Toán học Chủ đề 9: Một số ứng dụng của số phức30749

M C L C

CH Đ Ộ T S ộG ỏ ộG C A S PH C 3

Bài toán S d ng s ph c vào gi i h ph ng trình 3

Bài toán ng d ng s ph c vào ch ng minh các công th c đ ng th c l ng giác 10

Bài toán ng d ng vào ch ng minh b t đ ng th c 20

Bài toán ng d ng gi i toán khai tri n hay tính t ng nh th c ộiut n 23

Bài toán ng d ng gi i toán đa th c và phép chia đa th c 27

CH Đ Ộ T S ộG ỏ ộG C A S PH C

Bài toán 1 S d ng s ph c vào gi i h ph ng trình

Xét h ph ng trình f(x; y) g(x; y) (1)

h(x; y) k(x; y) (2)



L y nhân i sau đó c ng tr v theo v ta đ c f(x;y) h(x;y).i g(x;y) k(x;y).i (*)  

Đ t z x yi  bi u di n thông qua các đ i l ng z,z,|z|,

I Các ví d đi n hình th ng g p

Ví d Gi i h ph ng trình sau 3 2

2x 6xy 5

6x y 2y 5 3





Gi i

L y ph ng trình th nh t c ng v i ph ng trình th hai nhân i ta đ c

2 2

 

z x yi

   là m t căn b c ba c a s ph c 5 1 3i

2 2



Ta có:

z 5 cos i sin , z 5 cos i sin , z 5 cos i sin

V y v i z z ,z z ,z z 0  1  2 ta đ c nghi m c a ph ng trình là

x 5 cos x 5 cos x 5 cos

y 5 sin y 5 sin y 5 sin

Ví d Gi i h ph ng trình sau 3 2 2 2

3 2

x 3xy 3x 3y 3x 0

y 3x y 6xy 3y 1 0





Gi i

H đã cho t ng đ ng v i    

 

x 1 3y x 1 1

3 x 1 y y 1







L y ph ng trình th nh t c ng v i ph ng trình th nhân i ta đ c

x 1 3y x 1 i 3 x 1 y y    1 i

x 1 iy 1 i z x 1 iy

         là m t căn b c c a 1 i

Ta có:

1 i 2 cos i sin

  nên 1 i có ba căn b c ba là

6 6 6

z 2 cos i sin , z 2 cos i sin ,z 2 cos i sin

V y v i z z ,z z ,z z 0  1  2 ta đ c nghi m c a ph ng trình là

Ví d Gi i h ph ng trình 2 2

3x y

x y

x 3y

x y







 



Gi i Cách 1. L y nhân i sau đó c ng v i ta đ c

Đ t z x yi;x,y   Lúc đó

2

z 1 i z

|z|

x 2

y 1

x yi 2 i

x yi 1 i x 1



 

 

    





V y nghi m c a h ph ng trình là:      x,y  2;1 , x,y  1; 1 

Cách 2 Ta th y x 0,y 0  không là nghi m c a h ph ng trình

 Nhân v i x nhân v i y ta đ c

2 2

2 2

3x xy

x y

xy 3y

x y













tr v theo v ta đ c x2y2 3 3x (*)

 Nhân v i y nhân v i x ta đ c

2

2

3xy y

x y

x 3xy

x y













c ng v theo v ta đ c 2xy 1 3y (*) 

Ta đ c h x2 y2 3 3x

2xy 1 3y





 

Đáp s       x,y  2;1 , x,y  1; 1 

Ví d Gi i h ph ng trình 3 2 2 2

x 3xy x 1 x 2xy y (1)

y 3x y y 1 y 2xy x (2)





Gi i

L y nhân i sau đó c ng v i ta đ c

x 3xy x 1 y 3x y y 1 i x 2xy y y 2xy x i

x 3x(yi) 3x (yi) (yi) x yi 1 i x 2xyi y 2xy x i y i

x yi x yi i 1 x yi x yi i (*)

Đ t z x yi; x,y   Lúc đó ph ng trình tr thành

z 1

z 1 i

 



  



      

V y nghi m c a h ph ng trình là       x; y  1;0 ; x; y  1;0 ; x; y     1;1

Ví d 5 Gi i h ph ng trình v i nghi m v i x,y :

12

3x y 12

3x y





Gi i

Đi u ki n

x 0

y 0

y 3x

 

 



  



Đ t u 3x ,v y u,v 0  

H đã cho có d ng 2 2

2 2

12

12





Đ t z u iv  Ta có

1 u vi







T h đã cho ta có

2

z

z 2 2 3iz 12 0 ,(*)





' 6 6 3i 3 3 i

     suy ra các nghi m

z 3 3  3 3 i,z  3 3  3 3 i

Vì u,v 0 nên ta có: u 3 3,v  3 3 suy ra nghi m c a h là

 x; y 4 2 3;12 6 3   

Ví d Gi i h ph ng trình trên t p s ph c:

x x y x z 3

y y x y z 3

z z x z y 3





Đ thi h c sinh gi i Romania năm

Gi i

Xét h ph ng trình

x x y x z 3, 1

y y x y z 3, 2

z z x z y 3, 3





Rõ ràng x,y,z 0 và x y z đôi m t khác nhau

T và ta có x x y x z     y y x y z   x x z   y y z  

Hay x2y2xz yz.

T ng t h đã cho tr thành

2 2

2 2

2 2

x y xz yz

y z yx zx

z x zy xy

   





(4)

C ng v v i v ta đ c x2y2z2 xy yz zx. 

K t h p v i ta có x2yz,y2 zx,z2 xy.Suy ra x2 y2 z2xyz

Đ t a xyz thì t x2 y2z2xyz a và x y z đôi m t khác nhau nên

2

x a ,y  a ,z  a v i  3 1,1     2 0

Mà x x y x z     nên 3 a 1    1   2 3

Ta có 1   1          nên a=1 2 1 2 3 3

V y các s ph c x, y,z c n tìm là các hoán v c a (1, ,  2)

II Bài t p rèn luy n

Bài t p 1 Gi i h ph ng trình v i nghi m là s th c 3 2





H ng d n gi i

Đây là h đ ng c p b c ba tuy nhiên n u gi i b ng ph ng pháp thông th ng ta s đi đ n gi i

ph ng trình b c ba 3t33t23 3t 1 0 

Ph ng trình này không có nghi m đ c bi t

Xét s ph c z x iy  Vì z3 x33xy2i 3x y y 2  3 nên t h đã cho ta có

z 1 3i 2 cos i sin

  t ng t cách làm ch ng ta tìm đ c giá tr c a z là:

3 2 2

2 cos i sin

2 cos i sin

2 cos i sin

T đó suy h đã cho có nghi m là

x 2 cos x 2 cos x 2 cos

y 2 cos y 2 sin y 2 sin

Bài t p Gi i h ph ng trình trong t p s th c

1

x y y x

4









H ng d n gi i

Xét s ph c z x iy. 

Vì z4  6x y2 2y44i x y y x 3  3  nên t h đã cho suy ra

4

z 3 i 2 cos i sin

Các s ph c th a mãn

2 cos i sin , 2 cos i sin

2 cos i sin , 2 cos i sin

V y các nghi m c n tìm c a h là

Bài t p Gi i h ph ng trình v i nghi m v i x,y R : 2 2

16x 11y

x y 11x 16y

x y









L i gi i

Đi u ki n 2 2

x y  Đ t z x iy0   Ta có:

x yi 1







Vì hai s ph c b ng nhau khi và ch khi ph n th c b ng nhau và ph n o b ng nhau nên h đã cho

t ng đ ng v i

 

2

16x 11y 11x 16y

16 11i

z



Ph ng trình 2  

z  7 i z 16 11i 0    có hai nghi m z 2 3i,z 5 2i    nên h đã cho có các nghi m

  x; y  2; 3 ho c    x; y  5; 2

Chú ý: Mu n gi i đ c các h ph ng trình b ng ph ng pháp s d ng s ph c c n nh m t công

th c c b n c a s ph c đăc bi t là v i m i s ph c z x iy  thì ta có x2y2là bình ph ng mođun

và 1 z x iy2 2

z zz x y





Bài t p Gi i h ph ng trình v i nghi m v i x,y :

3

5x y 3

5x y





H ng d n gi i

T h suy ra x 0, y 0. 

Bài h này không có ngay dàng gi ng ví d trên tuy nhiên v i m c đích chuy n m u s v d ng nình

ph ng mođun c a s ph c ch c n đ t u 5x ,v y v i u,v 0.

H đã cho có d ng 2 2

2 2

u 1

2

3



    



Đ t z u iv  Ta có:

2 2

1 u iv







H đã cho t ng đ ng v i

2

2

2

2z 3 2 2i z 6 0,(*)



' 34 12 2i 2 6i

      suy ra các nghi m là z 2 2i,z 2 2i

2



Vì u,v 0 nên z 2 2i

2



 do đó u 2,v 1 x 1 , y 1

V y nghi m c n tìm là   1

x; y ;1

10

  

Bài t p Gi i h ph ng trình

2

x y 4x 3xy 2x 4y 0 2x y 3x y 2xy 3y 2x 1 1 2y 4y





H ng d n gi i

H ph ng trình đã cho t ng đ ng v i





Nh n th y x y 0  là m t nghi m c a h ph ng trình

N u x2y2  thì h đã cho vi t thành0

x 2y

x y 2x y

x y









Suy ra:

Đ t

x iy 1 y ix i

  ta có ph ng trình

2

2 4i

z z

z 1

z 1 z 2z 4i 2 0 z 3 i

z 1 i

 



   



V i z 1 ta đ c nghi m c a h là x 0

y 0

 

 



V i z 3 i  ta đ c nghi m c a h là x 3

 

  

V i z   ta đ c nghi m c a h là1 i x 1

y 1

  

 

Bài t p Gi i h ph ng trình

1

x y 1

x y





Đ thi h c sinh gi i qu c gia năm

H ng d n gi i

T h suy ra x 0,y 0. 

Đ t u x ,v y , u,v 0   

H đã chho có d ng 2 2

u 1

3

v 1

7







Đ t z u iv. 

Ta có: 1 u iv2 2







H đã cho t ng đ ng v i

2 2

2

z

2 4 2





     

Gi i Vì

       

Ta có nghi m u,v và do đó nghi m c a h là

2 2

     

     

Bài toán 2: ng d ng s ph c vào ch ng minh các công th c đ ng th c l ng giác

Ph ng pháp

Cho d ng l ng giác s ph c z r cos   isin ; z1r cos1  1 isin ;1 z r cos 2  2 isin 2

Ta có các công th c sau

z r

                   

Công th c Moa-vr : zn rncos(n ) isin(n )   

N u z1a1b i; z1 2 a2b i;2 v i a , a , b , b 1 2 1 2 Lúc đó 1 2

1 2

1 2

a a

z z

b b

 





I Các ví d đi n hình th ng găp

Ví d Ch ng minh r ng

sin 3 3sin 4sin ; cos3  3cos 4cos 

Gi i

Đ t z cos  isin Ta có:

z cos i sin cos 3cos i.sin 3cos i sin i sin

cos 3i 1 sin sin 3cos 1 cos i.sin

4cos 3cos i 3sin 4sin (1)

M t khác z3 cos3 isin 3 (2)

T và ta đ c sin 3 3sin 4sin3; cos3  3cos 4cos3

ộh n xét Ta có bài toán t ng quát sau Bi u di n cosnx; sinnx theo các l)y th a c a cosx; sinx v i n là

s nguyên d ng b t k

Áp d ng công th c Moivre ta có  n

cos x isin x cos nx isin nx

M t khác theo công th c khai tri n nh th c Newton

cos x i sin x C cos x iC cos xsin x i C cos xsin x

i C cos xsin x i C cos xsin x i C sin x

T đó suy ra

cos nx C cos x C cos xsin x C cos xsin x M

sin nx C cos xsin x C cos xsin x N

Trong đó

2m 1

1 sin x, n 2m

1 C cos xsin x, n 2m 1









2m

1 C cos xsin x, n 2m

1 sin x, n 2m 1









C th : V i n 4 ta có:

cos 4x C cos x C cos xsin x C sin x 8cos x 8cos x 1

sin 4x C cos xsin x C cos xsin x 4cos xsin x 4cos xsin x

Ví d Ch ng minh r ng

a) cos cos3 cos5 1

   ; b) sin sin3 sin5 1cot

Gi i

Xét z cos i sin

M t khác

7

3 5

2

2

z z z

1 z

1 cos i sin 1 1

1 cos sin

  



    

T và suy ra:

cos cos cos

   và sin sin3 sin5 1cot

Ví d Cho sina sin b 2,cosa cos b 6

    Tính sin a b   

Gi i

Đ t z1cosa isina,z 2 cos b isin b Khi đó

1 2

Mà z z1 1 z12 1,z z2 2  z2 2 nên 1 1 2

z z

1 1

z z



suy ra:

1 2

cos i sin cos i sin

z z cos i sin cos i sin

Ta l i có z z1 2 cos a b  isin a b   nên sin(a+b) sin 3

3 2



Chú ý: Ta c)ng có k t qu   1

cos a b cos

3 2



Ví d Tính t ng v i n và  a2k  k :

A cos x cos x a cos x 2a cos x na

B sin x sin x a sin x 2a sin x na

Gi i

Đ t z cosx isinx,w cosa isina.    Theo công th c nhân và c ng th c Moivre ta có

k k

k

zw cos x i sin x cosa i sin a

zw cos x i sin x cos ka i sin ka cos x ka i sin x ka

Xeùt A iB cos x i sin x cos x a i sin x a

cos x 2a i sin x 2a cos x na i sin x na

n 1

z zw zw zw z

1 w





 (Vì a 2k  nên w 1 )

V y 1 wn 1  1 cos n 1 a i sin n 1 a   

A iB z cos x i sin x



 

sin a sin a i cos a

cos x i sin x

sin sin i cos

n 1

2 sin a i cos a sin i cos cos x i sin x

sin

2

n 1

2 cos i sin cos x i sin x

sin

2

n 1

sin

2











na

i sin x 2

Xét ph n th c và ph n o c a hai v ta đ c

ộh n xét T hai lo i công th c trên xét các tr ng h p riêng

a) N u x 0 thì suy ra:



n 1

2

1 cosa cos 2a cos na cos

sin 2





n 1

2 sina sin 2a sin 3a sin na sin

sin 2



b) N u x 2a thì ta có:

 cosa cos 3a cos 5a cos 2n 1 a  sin 2 n 1 a 

2sina



sina sin 3a sin 5a sin 2n 1 a

sina



Ví d Ch ng minh các công th c

Gi i

Ta có:

   

cos 54 sin 36 cos 3.18 sin 2.18

4 cos 18 3cos18 2 sin18 cos18

4 sin 18 2 sin 18 1 0

Do đó sin18 là nghi m d0 ng c a ph ng trình 4x22x 1 0. 

sin18

4



cos 36 1 2sin 18

4



ộh n xét Áp d ng công th c 0 5 1

sin18

4



 ta tính đ c bi u th c

sin 2 sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin62 sin78 sin82

1024



Đ làm đ c bài toán này tr c h t ta ch ng minh công th c sau

 0   0  1

sina sin 60 a sin 60 a sin 3a

4

Th t v y

sin a sin 60 a sin 60 a

sin a sin 60 cosa sin a cos60 sin 60 cosa sin a cos60

sin a cosa sin a cosa sin a

sin a cos a sin a sin a 3 1 sin a sin a sin 3a

S d ng công th c  0   0  1

sina sin 60 a sin 60 a sin 3a

4

Ta có:

sin 2 sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin78 sin 82

sin 2 sin 58 sin 62 sin18 sin 42 sin78 sin 22 sin 38 sin 82

sin 6 sin 54 sin 66 sin18







Ví d Gi i ph ng trình: cos x cos 2x cos 3x 1

2

Gi i

Đ t z cosx isinx  thì

cos x ,cos 2x ,cos 3x

Ph ng trình đã cho tr thành z2 1 z4 21 z6 31 1

     

Vì z  không là nghi m nên v i z1   ta có: 1

Hay z7   1 cos isin nên z cos 2k i sin 2k

     

    v i k 0;6. Vì z  nên không nh n1 giá tr k

V y nghi m c a ph ng trình đã cho là

V y nghi m c n tìm c a h đã cho    x; y  2;1 ho c   x; y  1; 1  

Ví d Ch ng minh r ng 3 2 1

L i gi i

Đ t z cos i sin z 1,sin z z

 

            

z cos i sin i z iz z iz 1 0

         (do z 1 ),

nh ng z4 iz;iz3  nên suuy ra z z2z2i z z   1 0,(2)

T và ta có đi u ph i ch ng minh

Ví d Cho a b c là các s th c th a mãn các đi u ki n

cosa cos b cosc sina sin b sin c

m cos a b c sin a b c

Ch ng minh r ng cos a b  cos b c   cos c a  m

Đ ngh IỘO năm

Gi i

Đ t x cosa isina,y cosb isinb,z cosc isinc.     

Ta có x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc         

m.cos a b c i.m.sin a b c mxyz

xyyzzx

Vì x  y  z  nên 1 x1x,y1y,z1 z

m x.y y.z z.x m cos a b cos b c cos c a

i sin a b sin b c sin(c a) m

T đó ta có cos a b  cos b c   cos c a  m

II Bài t p rèn luy n

Bài t p Ch ng minh r ng:

a) cos cos2 cos3 1; b)sin sin2 sin3 1cot3

H ng d n gi i

Xét z cos i sin

  , ta có z7 cos isin  1 nên z là nghi m khác - c a ph ng trìnhz7  1 0

7

z   Ta có: 1 0

z  1 0 z 1 z   6z5z4z3z2   z 1 0 z z 2z31 z 3 1

+) 1 z3 1 cos3 i sin3 2sin3 sin3 i sin3

nên 1 3 1 sin3 i cos3 1 1i cot3

1 z 2sin

14



+) z z2 z3 cos cos2 cos3 i sin sin2 sin3

Do đó xét ph n th c c a đ ng th c 2 3

3

1

z z z

1 z

 ta suy ra đ c

cos cos cos

   ; sin sin2 sin3 1cot3

Bài t p Hãy bi u di n tan5x qua tanx

H ng d n gi i

cos 5x isin 5x  cos x isin x

S d ng khai tri n nh th c Niu-ton cho v ph i và tách ph n th c và ph n o ta có

cos 5x cos x 10cos xsin x 5cos xsin x

sin 5x 5cos xsin x 10cos xsin x sin x

T đó suy ra

5tan x 10 tan x tan x

1 10 tan x 5tan x



Bài t p Cho a,b,c là các s th c th a mãn sina sinb sinc 0   và

cosa cosb cosc 0.   Ch ng minh r ng

sin2a sin2b sin2c 0   và cos2a cos2b cos2c 0.  

Gi i

Đ t z1cosa isina; z 2 cos b isin b; z 3 cosc isinc , ta có:

z z z 0, z  z  z  nên 1 k 

k

1

z k 1; 2; 3

z z z  z z z 2 z z z z z z

1 2 3

2z z z z z z 0

Nên cos2a cos2b cos2c i sin2a sin2b sin2c         0

T đó ta suy ra đ u ph i ch ng minh

Bài t p 4 Gi i ph ng trình cos x cos 3x cos 5x cos7x cos9x 1

2

L i gi i

Ta có cosx  không là nghi m c a ph ng trình 1

Đ t z cosx isinx  v i x0; 2 

Ta có

1

z 1,z cos x i sin x,

2cos x z z , 2cos nx z z



V y ph ng trình đã cho tr thành

  

 N u z9  thì 1 9

z cos0 isin0 nên z cosk2 i sink2 ,k 0; 8

Vì x0; 2và z  nên 1 x k2 ,k 1; 8

9



Do đó nghi m c a ph ng trình đã cho là k2  

x 2m k 1; 8 ,m Z

9



 N u z11  thì 1 z11cos isin nên:

Vì x0; 2 và z  nên 1 x k2 ,k 0;9

11

  

Suy ra nghi m c n tìm là k2  

11

  

V y các nghi m c a ph ng trình là k2  

9



k2

11

  

Bài t p Cho a b c là các s th c th a mãn đi u ki n

cosa cos b cosc sina sin b sinc 0     

Ch ng minh r ng

a) cos3a cos3b cos3c 3cos a b c ; sin3a sin3b sin3c 3sin a b c             

cos5a cos5b cos5c sin5a sin5

Gi i

Đ t x cosa isina,y cosb isinb,z cosc isinc.     

Suy ra x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc          0

a) Ta có: x3y3z33xyzx y z x    2y2z2xy yz zx   nên l ng giác:

cosa isina  cos b isin b  cosc isinc

3 cosa i sina cos b i sin b cosc i sin c

cos 3a cos 3b cos 3c i sin 3a sin 3b sin 3c

3 cos a b c i sin(a b c)

T đó ta đ c: cos3a cos3b cos3c 3cos a b c      và  sin 3a sin 3b sin 3c 3sin a b c      

b) V i x y z 0   thì 2 x 5y5z55xyz x 2y2z2

M t khác t x y z 1   suy ra x1x,y1y,z1 z

Vì th

2

x y z 2xyz x y z x y z 2xyz x y z 0

Do đó x5y5z5  0

cosa i sina cos b i sin b cosc i sin c 0

cos 5a cos 5b cos 5c i sin 5a sin 5b sin 5c 0

V y nên cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b sin5c 0.     

Bài t p Ch ng minh r ng

cos6 sin 24 sin 48 sin12

Gi i

Xét s ph c z cos6 0isin6 ,0 có z15 cos900isin900  i

Ta có

Đ ng th c c n ch ng minh tr thành

0

z 1 z 1 z 1 z 1

Rút g n và chú z 0 ta có z16 1 iz z 14  1 0

Hay: z z 1 iz15   15       iz 0 iz 1 i2 iz 0 đúng

V y đ ng th c đ c ch ng minh

Bài t p Gi s  và  là nghi m c a ph ng trình x22x 2 0  và cot  y 1 Ch ng minh

  n n

n

sin



Gi i

Ta có x22x 2 0    x 1 i Không m t tính t ng quát l y      1 i, 1 i Theo gi thi t cot    y 1 y cot  1

n

T ng t :

n

Do đó   n n

n

1

sin

 M t khác :    2i