Tính tỷ số của và cosA... Do x là số nguyên lẻ.
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Môn: Toán 10 Năm học: 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04/4/2013
Câu 1:
a) Giải bất phương trình x2 6x22(2x) 2x1
b) Giải hệ phương trình
) 2 ( 6 8 5
4
) 1 ( 2
6 10 4 5
y x
y y xy x
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm:
xy y x
my x y m x
2
2
) (
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho I 2; 4 và các đường thẳng d1:2xy20;d2 :2xy20 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt tại A và B , cắt tại C và D thỏa d1 d2
mãn AB2 CD2 165AB.CD
Câu 4:
a) Cho tam giác ABC có BC a AC, b AB, c Trung tuyến CM vuông góc với phân
giác trong AL và 5 2 5 Tính tỷ số của và cosA
2
3
AL
CM
c b
b) Cho các số thực a và b thõa mãn: 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
Câu 5: Cho 2 với a, b là các số nguyên Biết rằng tồn tại các số nguyên đôi một
phân biêt m, n, p mà 1m,n,p9 sao cho f(m) f(n) f(p) 7 Tìm tất cả các bộ số a b;
Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TĨNH MÔN TOÁN 10
Năm học 2012 – 2013
Câu 1
a) giải bất ptrình x2 6x22(2x) 2x1
Điều kiện:
2
1
x
Bpt x2 2x 2x12x14(2x1)4 2x11
1 1 2 2 1
x 2x12 2x11( do 2 vế dương )
1 2 1
2
1 1
2 1
x x x
x x
x
Đối chiếu đk ta có nghiệm bất phương trình là x2 2
b) Giải hệ
) 2 ( 6 8 5
4
) 1 ( 2
6 10 4 5
y x
y y xy x
Điều kiện: x
4
5
Ta thấy nếu ( x; y ) = (0; 0 ) không phải là nghiệm của hê Từ (1 ) x 0
Từ (2 ) ta có
+nếu x > 1 y2 1 y4 y6 x5 xy4 1 y4 y10 y6 (1)vnhêvn
+ nếu x < 1 y2 1(1)vn ( tương tự cm như trên ) hệ vn.
Vậy x = 1 thay vào (2 ) ta dễ dàng có y =1
vậy hệ dã cho có nghiệm duy nhất ( x : y) = ( 1 ; 1 )
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm :
xy y x
my x y m x
2
2
) (
Hệ đã cho
y yx x
m y my y
xy x
m my xy x
) 2 ( 0
) 1 ( 0
2 2
2 2
Gọi f ( y ) = my -y + m2
Hệ có nghiệm (1)có nghiệm y thõa mãn :
) 4 ( 4
) 3 ( 0 0
4 2
y
y y
y
+)nếu m = 0 hệ có nghiệm (x ; y ) = ( 0 ; 0 ) m 0 thõa mãn
++)nếu 0 : chú ý rằng ac = m > 0 nên không thể có 2 nghiệm trái dấu2
Thợp 2: ( 1) có 2 nghiệm
2
1 0
0 1
0 4 1 0
;
2 2
m
m x
x
mf
s x
0 ) 4 (
4 2
0 4
; 2 1
KL : hệ có nghiệm
2
1
0
( Chú ý : Nếu để tránh định lý đảo về dấu tam thức bậc hai khi xét ( không có trong chương
2
S
trình sách giáo khoa ) ta có thể đặt y = t+4 đưa về pt ẩn t có cả 2 nghiêm t1;t2 0.)
Trang 3Câu 3 Trong mặt phẳng 0.xy cho I( 2 ;4 ) và các đường thẳng d1:2xy20;d2 :2x y20 Viết phương trình đường tròn ( C ) có tâm I sao cho
( C ) cắt tại A và B , cắt tại C và D thõa mãn d1 d2 AB2 CD2 165AB.CD
Giải : ( Bạn đọc tự vẽ hình )
ta có d1 Goi R là bán kính đường tròn
5
2 5
2 4 4
;d1
5
6 5
2 4 4
;d21
I
.Gọi H và K là trung điểm của AB và CD ta có :
5
4 2
2 R2 d12 R2
5
36 2
2 R2 d22 R2
trở thành :
21
361 4 92 0
128 184
21
2 144
200 25
4
2 4
2 2
4
R R
R R
R R
Ta có phương trình đường tròn là :
21
361 4 92 4
2 2 2
x
Câu 4 (Bạn đọc tự vẽ hình )
1.Cho tam giác ABC có BC =a , CA = b, AB = c.Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong
AL và 5 2 5
2
AL
CM
Tính và cosA
c
b
Giải: Gọi H = ALCM Vẽ MK // AL Ta dễ dàng nhận thấy tam giác CAM cân tại A nên CA
= AM = MB c= 2b hay
2
1
c b
Ta có HL = MK AH AL=
4
1 2
1
AH
3 4
Áp dung công thức trung tuyến ta có CM = 2
2 4
) (
2 b2 a2 c2 a2 b2
Áp dụng Pi ta go ta có: AH
8
9 ) (
8
1 4
2 2 2
b a b
CM b
CH
2
AL
5 3
5 9 23 5
2 5 9
5 2 5 4 9
8
9 9 16
2 2
2 2 2
2
2 2
b
a a
b
b a a
b
b a
Áp dụng định lý cos trong tam giác ABC ta có:
4
1 5 4
5 3
5 9 23 5
4
5
4
5 2
2 2
2 2 2 2
a b
a b bc
a c b
Nhận xét: bài này đáng ra không nên câu : “ tính ” vì kết quả này ‘tầm thường”
c b
2 Cho các số thực a và b thõa mãn: ( 2+a )(1+b ) = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 9
P = 16a4 4 1b4
Giải: Đặt 2b = x Điều kiện bài toán trở thành : ( 2+ a) ( 2+x ) = 9.Ta cần tìm Min của
P = 4 4 Theo bất đẳng Co si :
16
16a x
2
4
2
1a a a2 4a16a4 54 (a2)
4 4
16
16a x 2 ( 16 a4)( 16 x4) 2 4 5 4a 25 4x 2
=24 2520a2 x216(a2)(x2) 24 2520.2.316.9 2 17
Trang 4Dấu “ = “ xẩy ra Vậy Min P =
1
1
a
x
2 1
1 17
2
b a
Câu 5. Cho f (x ) = x2 axb với a,b là các số nguyên Biết rằng tồn tại các số nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1m,n,p9sao cho f(m) f(n) f(p) 7.Tìm tất cả các bộ số (a;b)
Giải: Xét phương trình
) 2 ( 0 7
) 1 ( 0 7 (*)
7 ) (
2 2
b ax x
b ax x x
f
Theo đề ra (*) có ít nhất 3 nghiệm nguyên Nên ta suy ra (1) và (2 ) phải có 2 nghiệm nguyên ( dễ thấyNếu mỗi pt có một nghiệm nguyên thì nghiệm kia cũng nguyên )
là các số chính phương Không mất tính tổng quát giả sử
2 2
2
2 2
1
28 4
28 4
n b
a
m b
a
m> 0 ,n > 0
hoặc
13
15 28
2 56
) )(
(
n
m n
m
n m n
m
n
m
5
9 14
4
n
m n
m
n m
Th1: (m;n ) = ( 15; 13) Khi đó các nghiệm của (1) là 15 và các nghiệm
2
1 , 15 2
1
2
1 a x a
x
2
1 );
13 ( 2
1
4
3 a x a
x
Do x1 x3 x4 x2 và tồn tại 3 giá trị nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1m,n,p9
vn
a
a
a
a
9 2
15
1 2
13
9 2
13
1 2
15
Th2: (m ; n ) = ( 9;5 ) Khi đó các nghiệm của (1) là 9 và các nghiệm của
2
1 , 9 2
1
2
1 a x a
x
2
1 );
5 (
2
1
4
3 a x a
x
Do x1 x3 x4 x2 và tồn tại 3 giá trị nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1m,n,p9
Do x là số nguyên lẻ
9 7
9 2
9
1 2
5
13 11
9
2
5
1
2
9
a a
a
a a
a
Thử trực tiếp Ta có 4 cặp (a;b ) sau đây
(a;b) = (11;17 ) ứng với với x2 x11 17 7có 3 nghiệm nguyên 1;3;8 thõa mãn bài toán
(a;b ) = ( 7;-1) ứng với với x2 x7 17 có 3 nghiệm nguyên 1;6;8 thõa mãn bài toán
Cặp ( a; b ) = ( 9;7 )
ứng với với x2 x9 7 7 có 3 nghiệm nguyên 2;7;9 thõa mãn bài toán
căp (a;b ) = ( 13;29)
ứng với với x2 x13 29 7 có 3 nghiệm nguyên 2;4;9 thõa mãn bài toán