1;1; 2 − ) và bán kính R = 3 . 0.25
Kho ng cách t I đ n m t ph ng ( ) P là: ( ( ) ) ( )
( ) 2
2 2
6
d I P = + − − − = − =
Vì d I P ( , ( ) ) < R nên m t ph ng ( ) P c t m t c u ( ) S .
0.25
G i ( ) C là đ ng tròn giao tuy n c a mp( ) P và mc( ) S thì H là hình chi u vuông góc c a I
lên mp( ) P . Ta có ph ng trình đ ng th ng IH là:
1
1 2
2
= +
= +
= − −
,⇒ H ( 1 ;1 2 ; 2 + t + t − − t ) . 0.25
M t khác H ∈ ( ) P nên ta có: 1 + + t 2 1 2 ( + t ) ( − − − − 2 t ) 11 0 = hay t = 1 . V y H ( 2;3; 3 − ) . 0.25
8
(1,0đ) Ta có:− 7 x3+ 12 x y2 − 6 xy2+ y3 − 2 x + 2 y = 0 ( ) 2 ( ) ( ) 2
y x x x y x y x
⇔ − − − + − + = ( ) 2 0.25
Vì 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 2 3 2 2 0, ( , )
2 4
x
x − x y − x + y − x + = y − x − + x + > ∀ x y
( ) 2 ⇔ − = x y 0 hay x y =
0.25
⇒ H t ng đ ng: 2 2
y x
=
y x
=
⇔
− + =
y x
x
x
=
⇔ =
=
0.25
V y h có 2 nghi m ( ) ( ) x y = ; 2;2 ho c ( ) ( ) x y = ; 3;3 . 0.25
9
(1,0đ) Ta th y: a2+ b c2 + 2 − 2 a − 4 b − 2 c + = 6 ( a − 1 ) ( 2+ b − 2 ) ( 2+ c − 1 ) 2 ≥ 0 , theo gi thi t thì
2 2 2 3
a + b + c ≤ b . Suy ra 3 b − 2 a − 4 b − 2 c + ≥ 6 0 hay 2 a b + + 2 10 16 c + ≤ 0.25
Trang 5V i hai s x y > , 0 thì
( ) 2
2 2
x + y ≥ x y + . Áp d ng nh n xét trên ta có:
( ) ( 2 ) 2 2
2
a + + b + ≥ a + + b
;
( )
3
c
+
2
P
. Theo gi thi t và ch ng minh trên thì 0 2 < a b + + 2 10 16 c + ≤ , ⇒ P ≥ 1 .
0.25 Khi a=1,b=2,c = thì 1 P = 1 . V y P = min 1 0.25
đ n www.laisac.page.tl