Điểm C di động trên cung lớn AB.. Gọi AE và BF là hai đường cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H.. Đường tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lượt tại P và Q.. Chứng minh rằng khi
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 9 LẦN 2
NĂM HỌC 2015 - 2016
ĐỀ THI MễN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Câu 1 (4 điểm)
a) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương ?
b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình phương của tổng hai chữ số của nó
Câu 2 (3 điểm)
Cho ba số x, y, z thoả mãn: xy 1 yz 1 zx 1
Chứng minh rằng: x = y = z hoặc xyz = 1
Câu 3 (4 điểm)
a) Giải phương trỡnh 2 4 2 4
13 x x 9 x x 16 b) Giải hệ phương trình
Câu 4 (7 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động trên cung lớn AB Gọi AE và BF là hai đường cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H Đường tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lượt tại P và Q Chứng minh rằng khi C thay đổi
a) CH có giá trị không đổi
b) CO EF
c) Đường thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2
2015
a b b c c a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
b c c a a b
Họ và tờn thớ sinh SBD
Trang 2II Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (4 điểm)
a) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương ?
b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình phương của tổng hai chữ số của nó
a)Ta thấy B là số chính phương 4B là số chính phương
Đặt 4B = k2 (k N) thì 4B = 4n 2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 0,5 điểm Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có các hệ
(1)
n k
(2)
n k
n k
(3)
n k
(4)
n k
0,5 điểm
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm được n = -12, n =-3, n =13, n =4
Vậy các số nguyên cần tìm là n 12; 3; 4;13 0,5 điểm b)Gọi số phải tìm có dạng ab (( ,a bN; 0 a 10; 0 b 10) 0,5 điểm
Theo giả thiết ta có 2 2
10a b ab (a b ) b b a( 1) a(10a) 0,5 điểm
2 10
2
a a
0,5 điểm
Thay b lần lượt từ 1 đến 5 ta có ab13; 63;91 1,0 điểm
Câu 2 (2 điểm)
- a) Giải phương trình Bỡnh phương 2 vế ta được :
.
x x x
- Áp dụng bđt bunhia :
(13 1x 9 1x ) ( 13 13 13 x 3 3 3 3 x ) 40(16 10 x )
- VT 2 2 Áp dụng cosi Nghiệm
40(16 10 )
5
x
hoăc 2 .
5
x
2 diểm
Trang 3- b) Giải hệ phương trình
2
2 13 0
2
1 5
5
3 5
7 3
8
y
y
y y
x y
y
Câu 3 (3 điểm)
Cho ba số x, y, z thoả mãn: xy 1 yz 1 zx 1
Chứng minh rằng: x = y = z hoặc xyz = 1
Điều kiện x; y; z dương
Ta có xy1 yz1 zx1 1 1 1 1,0 điểm
Trang 4
(1)
(2)
(3)
y z
x y
yz
x y
z x
xy
z x
y z
xz
1,0điểm
Nếu x; y; z đôi một khác nhau, nhân vế với vế của (1); (2); (3) ta có xyz = 1
Câu 4 (4 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động trên cung lớn AB Gọi AE và BF là hai đường cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H Đường tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lượt tại P và Q Chứng minh rằng khi C thay đổi a) CH có giá trị không đổi
b) CO EF
c) Đường thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định
x
I
D
K
Q
P
H F
E
O
C
a) Kẻ đường kính BD ta cú CH AB;DA AB AD//HC (1)
Mặt khácDCCB HA; CBDC/ /HA(2)
Từ (1) & (2) suy ra ADCH là hỡnh bỡnh hành nờn CH = AD 1,0 điểm
Trang 5Gọi K là trung điểm AB xột tam giỏc ADB cú OK là đường trung bỡnh nờn
AD = 2.OK ( khụng đổi) Vậy CH = 2.OK khụng đổi 1,0 điểm Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với (O) ta cú xCA CBA
Mà tứ giỏc AFEB nội tiếp nờn CFE CBA nờn xCA CFE 1,0 điểm suy ra Cx//EF
c) Gọi đường thẳng kẻ từ H vuụng gúc PQ cắt OK tại I
Vì HECQCE EQ;HF CPCF FP; 1,0 điểm Vậy EF // PQ, mà HI PQ//EF HI//OC
Mặt khác CH//OI nờn tứ giỏc OCHI là hỡnh bỡnh hành suy ra OI = CH (khụng
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2
2015
a b b c c a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
b c c a a b
Đặt x b2 c2;y c2 a2;z b2 a2 xyz2010 0,5 điểm
Ta có 2 2 2 , , nên
x b c 2 2 2
y c a 2 2 2
z a b
Mặt khỏc 2(a2 b2)(ab)2 2zab;
Tương tự 2yac; 2xbc;(2)
0,5 điểm
Từ (1) & (2) ta cú
1 1 1 2( ) (3)
2
2
1
2
2
1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
z y x z
y x z y x
z
z x y y
y z x x
x z y
P
Ta cú 3(x2 y2 z2)(xyz)2nên từ (3) suy ra
0,5 điểm
x y z
x y z
Giỏ trị nhỏ nhất của 2015 2 khi x = y = z suy ra a = b = c =
4
6
0,5 điểm
H ết