Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và g[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THỌ ĐỀ THI HỌC KÌ 1
MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2021 - 2022
ĐỀ 1
Câu 1: (0.5đ ) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=4 cosx−3
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) (1đ) cos 3x 1 0
b) (0.75đ) 3 cos2x+sin 2x=2
c) (0.75đ) tanx+3cotx+ = 2 0
Câu 3: (0.75đ) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: x
x
6
3
+
Câu 4: Một tổ có 5 học sinh nữ và 4 học sinh nam Cần chọn ra 4 học sinh tham gia biểu diễn văn nghệ
Tính xác suất sao cho:
a) (0.75đ) Cả 4 học sinh được chọn là nữ
b) (0.5đ) Có ít nhất 2 học sinh nam
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm đoạn SC, N là trung
điểm của đoạn OB (O là giao điểm của BD và AC )
a) (0.75đ) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAB) và (SCD)
b) (0.75đ) Tìm giao điểm I của SD và mặt phẳng (AMN)
c) (0.5đ) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh rằng MP // (ABCD)
Câu 6a:
1) (0.75đ) Cho cấp số nhân ( )u n có u1=2, u4=54 Tìm công bội q và tính tổng S10
2) (0.75đ) Tìm cấp số cộng ( ) có năm số hạng, biết: u n u u
u13 u53
7 9
+ =
Câu 6b: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(3; –2) B(–3;2) và đường thẳng (d): 3x−4y+12 0=
1) (0.75đ) Tìm ảnh của điểm B qua phép đối xứng tâm O
2) (0.75đ) Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục (d)
ĐÁP ÁN
1
y=4 cosx−3
Ta có − 1 cosx 1 − 4 4cosx 4 − 7 4cosx− 3 1
max
y =1 khi x k= 2 ; ymin= −7 khi x= + k2
Trang 22a
cos 3
2 3
+ = +
+ = − +
2
= − +
= − +
Vậy nghiệm pt:
2
= − +
= − +
2b
3 cos2 +sin 2 =2 sin 2x 1
6
6 2
6
= +
2c
tan −3cot + = 2 0
Điều kiện: cos 0
sin 0
x x
2
4
= = +
3
Số hạng tổng quát Tk+1 =
k
x
6
12 3 −
( 0 k 6 ) = C12k 3 6−k x− +6 k k.x =C12k 3 6−k x2 6k−
Để số hạng không chứa x thì 2k – 6 = 0 k = 3 Vậy số hạng không chứa x là : T4 = C3 3
6.3 =540
4a
Chọn 4 học sinh có C4
9 cách chọn
Chọn 4 học sinh nữ có C4
5 cách chọn
Xác suất để chọn được 4 học sinh nữ là:C
C
4 5 4 9
5 126
=
Trang 34b Xác suất để có ít nhất 2 học sinh nam là: C C C C C
C
4 9
9 14
=
5a S là điểm chung (SAB) và (SCD)
Và AB//CD nên (SAB)(SCD) = St //AB
5b
(AMN) (ABCD) = AN
AN cắt CD tại E, (AMN) (SCD) = EM
EM cắt SD tại I Suy ra (AMN ) cắt SD tại I
5c MP //AC mà AC (ABCD) Suy ra MP//(ABCD)
6a
1 Ta có u4 =u q1 3 =q 3
u q S
q
10 1 10
( 1) 1
−
=
−
S10 =310− =1 59048
u u
u13 u53
7 9
+ =
u11 d
u d
2 2
= −
=
Vậy cấp số cộng cần tìm: 1 3 7 11 15; ; ; ;
2 2 2 2 2
−
6b
1 Qua phép đối tâm O điểm B biếm thành (B’) Dựa vào bt tọa độ ta có: x x
y'' y 32
= − =
= − = −
Vậy M’(3;–2)
2 Qua phép đối xứng trục d điểm A biếm thành điểm A’
Đt đi qua A và vuông góc d : 4x+3y+c=0
Do A nên C= –6
d A1( 12 66; )
25 25
= −
Suy A’ 99 182;
25 25
Trang 4ĐỀ 2
Câu 1 (3,0 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a) cos x 1
− = −
b) 3 sin 2x+cos2x= 2
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 5 cos2 x 1
3
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Tìm hệ số của x4 trong khai triển (1 +x)6
2) Một hộp đựng 20 quả cầu trong đó có 15 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ, chọn ngẫu nhiên hai quả cầu từ hộp Tính xác suất để chọn được hai quả khác màu
Câu 3 (3,0 điểm)
1) Trong mp(Oxy), cho đường tròn (C): (x−3) (2+ y−20)2 =25 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến
theo v = (2; –5)
2) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang đáy lớn AD, đáy nhỏ BC
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b) Gọi G, H lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với mặt phẳng (SAD)
Câu 4 (1,0 điểm) Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng biết u3 = − và u7 6= − 19
Câu 5(1,0 điểm) Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển
n
x 1
3
−
bằng 5 Tìm số hạng đứng giữa của khai triển
ĐÁP ÁN
Câu 1
(3điểm)
1 (2,0 điểm)
a) cos x 1
− = −
cos x cos cos2
− = − +
k Z
2
2 3
= +
= − +
0,25
0,5
Trang 5b) 3 sin 2x+cos2x= 2 3sin2x 1cos2x 2
sin2x.cos
6
+ cos2x.sin
6
= 2
2 sin 2x sin
x k
k Z
3
+ = +
k Z
7 24
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2 (1,0 điểm)
y 5 cos2 x 1
3
Ta có cos2 x 0 5 cos2 x 0
3
Vậy GTNN của hàm số là 1 đạt được khi cos x 0 x 5 k
0,25
0,5
0,25 Câu 2
(2điểm)
1 (1,0 điểm)
Số hạng tổng quát k k
k
T+1 = C x6
Số hạng chứa x4 khi và chỉ khi k = 4
0,25 0,25 0,25
Trang 6Suy ra T5 = C x64 4 = 15x4 Vậy hệ số của x4 trong khai triển là 15 0,25
2 (1,0 điểm)
Ta có : Số phần tử KGM là n( ) = C2
20=190 Gọi B là biến cố: “ Chọn được 2 quả khác màu”
n(B) = C C15 51 1
P(B) = C C
C
15 5 2 20
10.19 38
0,5
0,25
0,25 Câu 3
(3điểm)
1 (1,0 điểm)
Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính Do đó ta chỉ
cần tìm ảnh của tâm I Ta có ( C ) : (x−3) (2+ y−20)2=25 Tâm I (3;20), bán kính R = 5
Gọi I’ = T I v( ) I x y'( '; ') Ta có
x
y' 3 2 5
' 20 5 15
= + =
= = − =
Ảnh của ( C ) qua T v là đường tròn ( C’ ) có tâm I’(5;15) bán kính R’ = R =
5 nên có phương trình là: ( x – 5 )2 + ( y – 15 )2 = 25
0,5
0,25
0,25 2a (1,0 điểm)
Hình vẽ
Ta có: S(SAB) (SCD) S là điểm chung thứ nhất của hai mp
Do AB và CD không song nên cắt nhau tại I
mp Vậy SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
0,25
0,25
0,25
0,25
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD Theo giả thiết, ta có : SG SH
2 3
GH // MN
0,25 0,25
Trang 7ĐỀ 3
Câu 1: (2 điểm) Tìm tập xác định của hàm số y x
x
2 cos
1 cos
−
=
Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình: cos5x− 3 sin 5x−sin3x= 3 cos3x
Câu 3: (1 điểm) Có 5 tem thư khác nhau và 5 bì thư khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào bì thư Câu 4: (1 điểm) Tìm toạ độ ảnh M của điểm M(4; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v (2;1)=
Câu 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDC)
b) Gọi M, N là trung điểm của SB và SD Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mặt phẳng (AMN)
Câu 6: (1 điểm) Một bàn dài có 6 ghế được đánh số từ 1 đến 6 Người ta muốn xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ
ngồi vào bàn với điều kiện ghế số 1 và ghế số 2 phải là 2 bạn nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy
Câu 7: (1 điểm) Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô, trong đó có 6 xe tốt Họ điều động một cách nhẫu nhiên
3 xe đi công tác Tính xác suất sao cho 3 xe điều động đi có ít nhất một xe tốt
Câu 8: (1 điểm) Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 6, số hạng cuối là 42 Tìm tổng của tất cả
các số hạng của cấp số cộng đó
ĐÁP ÁN
A Phần bắt buộc: ( 7 điểm)
1(2đ) Hàm số y x
x
2 cos
1 cos
−
= + xác định khi cosx – 1
mà MN // AD ( đường trung bình của hình thang) GH // AD
và AD(SAD) GH // (SAD)
0,25 0,25 Câu 4a
(1điểm)
Gọi số hạng đầu tiên là u1 và công sai là d Theo đề bài ta có hệ phương trình: u d
u11 d
+ = −
+ = −
d
u1 14
= −
=
0,5
0,5 Câu 5a
(1điểm) Hệ số của số hạng thứ 3 là : C n2 1 2 n n( 1) n n( 1) 5
Vậy số hạng đứng giữa của khai triển là: T C x x
5
= − = −
0,25
0,25
0,5
Trang 8x k2 , k
Vậy tập xác định của hàm số: D = \ (2k+1) , k
2(1đ)
cos5 − 3 sin 5 −sin3 = 3 cos3
cos5x – 3sin5x = 3cos3x + sin3x
1
2cos5x –
3
2 sin5x =
3
2 cos3x +
1
2sin3x
cos
3
cos5x – sin
3
sin5x = cos
6
cos3x + sin
6
sin3x
cos ( 5x +
3
) = cos ( 3x –
6
)
+ = − + +
3 6
3 6
= − − +
= − + +
2
6
= − +
= − +
k
48 4
= − +
= − +
3(1đ) Cố định 5 bì thư Mỗi hoán vị của 5 tem thư là một cách dán
Vậy có: P5 = 5! = 120 cách dán tem vào bì thư
4(1đ)
Ta có v
y' y 2
( ) '( '; ')
= +
= =x y' 4' 6 M’( 6; 4)
5a(1đ)
a) mp(SAB) và mp(SCD) có chung nhau điểm S lại chứa AB//CD nên chúng cắt nhau theo giao tuyến Sx // AB // CD
5b(1đ) b) AM (SAB) mà AM không song song với Sx nên AM cắt Sx tại I
NI (SCD) NI cắt SC tại J
Trang 9Ta có J SC (1)
J NI mà NI (AMN) J (AMN) (2)
Từ (1) và (2) J = SC (AMN) Vậy giao điểm của SC với mp(AMN) là điểm J
B Phần tự chọn: ( 3 điểm)
6(1đ)
Xếp 2 trong 3 bạn nữ vào 2 ghế đầu là một chỉnh hợp chập 2 của 3 Vậy có A32 =3.2 6= cách xếp
Còn lại 4 bạn được xếp vào 4 ghế còn lại mỗi cách xếp là một hoán vị của 4 phần
tử còn lại Vậy có P4 = 4! = 24 cách xếp
Theo qui tắc nhân có: A P2
3 4 = 6.24 144= cách xếp
7(1đ)
Ta có: n( ) = C3
10 = 120
Gọi A là biến cố 3 xe điều động đi công tác có ít nhất một xe tốt
A là biến cố 3 xe điều động đi công tác không có xe nào tốt
n(A ) = C43 = 4
n(A) = n( ) – n( A ) = 120 – 4 = 116
P(A) = n A
n
( ) 116 29 ( ) = 120 = 30
8(1đ) Ta có: ( n)
n
2
+
312 2
+
ĐỀ 4
Câu I: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
1) 2cosx− = 1 0
2) 3 sinx−cosx= 3
3) 3sin2x+4sin cosx x−3cos2x=2
Câu II: (1,5 điểm)
1) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau
2) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ một tổ gồm 6 nam và 5 nữ Tính xác suất sao cho có đúng 2 học sinh nam
Câu III: (1điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – y + 3 = 0 và điểm I(1; 2) Tìm
phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I
Câu IV: (2điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (cạnh đáy lớn AD)
1) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Trang 102) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD và AB Chứng minh rằng: MN song song với mặt phẳng (SBC) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Câu V: (1điểm) Giải phương trình: sin10x+cos10x= 2(cos4x−sin ) 2(sin4x + 12x+cos12x)
Câu VI: (2điểm)
1) Cho dãy số (un) với u n n
n
2
+
= + Chứng minh rằng dãy số (un) tăng và bị chặn
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=2sin 22 x+2 3 sin2 cos2x x−2
ĐÁP ÁN
Câu I
1)
(0,5 đ) 2cosx 1 0 cosx 1 x k2 (k Z)
2)
(1 đ) PT đã cho 3sinx 1cosx 3
3)
(1 đ)
cosx = 0 không thỏa pt , chia 2 vế của pt cho cos2x ta được pt:
arctan( 5)
Câu II
1)
(0,75 đ)
Gọi x abc= là số cần tìm
* Số cách chọn c: 3 cách
* Số cách chọn a, b : A2
4
* Vậy có :3 A2
4= 36 ( số)
2)
(0,75 đ)
* n( ) =C115 * n A( )=C C62 53
*P A n A
n
( ) 25 ( )
( ) 77
Câu III
(1 đ) * (d) đi qua M(0; 3), N(–3; 0)
* M1, N1 lần lượt là ảnh của M, N qua phép đối xứng tâm I suy ra M1(2; 1), N1(5; 4)
* (d1): x – y – 1= 0
Trang 11Hoặc dùng biểu thức tọa độ suy ra PT (d1), hoặc chỉ cần một điểm M1 rồi viết PT (d1)
đi qua M1 và song song với (d)
Câu IV
1)
0,75 đ)
* Vẽ hình
* S là điểm chung thứ nhất của (SAC), (SBD)
* Gọi O là giao điểm AC và BD suy ra O là điểm chung thứ hai của (SAC), (SBD)
2)
(1,25 đ) *
MN/ /(SBC) / /( )
* MN//(ABCD)
* (MNP) ( ABCD)=PQ MN suy ra thiết diện là tứ giác MNQP
Câu V
* PTsin10x(1 2sin− 2x)+cos10x(1 2cos− 2x)= 2 cos( 2x−sin2x)
(PT thứ 2 vô nghiệm vì VT 1 < 2=VP )
Câu VI
1)
(1 đ) *u n u n
( 2)( 3)
*u n+1− u n 0 , n N*u n+1u n , n N* Suy ra (un) tăng
n
*
3
2
+ Suy ra (un) bị chặn
2)
(1 đ) *y= 3 sin 4x − cos4x −1 *y 2sin 4x 1, 3 y 1, x R
6
* maxy 1khi x k (k Z) ,miny 3 khi x k (k Z)
ĐỀ 5
Bài 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau :
a) cos 4x 3sin 2x 2− − = b) 0 2 2
2 3 sin 3x.cos 3x sin 3x+ =2sin 5x+cos 3x
Bài 2 (2,0 điểm)
Trang 12a) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
10 2
3
3
x
b) Một hộp đựng 6 tấm thẻ màu đỏ, 4 tấm thẻ màu xanh và 9 tấm thẻ màu vàng ( các tấm
thẻ chỉ khác nhau về màu sắc) Rút ngẫu nhiên 3 tấm thẻ Tính xác suất để rút được 3 tấm
thẻ cùng màu
Bài 3.(2,0 điểm)
a) Cho cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu u =1 2 và số hạng cuối u =18 53.Tìm công sai d
và tính tổng tất cả các số hạng của cấp số cộng đó
b) Tìm hai số thực x và y Biết rằng 3 số 4x-2y, 3x+y, x+6y theo thứ tự đó lập thành
một cấp số cộng và 3 số (y +2)2, xy-1, (x +1)2theo thứ tự đó lập thành một cấp số
nhân
Bài 4 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
x2+y2−2x−4y− =4 0 Viết phương trình (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị
tự tâm O tỉ số k= -2
Bài 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với AB đáy lớn Gọi I, J
lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) Chứng minh: IJ//(ABCD)
b) Gọi K là trung điểm BC Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IJK)
Bài 6 (1,0 điểm) Một nhóm sinh viên tình nguyện có 8 nam và 5 nữ Có bao nhiêu cách phân công nhóm
sinh viên này về 7 tỉnh khác nhau sao cho mỗi tỉnh có không quá hai nữ và có ít nhất một nam ?
ĐÁP ÁN
Bài 1
sin 2x 1
sin 2x
2
= −
4
12 7 12
= − +
= − +
b) PT 3 sin 6x cos 6x− =2sin 5x 3sin 6x 1cos 6x sin 5x
sin 6x sin 5x
6
2 6
66 11
k x
= +
Bài 2
a) Các số hạng trong khai triển nhị thức đã cho có dạng:
Trang 132 10 *
3
k
x
− −
10 20 2
( 3)
k
k
C
x
− − −
=C10k210−kx20 5− k.( 3)− k
Số hạng không chứa x thì 20 5− k= = 0 k 4
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 4 6 4
102 ( 3) 1088640
b) Không gian mẫu có số phần tử là: 3
19
( )
n =C
Gọi A là biến cố “ Rút được 3 tấm thẻ cùng màu”
+ Rút được 3 tấm thẻ đỏ: 3
6
C
+ Rút được 3 tấm thẻ xanh: 3
4
C
+ Rút được 3 tấm thẻ vàng: 3
9
C
3 3 3
6 4 9
( )
Xác suất của biến cố A là:
3 3 3
6 4 9 3 19
36 ( )
323
P A
C
Bài 3
a) + u18 = +u1 17d 53 2 17= + d = d 3
+ ( 1 18).18
2
2
+
b) 4x-2y, 3x+y, x+6y lập thành một cấp số cộng nên:
2(3x+y)=(4x-2y)+(x+6y) x=2y (1)
2
(y +2) , xy-1, (x +1)2 lập thành một cấp số nhân nên:
(xy−1) =(y+2) (x+1) − − −( 2x y 3)(2xy+2x+ + =y 1) 0 (2)
Suy ra có 3 cặp (x;y) là 6 3 ( ) 1 1
( ; ); 2; 1 ; ;
− − − − − −
Bài 4
Đường tròn (C ) có tâm I(1;2), bán kính R=3
Gọi I’ (x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2
2.2 4
x
y
= − = −
= − = − = − − − Đường tròn (C’) có tâm I’(-2;-4), bán kính 'R = −2 3= 6
Phương trình (C’): 2 2
(x+2) +(y+4) =36
Trang 14Bài 5
a) Hai mp(SAB), (SCD) có S chung; AB//CD nên giao tuyến cúa chúng là đường thẳng qua S và // AB
Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AB và AD
2 ( ) IJ / /EF 3
SI SJ
SF =SE = mà EF(ABCD)IJ / /(ABCD)
b)Xét 2 mp(IJK) và (ABCD) có K chung, IJ//EF nên giao tuyến của chúng là đt qua K song song với EF
cắt CD tại M và AD tại H HJ cắt SD tại N và SA tại P PI cắt SB tại Q Thiết diện là ngũ giác MNPQK
Bài 6
Vì mỗi tỉnh có ít nhất một nam nên có đúng một tỉnh có đúng 2 nam còn lại mỗi tỉnh một nam
Số cách phân công nam là C82.7! cách
Cách phân công nữ:
Th1: Không có tỉnh nào có hai nữ có: 5
7
A cách Th2: Có đúng một tỉnh có hai nữ: 2 4
5 7
C A cách Th3: Có đúng 2 tỉnh mà mỗi tỉnh có 2 nữ: 2 2 3
5.C 3 7
C A cách
Có (A75+C A52 74+C C A52 32 73)= 17220 cách
Vậy có 17220.C82.7! cách phân công nhóm sinh viên tình nguyện trên
Q P
N
H
M
K J
I
F
E
B A
S