Đề thi học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán 1029174

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC... HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI HSG LỚP 10 - Điểm toàn bài không làm tròn.. - Học sinh làm cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho x, yZ; x1;y1, sao cho x3 1 y3 1 Z



Chứng minh rằng: x2016 1 Z



Câu 2: (4 điểm)

Cho hàm số y x2 (2m1)x m 1 có đồ thị (Pm) Tìm m để (Pm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x1 2 thỏa: 1 2

2

1 1 

Câu 3:

1/Giải bất phương trình:

x x

x x







xy x y yx y x

x y y xy

Câu 4:

1/ Cho tam giác ABC có b Chứng minh rằng

c

m c

b  m 2 cot A  cot C  cot B

2/ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Hai điểm M(4;-1),

N(0;-5) lần lượt thuộc AB, AC và phương trình đường phân giác trong góc A là :x3y 5 0, trọng tâm của tam giác là 2; 5 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

  

G

Câu 5:

Cho các số dương a b c ab bc ca, , :   3

1 a b c( )1 b c( a)1 c a b( ) abc

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI HSG LỚP 10

- Điểm toàn bài không làm tròn.

- Học sinh làm cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa

1

Đặt: x3 1 a;y3 1 c (a,b,c,d Z, (a,b)=1; (a;c)=1



Ta có: a c ad bc Z



Nên: ad  bc bd   ad  bc b   ad b   d b (1) 

(x x 1)(y y 1) Z ac bd a d (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x3 1

y 1







Mà 2016 3 672 3 nên

x   1 (x )  1 x   1 2016

x  1 y   1

Vậy : x2016 1 Z đpcm







2

Phương trình hoành độ giao điểm của (Pm) với Ox : 2

Để (Pm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x1 2 khi 0

2

Theo giả thuyết : 1 2

2

1 1 

2

1 2 1 2

2 1

x x x x

Hay:

Câu 4:

1

2

2 2

c

b

c

b

m

m b

c m

m b

c







áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có :

2 2

2 2 2

m c

a   b 

2 2

2 2 2

m b

a   c 

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

c b a

b c a b

c











    0

2

1 2

1 2

2 2 2

A bc a

A bc a

a c

b a

b c a

b c a b c

cos 2 cos

2 2

2

0 2

1 0

2 1

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2





































  





2R sin A 2 2R sin B 2R sin C cos A sin A 2 sin B sin C cos A

sin B C

cot A sin A 2 sin B sin C 2 sin B sin C 2 sin B sin C

1 cos C cos B

2 cot A cot C cot B

2 sin C sin B

Câu 5: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta cú:3ab bc ca  3 (3 abc)2 abc1

1 ( ) 3

 



a b c abc a b c a ab b

c ca a

Tương tự ta cú: 21 1 (2), 21 1 (3)

1 b c( a)3b 1 c a b( ) 3c

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta cú:

.

ab bc ca

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc1,ab bc ca      3 a b c 1, ( , ,a b c0)