Đề thi chọn HSG toán lớp 9 huyện Tam Dương vòng 1 năm học: 20112012 môn: Toán30232

Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi này gồm 01 trang Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.. Chứng minh biểu thức: là hằng số.. Đường tròn tâm O’ bàng tiếp trong góc A của

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG

PHÒNG GD&ĐT KÌ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 VÒNG 1 Năm học: 2011-2012

Môn: Toán.

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi này gồm 01 trang Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 1: (2,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức: 3 3

3( ) 2011

Ax y  xy  Biết rằng: 3 3 ;

2 2 3 2 2

3  



x y31712 2 31712 2 b) Rút gọn biểu thức:

+ +

2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2012 2011 2011 2012

Câu 2: (2 điểm)

a) Giải phương trình: 2

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 2 4

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thoả mãn: 1 1 1 1

a  b c abc

Chứng minh rằng: 2 2 2 là một số hữu tỉ

P a b c

b) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a  b c 2 abc 1 Chứng minh biểu thức:

là hằng số

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2011

B a b  c b c a  c a  b abc

Câu 4: (2,5 điểm) Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC,

CA, AB tại các điểm D, E, F Đường tròn tâm O’ bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC tại P và phần kéo dài của các cạnh AB, AC tương ứng tại các điểm M, N a) Chứng minh rằng: và BP = CD

2

BC CA AB

b) Trên đường thẳng MN ta lấy các điểm I và K sao cho CK // AB, BI // AC Chứng minh rằng: BICE là hình bình hành

c) Gọi (S) là đường tròn đi qua 3 điểm I, K, P Chứng minh rằng: (S) tiếp xúc với các đường thẳng BC, BI, CK

Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm và abc = 1 Chứng minh rằng:

2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh SBD:

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG

PHềNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 9 Kè THI CHỌN HSG LỚP 9 VềNG 1

Năm học: 2011-2012

Cõu 1: (2,5 điểm)

a)

(1,5đ)

Ta cú

3

3

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2

6 3x

 

3

3

17 12 2 17 12 2

17 12 2 17 12 2 3 17 12 2 17 12 2 17 12 2 17 12 2

34 3

y

y

 

Khi đú A = 6 + 3x + 34 + 3y – 3(x + y) + 2011 = 2051

0,5

0,5

0,5

b)

(1đ)

b) Ta cú:



Do đú:

+

1 1 2012

S

S

 

0,5

0,25

0,25

Cõu 2: (2 điểm)

a)(1đ) Điều kiện: x   3

Phương trình tương đương với

 2  2

2

 

 







Ta có    2 2 (thoả mãn)

2 0

 



  



x

0,25

0,25

0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

(thoả mãn)

7 6 0

3 3

 



  

  



x

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1

0,25

b)(1đ) - Nếu x = 0 thỡ y = 1, -1

- Nếu x ≠ 0, ta cú

Hay 2 2 4 2 2 2 2 2 (loại)

(x  1)  x  3x   1 ( y )  (x  2)

Vậy PT cú 2 nghiệm nguyờn (x, y) là (0; 1), (0; -1)

0,25

0,5

0,25

Cõu 3: (2 điểm)

a)(1đ) Từ đề bài suy ra ab + bc + ca = 1

Ta cú 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c)

1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(a + b)

1 + c2 = ab + bc + ca + c2 = (c + a)(b + c)

P  a  b b  c c  a  a  b b  c c  a

Vỡ a, b, c là số hữu tỉ nờn P là số hữu tỉ

0,25

0,25

0,25 0,25 b)(1đ) Theo bài ra ta cú a b c  2 abc  1 a 2 abc  1 b a

Do đú (1 )(1 )a b c  a(1  b c bc)

 a a( 2 abcbc)  (a abc)2  a abc

Tương tự b(1c)(1a)  b abc

(1 )(1 )

c a b  c abc

Khi đú B   a b c 3 abc abc2011   a b c 2 abc2011 2012

0,25

0,5 0,25

Cõu 4: (2,5 điểm)

a)(1đ)

Ta cú 2BP = 2BM = 2AM – 2AB = AM + AN – 2AB

= AB + BM +AC + CN – 2AB

O’.

F

E A

N I

D P M

K

.O

= AB + BP + CP + AC – 2AB = BC + CA – AB

Tương tự

2CD = CD + CE = CB – DB + CA – EA

= CB + CA – FB – FA = CB + CA – AB

Vậy BP = CD

0,5

0,5

b)(0,75đ) Vì BI // AN (gt)  ฀BIM ฀ANM ฀AMN

 BIM cân tại B BM = BI = BP

Mà BP = CE ( = CD)

BI = CE mà BI // CE Vậy BICE là hình bình hành



0,25

0,25 0,25 c)(0,75đ) Theo chứng minh trên ta sẽ có BI = BP; CP = CK;

BIP; CPK cân tại đỉnh B; C



Gọi BI CK =  Q , phân giác góc IBP cắt phân giác góc PCK tại S S 

là tâm đường tròn nội tiếp  BCQ

Vì BIP cân tại B BS là trung trực của PI

CPK cân tại C CS là trung trực của PK

S là tâm đường tròn ngoại tiếp PIK



Đường tròn (S) ngoại tiếp PIK tiếp xúc với BC, BI, CK



0,25

0,25

0,25

Câu 5: (1 điểm)

Ta có a2b22ab b; 2 1 2b  2 2

2 3 2( 1)

a  b   ab b 

2 2

2 3 2( 1)

2 2

2 3 2( 1)

2 3 2( 1)

Khi đó:

=1 1 = ( do abc = 1)

       

1 2

0,25

0,25

0,25

0,25

Lưu ý:

- HDC chỉ là một cách giải HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào bài làm

cụ thể của HS để cho điểm.

- Điểm các phần, các câu không làm tròn Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25.

- Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm.