Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn C, D là các tiếp điểm.. Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn.. Gọi K là trung điểm của đ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KÌ THI VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi 21/7/2015
Đề có 01 trang gồm 05 câu
Câu 1 (2 điểm) :
1 Giải phương trình mx2 + x – 2 = 0
a) Khi m = 0
b) Khi m = 1
2 Giải hệ phương trình: 5
1
x y
x y
Câu 2 (2 điểm): Cho biểu thức Q = 4 3 6 2 (Với b 0 và b 1)
1
b b
1 Rút gọn Q
2 Tính giá trị của biểu thức Q khi b = 6 + 2 5
Câu 3 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – 1 và parabol
(P) : y = x2
1 Tìm n để (d) đi qua điểm B(0;2)
2 Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 4 1 2
3 0
x x
Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O, cắt đường
tròn (O) tại 2 điểm E, F Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm)
1 Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn
2 Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF Chứng minh KM là phân giác của góc CKD
3 Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R, T Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất
Câu 5 (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện:
5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z
-Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ B
Trang 2ĐÁP ÁN KÌ THI VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Câu 1:
1 a Khi m = 0 ta có x -2 = 0 => x = 2
b Khi m = 1 ta được phương trình: x2 + x – 2 = 0 => x1 = 1; x2 = -2
2 Giải hệ phương trình:
5
1
x y
x y
3 2
x x
Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;2)
Cấu 2.
a Rút gọn Q
1
b b
1
1
1
b
b
b
2 Thay b = 6 + 2 2 (Thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q đã rút gọn
5 ( 5 1)
ta được:
2
5 2
5 2 ( 5 1) 1
Vậy b = 6 + 2 thì Q = -25 5
Câu 3.
1 Thay x = 0; y = 2 vào phương trình đường thẳng (d) ta được: n = 3
2 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 – x – (n - 1) = 0 (*)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1; x2
3
4
Khi đó theo định lý Vi ét ta có: 1 2
1 2
1 ( 1)
Theo đề bài: 4 1 2
3 0
x x
1 2
1 2
1 2
4 x x x x 3 0
x x
2
4
2 0 1
2( ); 3( )
n n
Vậy n = 2 là giá trị cần tìm
Trang 3Câu 4.
d
E
F O
M
C D
R
T
K
1 HS tự chứng minh
2 Ta có K là trung điểm của EF => OK EF => 0 => K thuộc đương tròn đường kính
90
MKO
MO => 5 điểm D; M; C; K; O cùng thuộc đường tròn đường kính MO
=> DKM DOM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD)
CKM COM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Lại có DOM COM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> DKM CKM => KM là phân giác của góc CKD
3 Ta có: SMRT = 2SMOR = OC.MR = R (MC+CR) 2R. CM CR.
Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMR ta có: CM.CR = OC2 = R2 không đổi
=> SMRT 2
2R
Dấu = xảy ra CM = CR = R 2 Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính
R 2
Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 thì diện tích tam giác MRT nhỏ nhất
Câu 5
Ta có: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60
5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 – 60 = 0
= (yz)2 -5(4y2 + 3z2 – 60) = (15-y2)(20-z2)
x
Vì 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 => 4y2 60 và 3z2 60 => y2 15 và z2 20 => (15-y2) 0 và
(20-z2) 0
=> x 0
=> x= (15 2)(20 2) (Bất đẳng thức cauchy)
5
1
2 5
=> x 2 35 2 2 35 ( )2
=> x+y+z 35 ( )2 10( ) 60 ( 5)2 6
Trang 4Dấu = xảy ra khi 2 2
Vậy Giá trị lớn nhất của B là 6 đạt tại x = 1; y = 2; z = 3