Vi t phương trình hai ñư ng th ng ñó.
Trang 1Câu I (4,0 ñi m) Cho hàm s 1
1
x y x
+
=
−
1 Kh o sát s bi n thiên và v ñ th ( )C c a hàm s
2 Cho hai ñư ng th ng cùng ñi qua ñi m (1;1),I có t ng các h s góc b ng 5
2 M i ñư ng
th ng c t ñ th ( )C t i hai ñi m phân bi t và b n giao ñi m ñó là b n ñnh c a m t hình ch nh t
Vi t phương trình hai ñư ng th ng ñó
Câu II (4,0 ñ i m)
1 Gi i phương trình cos cos2 2 2 sin sin
2 2 4
2 Gi i h phương trình
3
( , )
x y
∈
ℝ
Câu III (4,0 ñ i m)
1 Cho , ,x y z là các s th c dương th a mãn xyz+ + =x z y Tìm giá tr l n nh t c a bi u
th c 2 2
P
2 Tìm các giá tr c a tham s m ñ h b t phương trình sau có nghi m
2
log ( 7) ( 3) log ( 7) 4 0
Câu IV (4,0 ñ i m)
1 G i S là t p h p các ư c s nguyên dương c a s 43200 L y ng u nhiên hai ph n t! thu c
S Tính xác su t l y ñư c hai ph n t! là hai s không chia h t cho 5
2 Trong m"t ph ng v i h t a ñ Oxy cho hình ch nh t , ABCD G i G là ñi m thu c ño n
BD sao cho BD=4BG, M là ñi m ñ i x ng c a ñi m A qua G Hình chi u vuông góc c a ñi m
M trên các ñư ng th ng BC CD l, n lư t là H(10; 6) và K(13; 4) Tìm t a ñ các ñnh c a hình
ch nh t ABCD bi t r ng ñư ng th ng BD ñi qua ñi m (1; 2) E
Câu V (4,0 ñ i m)
1 Cho lăng tr$ ñ ng ABC A B C có ' ' ' AB=6,BC=12,ABC=60 0 Th tích c a kh i chóp ' ' '
C ABB A b ng 216 G i M là ñi m n m trong tam giác A B C sao cho t ng di n tích t t c các ' ' '
m"t c a hình chóp M ABC ñ t giá tr nh nh t Ch ng minh r ng M là tâm ñư ng tròn n i ti p tam giác A B C Tính cosin c a góc gi a hai ' ' ' ñư ng th ng B M và ' AC '
2 Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho , ñi m (2; 2; 0)A và m"t c u ( )S có phương trình
2 2 2
2 2 2 0
x +y + −z x− y− z= Vi t phương trình m"t ph ng (OAB bi t ) ñi m B thu c ( )S và tam
giác OABñ%u
- H T -
Trang 2L I GI I ð THI H C SINH GI I MÔN TOÁN L P 12 THPT T NH THANH HÓA
NĂM H C 2016 – 2017
Câu I.2. Cho hai ñư ng th ng cùng ñi qua ñi m I(1;1), có t ng các h s góc b ng 5
2 M i ñư ng
th ng c t ñ th ( )C t i hai ñ i m phân bi t và b n giao ñ i m ñ ó là b n ñ nh c a m t hình ch
nh t Vi t ph ươ ng trình hai ñư ng th ng ñ ó.
L i gi i:
Cách 1: Do I là tâm ñ i x ng c a (C) nên hai ñư ng th ng qua I c t (C) s t o thành m t hình bình hành, hình bình hành ñó là hình ch nh t khi và ch khi ñ dài hai ñư ng chéo b ng nhau
G i d là ñư ng th ng ñi qua ñi m I và có h s góc k ⇒d y: =k x( − +1) 1
Hoành ñ giao ñi m c a d và ( )C là nghi m c a phương trình
2 1
1
x
ði%u ki n ñ d c t ( )C t i hai ñi m phân bi t là (*) ph i có hai nghi m phân bi t
2
0
0
k
k
k k k
≠
∆ = − − >
G i ,A B là giao c a (C) và d suy ra A x kx( ,1 1− +k 1), ( ,B x kx2 2− +k 1), trong ñó x x1, 2là
nghi m c a (*), theo ñ nh lí Viet ta có
1 2
1 2
2 2
k
x x
k
+ =
+) G i k k k1, 2( 1 ≠k2) là h s góc c a hai ñư ng th ng c n tìm khi ñó hai ñư ng chéo c a hình bình hành l n lư t có ñ dài là
2 1 1
8(1 k )
k
+
và
2 2 2
8(1 k )
k
+
Do hai ñư ng chéo b ng nhau nên
2 1 1
8(1 k )
k
+
=
2 2 2
8(1 k )
k
2(1 1) 1(1 2)
(k k )(1 k k ) 0 k k 1
Theo bài ra ta có 1 2 5 1 2, 2 1
k + =k ⇒k = k = ho"c ngư c l i
V y hai ñư ng th ng c n tìm là y=2x−1 và 1 1
2 2
Cách 2:
Ta có I là tâm ñ i x ng c a (C) nên ñư ng th ng qua I c t (C) t i hai ñi m M, N thì I là trung ñi m c a MN
Gi s! hai ñư ng th ng qua I c t (C) t i A, B và C, D T giác ABCD là hình ch nh t nên
IA = IB = IC = ID
Không m t tính t ng quát, gi s! A, D cùng thu c m t nhánh c a ñ th ' góc ph n tư th
nh t Ta s ch ng minh A, D ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng (d): y = x
Gi s! ( ;1 2 ), ( ;1 2 )
− − v i a>1,d >1, a≠d
Ta có: 2 2 ( 1)2 4 2 ( 1)2 4 2
Trang 32 2 2 2
4
( 1) ( 1)
2 1 1
d
a
= +
− (do a>1,d >1,a≠d)
⇒ x A = y D,y A =x D ⇒ A và D ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng (d): y = x
ðư ng th ng IA ñi qua I, h s góc m > 0 có phương trình: mx – y – m + 1 = 0
ðư ng th ng ID ñi qua I, h s góc n > 0 có phương trình: nx – y – n + 1 = 0
Do ñư ng th ng (d): y = x là ñư ng phân giác c a góc AID nên: cos( ;d IA)=cos( ;d ID)
Ta có h phương trình:
5
;
2
0; n 0
m m
n n
m
=
=
⇒ + =
=
≠
> >
(trư ng h p 5
4
m= =n lo i)
V y có 2 ñư ng th ng c n tìm là: y=2x−1 và 1 1
2 2
Câu II.1.Gi i ph ươ ng trình cos cos2 2 2 sin sin
2 2 4
L i gi i: ði%u ki n: cosx≥0
PT cos cos2 2 sin sin cos cos cos2 2 sin2 sin
2 cosx cosx sin x sinx
Cách 1:
(*)
cos sin (1) cos sin 1 (2)
⇔
sin 0 sin 0 sin 0
cos sin cos cos 1 0 cos
2
x
≥
5 1 arccos 2 ( )
2
2
Do cosx ≥0 và sin− x− ≤1 0 nên
2
V y phuơng trình có nghi m: arccos 5 1 2 ,
2
2
x= − +π k π k∈
ℤ
Cách 2: (*)⇔sin2x−( cos )x 2+sinx− cosx = ⇔0 (sinx− cos )(sinx x+ cosx+ =1) 0 cos sin (1)
cos sin 1 (2)
⇔
(Ti p t$c gi i như trên)
Trang 4Cách 3: (*) có VT ≥0 nên ñ (*) có nghi m thì sin2x+sinx≥ ⇔0 sin (sinx x+ ≥1) 0
- N u sin 1 0 2
2
x+ = ⇔ = − +x π k π
thì x là nghi m c a (*)
- N u sinx+ ≠1 0⇒sinx+ >1 0⇒sinx≥0
Xét hàm f t( )= +t2 t v i t∈[0;1] , có f t'( )= + > ∀ ∈2t 1 0, t [0;1] suy ra ( )f t ñ ng bi n trên
ño n [0; 1], do ñó (*)⇔ f( cos )x = f(sin )x ⇔ cosx =sinx (ti p t$c gi i như trên)
Câu II.2 Gi i h phương trình
3
L i gi i: ði%u ki n: 1, 2
2
T( (2) ta có y−2 2x+ +1 13(y− −2) 2x+ =1 8x3+82x−29 (3)
N u 1 0
2 x
− ≤ ≤ thì 1− ≤ − 2x+ ≤1 0 suy ra (3) có VT ≥ −1 và VP ≤ −29 nên (3) vô nghi m, do
ñó n u x th a mãn h ñã cho thì x>0
(1)⇔2 (4x x − + +y 2) 4x (y− − −1) (y 2)(y− =1) y− −2 2x
2
(4 2)(2 1)
2 2
− −
− +
2 2
− +
2
4x y 2 0
2 2
⇔ − = (Do x>0)
Thay 2x= y−2 vào (2) ñư c(2x−1) 2x+ =1 8x3−52x2+82x−29
2
2
2
1 2
x
=
+) Khi 1
2
x= thì y=3
+) Gi i (4)
Cách 1:
2
2 1 2 6 (5)
2 1 5 2 (6)
⇔
+ = −
(5)
2 1 (2 6) 4 26 35 0
3
2
2 1 (5 2 ) 4 22 24 0
Trang 5V y ( ; ) 1;3 , 3;11 , 13 29 103 13 29;
=
Cách 2: ð"t 2x+ =1 t t( ≥0)
t − t − +t = ⇔ +t t − t − +t =
2
2
t
t
=
+) Khi t=2 thì 3, 11
2
+) Khi 1 29
2
thì 13 29, 103 13 29
V y ( ) 1 3 13 29 103 13 29
; ;3 , ;11 , ;
=
Câu III.1.Cho x y z là các s th c d, , ươ ng th a mãn xyz+ + =x z y. Tìm giá tr l n nh t c a bi u
P
L i gi i:
1
xz
+
−
2 2
2
( )
1 (1 )
xz
xz
+
( )( ) ( ( )( ) ) ( ( ) )( ( ) )
2
2
z
P
−
2
1
z
+
+
Xét hàm s 3
( ) 3
f t = −t t (liên t$c v i t>0) L p b ng bi n thiên ta ñư c
(0; )
1 2 max ( ) ( )
3 9
Do ñóP ñ t giá tr l n nh t b ng 2
9 khi và ch khi
2
2
1
2
2
z
z z
x z
xz
z x
= =
−
Cách 2: ð"t x=tan ,A y=tan ,B z=tanC v i , , 0; 0
2
∈ ⇒ < + <
Trang 6T( tan tan tan tan( )
1 tan tan
+
Ta có P=2 cos2 A−2 cos2B−4 sinC+3sin cosC 2C
2 sin(A B) sin(A B) sinC 3sin C 2 sin(A B).sinC sinC 3sin C
sinC 3sin C
D u "=" x y ra khi
2
A B+ =π
Xét hàm s f t( )= −t 3t3 như trên ta ñư c sin 3sin3 2
9
C− C≤
D u "=" x y ra khi sin 1 tan 2
T( tan 2
4
2
A+ =B π
2
2 tan
2 2 cot cot( ) tan 2
1 tan
A
A
2
tan , tan 2
2
V y P ñ t giá tr l n nh t b ng 2
9 t i
( ; ; ) ; 2;
x y z
=
Câu III.2.Tìm các giá tr c a tham s m ñ h b t ph ươ ng trình sau có nghi m
2
log ( 7) ( 3) log ( 7) 4 0 (1)
L i gi i: ði%u ki n: x≥ −2
(1) log ( 7) 1 log ( 7) 4 0
log ( 7) 4 0 (3) Do log ( 7) 1 0, 2
Xét hàm s ( ) log (3 7) 4 '( ) 1 1 0, 2
( 7) ln 3
x
Suy ra ( )f x ñ ng bi n trên [ 2;− +∞) Do ñó (3)⇔ f x( )≥ f(2)⇔ ≥x 2
ð"t t= +x x+2 (t≥4 do x≥2) 2 2
2 2 2
B t phương trình (2) bi u th theo t là ( 2 25) 2
25
t
t
+ ð"t 2
2
1
25 2 .25 10
+ d u "=" x y ra khi t=5 [4; )
1 max ( ) (5)
10
+∞
Yêu c u c a bài toán khi ñó tr' thành tìm m ñ m≤g t( ) có nghi m t∈ +∞[4; )
[4; )
1 max ( )
10
+∞
10
(Ta cũng có th tìm
[4; )
max ( )g t
+∞ b ng cách l p b ng bi n thiên c a hàm s ( )g t trên n!a kho ng [4;+ )∞
Câu IV.1 G i S là t p h p các ư c s nguyên d ươ ng c a s 43200 L y ng u nhiên hai ph n t thu c S Tính xác su t l y ñư c hai ph n t là hai s không chia h t cho 5
L i gi i: Ta có 43200=2 3 56 3 2
M i ư c nguyên dương c a s 43200 là m t s có d ng 2 3 5i j k, trong ñó
{0;1; 2;3; 4;5; 6}, {0;1; 2;3}, {0;1; 2}
i∈ j∈ k∈ Suy ra có 7.4.3=84 ư c, nên s ph n t! c a S là 84
Trang 7M i ư c nguyên dương không chia h t cho 5 c a s 43200 là m t s có d ng 2 3 5 i j 0
Suy ra s các ư c c a 43200 không chia h t cho 5 trong t p S là 7.4=28
Suy ra
2 28 2 84
9 83
C
P
C
= =
Câu IV.2. Trong m!t ph ng v i h t a ñ Oxy,cho hình ch nh t ABCD. G i G là ñ i m thu c
ñ o n BD sao cho BD=4BG, M là ñ i m ñ i x ng c a ñ i m A qua G Hình chi u vuông góc c a
ñ i m M trên các ñư ng th ng BC CD l n l, ư t là H(10; 6) và K(13; 4). Tìm t a ñ các ñ nh c a hình ch nh t ABCD bi t r ng ñư ng th ng BD ñ i qua ñ i m (1; 2) E
L i gi i:
G i I là giao ñi m c a AC và BD suy ra AIMB là hình bình hành
Suy ra MB=IA=CI ⇒IBMC là hình bình hành, mà IB=IC nên IBMC là hình thoi, suy ra
hình chi u H c a M trên BC chính là trung ñi m c a BC và IM
2
BD ñi qua (1; 2)E và 17; 7
2
nên BD có phương trình là 2 x−3y+ =4 0.
G i (3B b+1; 2b+ ∈2) BD⇒C(19 3 ;10 2 )− b − b ñ i x ng v i B qua H(10; 6)
Suy ra HC(9 3 ; 4 2 ),− b − b KC(6 3 ; 6 2 ).− b − b
Ta có HC⊥KC⇔HC KC = ⇔0 b2− + = ⇔ =5b 6 0 b 2;b=3.
+) V i b=2⇒B(7; 6)⇒C(13; 6) và (10;8)I ⇒A(7;10)⇒D(13;10).
+) V i b=3⇒B(10;8)⇒C(10; 4) và (7; 6)I ⇒A(4;8)⇒D(4; 4).
V y (7;10),A B(7; 6),C(13; 6),D(13;10) ho"c (4;8),A B(10;8),C(10; 4), D(4; 4)
Câu V.1.Cho l ă ng tr # ñ ng ABC A B C có ' ' ' AB=6,BC =12,ABC =60 0 Th tích c a kh i chóp
' ' '
C ABB A b ng 216 G i M là ñ i m n m trong tam giác A B C sao cho t ng di n tích t t c các ' ' '
m ! t c a hình chóp M ABC ñ t giá tr nh nh t Ch ng minh r ng M là tâm ñư ng tròn n i ti p tam giác A B C Tính cosin c a góc gi a hai ' ' ' ñư ng th ng B M và ' AC '
L i gi i
*) Ch ng minh M là tâm ñư ng tròn n i ti p tam giác A B C' ' '
G i I là hình chi u c a M trên (ABC); D, E, F l n lư t là hình chi u c a I trên AB, BC, CA ð"t
Khi ñó S ABC =S IAB+S IAC +S IBC =ax by+ +cz
Di n tích toàn ph n c a hình chóp M ABC nh nh t khi và ch khi
S =S +S +S nh nh t
2
MAB
Tương t ta ñư c S = (ah)2+(ax)2 + (bh)2+(by)2 + (ch)2+( )cz 2
A
C
M
K
B
G
I
H
D
E
Trang 8S! d$ng b t ñ ng th c u + +v w ≥ + +u v w v i u=(ah ax v; ), =(bh by w; ), =(ch cz; ) ta ñư c
S≥ ah bh ch+ + + ax by+ +cz = a b c h+ + +S =const
D u b ng x y ra khi và ch khi ax by cz x y z
ah =bh =ch ⇔ = =
Suy ra I là tâm ñư ng tròn n i ti p tam giác ABC, nên M là tâm
ñư ng tròn n i ti p tam giác A B C' ' '
*) Tính cosin c a góc gi a hai ñư ng th ng B’M và AC’
' ' '
1 sin 18 3 2
A B C ABC
Do Vlăng tr$ = 3 '. ' ' 324 ' 324 ' 6 3
Cách 1:
G i K là chân ñư ng phân giác trong c a tam
giácA B C k' ' ' * t( B, t( K k* ñư ng th ng song song v i AC '
c t AA t i H, khi ' ñó
( 'B M AC, ') ( ' ,B K KH) cos cosB KH'
0 ' ' ' ' ' ' '
1 ' ( ' ' ' ') sin 30 2
B A C B KC B KA
4 B K B K
Ta có ' ' ' 1 ' 1 ' ' 2 3
' ' ' 3
A H
KH A H A K
⇒ = + = , B H' = A B' '2+A H' 2 =4 3
B KH
B K HK
4
ϕ=
Cách 2: Ta th y BC2 =AB2 +AC2nên tam giác ABC vuông t i A Do ñó ta có th ch n h tr$c t a
Oxyz sao cho A(0;0;0),B(6;0;0),C(0;6 3;0),A'(0;0;6 3), suy ra B'(6;0;6 3),C'(0;6 3;6 3), g i
) 3 6
; 3 6
; 0 ( ' ), 0
; 3 2
; 6 ( ' ) 3 6
; 3 2
; 0 ( ' 2 ' '
'
K
Do ñó
4
2 108 108 0 0 12 36
0 36 0 '
'
' ' ) ' , '
+ + + +
+ +
=
=
AC K B
AC K B AC M
Câu V.2 Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho , ñ i m A(2; 2; 0) và m ! t c u ( ) S có ph ươ ng trình x2+y2+ −z2 2x−2y−2z=0. Vi t ph ươ ng trình m ! t ph ng ( OAB bi t ) ñ i m B thu c
( )S và tam giác OABñ$ u
L i gi i
Cách 1: (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R= 3. Ta th y O, A cùng thu c (S)
Tam giác OAB ñ%u, có bán kính ñư ng tròn ngo i ti p 2 2
OA
2 2 1 ( ; ( ))
3
C
A'
A
B
I
D
H
Trang 9M"t ph ng (OAB) qua O(0; 0; 0) có phương trình d ng ax by+ + =cz 0 (*) v i a2+ + >b2 c2 0
Do A∈(OAB) nên 2a+2b= ⇔ = −0 b a
2 2 2
1
3
a b c
+ +
+ + Theo (*) suy ra phương trình (OAB) là: x− + =y z 0ho"cx− − =y z 0
Cách 2: G i B(a;b;c), theo bài ra ta có
= + +
+
− +
−
= + +
=
−
−
− + +
⇔
=
=
∈
8
) 2 ( ) 2 (
0 2 2 2 )
(
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c b a
c b
a c b a
c b a c b a
OA OB
AB OB
S B
=
=
=
⇔
= +
− +
−
=
=
⇔
= +
+
=
+
= +
+
⇔
2 2 0
8 4 ) 2 ( 2 2
8 2
4
2 2
2 2
b a
a a
a b
c
c b
a
b
a
c
b
a
ho"c
=
=
=
⇔
2 0 2
c b a
+) N u B(0;2;2) thì (OAB có vtpt ) OA∧OB=(4;−4;4)⇒(OAB):x−y+z=0
+) N u B(2;0;2) thì (OAB có vtpt ) OA∧OB=(4;−4;−4)⇒(OAB):x−y−z=0
V y phương trình (OAB) là: x− + =y z 0ho"cx− − =y z 0