Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét29171

Đặt vấn đề ---I - Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chương trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai l

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

A Đặt vấn đề

-I - Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chương trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai là vô cùng phong phú Do vậy khả năng gặp phương trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào các trường chuyên, lớp chọn là rất cao Mà đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý Viet

Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Viet và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, chúng tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề:

“Một số ứng dụng của định lý Viet”

II Mục đích nghiên cứu

- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trước những thiên

hướng tốt, chưa tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và một số phương pháp giải cho các em

- Thứ hai: Bản thân người thầy cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm chủ

kiến thức

III Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phuơng trình bậc hai, định lý Viet trong chương trình đại số lớp 9

- Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

- Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dựỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT.

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

- Qua trao đổi , học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm

IV Nhiệm vụ của đề tài

Đề cập tới một số ứng dụnh của định lý Viet Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng dạng Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực tư duy khác cho học sinh.

V Giới hạn nghiên cứu

- Chuyên đề này áp dụng được với mọi đối tượng học sinh Tuy nhiên với mỗi đối tượng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ phù hợp.

- Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong việc ôn luyện học sinh giỏi, hướng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn.

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

b giải quyết vấn đề

  

-I – cở sở của lý thuyết

1 Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn

Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*).

ac

b2  4





a) Nếu < 0 thì (*) vô nghiệm

b) Nếu = 0 thì (*) có nghiệm kép: 

a

b x

x

2 2 1







c) Nếu > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt  ;

a

b x

2 1









a

b x

2 2









* Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x1, x2 thì: (Viet)

























a

c x x P

a

b x

x S

2 1

2 1

Phần I Một số ứng dụng của định lí viét

Dạng 1:

ứng dụng của định lí Viét vào việc nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a 0

I Phương pháp giải

Xét phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (*)

1 Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm

a

c x

x1 1; 2 

2 Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm

a

c x





1 1;

3 Nếu x1 x2 mn; x1.x2 m.n và   0 thì phương trình có nghiệm:

hoặc

n

x

m

x1  ; 2  x2 m;x1 n

II Một số ví dụ

VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất

a x2 ( 3 5)x 150 (1)

b 0(Với m 2; m 3, x là ẩn) (2)

) 3 )(

2 (

5 2 3

1 2















m x

n

x

c (m -3)x2 – (m +1)x – 2m + 2 = 0 ( m là tham số, x là ẩn) (3)

Hướng dẫn:

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

a ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, nhưng có a.c =    15 < 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 áp dụng hệ thức Viét có:

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và

























5 3 15

5 3 2

1

2

1

x

x

x

x

3

b Đây là phương trình bậc hai có: a + b + c 0

) 3 )(

2 (

5 2 3

1 2

1



















m m

m m

m

(Với m 2; m 3) Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt  

m

m x

x









3

5 2

;

1 2 1

c ở phương trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:

a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0 Nên x1 1; x2  m2 2mà không thấy được phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai

Vì vậy ta cần xét m – 3 = 0; m – 3 0, rồi nhẩm nghiệm.

Giải:

+ Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phương trình (3) trở thành -4x – 4 = 0  x = -1

+ Nếu m – 3 0  m 3 phương trình (3) có a – b + c = 0, nên có 2 nghiệm 

3

2 2

;

1 2









m

m x

x

Kết luận:

Như vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) thì ta cần + Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm

+ Xét a 0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm

Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt) Để giải quyết được tốt các định lí, khi đó phải đưa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm được nghiệm

VD2: Nhẩm nghiệm của phương trình 5x3 x2 5x10 (4)

Hướng dẫn

PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 – 5 – 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1

Khi đó ta đưa PT (4) về dạng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x2 + 6x + 1 = 0 Kết quả phương trình (4) có 3 nghiệm: x1 = 1; x 2 = -1; x3 =

5 1



VD3:

Giải phương trình : x4  (x +1)(5x2 - 6x - 6 ) = 0

Hướng dẫn: Phương trình trên có dạng 4 5x2 (x +1) – 6 ( x+ 1)2 = 0 (5)

x

Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)2 ta

được:

+ 5 - 6 = 0

2

2

1













x

x

1

2



x x

Đặt ta được + 5 – 6 = 0

1

2



x

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

Dễ dàng nhận được X1 = 1 ; X2 = -6

Sau đó giải tiếp tìm được x

Dạng 2:

Tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

I Phương pháp giải

Đối với bất phương trình giữa các nghiệm của một phương trình

ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm

Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x1 + x2 và P = x1 x2 nhờ đó có thể tính được giá trị của biểu thức mà không phải giải phương trình

II Một số ví dụ

VD1: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai 3x2 – cx + 2c -1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức A = 3

1

1

x + 3 2

1

x

Giải: Theo định lý viét ta có:





















3

1 2

3 6

2 1

2 1

c x x

x x

S = 3

1

1

x + 3 = =

2

1

x 13 23

3 1 3 2

.x

x

x

3 2 3 1

2 1 2 1 3 2 1

3

x x

x x x x x

3

3

1 2

3

3

1 2

3

3



























c

c c c

 2

2 1 2

9 18







c

c c

c

Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trước hết ta cũng phải tính S = x1 + x2 ; P = x1 x2

Sau đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính được giá trị của biểu thức

VD2: Không giải phương trình , hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nhỏ

của phương trình bậc hai : x2 - 0 (*)

16

5 1 4

85





x

Hướng dẫn: Phương trình (*) có 0 Phương trình (*) có 2 nghiệm

16

1 16

21 4 16

85







phân biệt x1, x2 Không mất tính tổng quát Giả sử x1 x 2

áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 = và P = x1 x2 =

4

85

16 21

ta có 3 = (x1 - x2 ) = (x1 - x2 )

2

3

1 x

2 2 2

1 x x x

2 2

1 x x x

Do x1 x 2 nên

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

x1 - x2 =  2= =

2

1 x

2 2

1 x 2 x x

2

1 x 4 x x

2

3

1 x

x  s2  ps2  p











16

21 16

85 16

84 16

85

16

64 4 1

VD3:

a Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x2  ax1= 0

Tính S = 7 theo a

2 7

1 x

x 

b Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận 7 7 làm nghiệm

3

5 5

3 



a

Hướng dẫn:

a ở đây 7 không biẻu diễn trực tiếp được dưới dạng x1 + x2 và x1 x2 Tuy nhiên ta

2 7

1 x

x 

có thể biểu diễn S = 7 =

2 7

1 x

2 3 1 3 2 3 1 4 2 4

1 x x x x x x x

Như vậy ta phải tính 4; theo a

2 4

1 x

2 3

1 x

x  Thật vậy kí hiệu n n Theo Viét ta có:

S  1  2











 1 2 1

2 1

x x

a x x

Do đó S2 x12 x22 x1 x22 2x1x2 a2 2

=

2 2 1 2 2 2 2 1 4 2 4 1

4 x x  x x  x x  a  

x x  x x x x  a a x

x

S3  13  32  1  2 3 3 1 2 1  2  3 3

Vậy S a4 4a2 2.a3 3a a a7 7a5 14a3 7a

7         

b Để tìm một đa thức bậc 7 nhận làm nghiệm nghĩa là ta phải tìm một đa thức bậc 7 mà 

khi thay vào thế giá trị của đa thức bằng 0: Theo phần a có: 

=

7

2

7

1 x

x  a7 7a5 14a3 7a

 a7 7a5 14a3 7a x17  x270

Như vậy trước hết ta phải lập 1 phương trình bậc 2 có là hệ số:

Đặt x1  ; ta có:

5

3

7 x2 

3

5 7

x1 + x2 = 7 7 a; x1 x2 =

3

5 5

3

1 3

5 5

3 7

7  

Do đó x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2  x  10

3

5 5

3 7 14









 









157 1055 2103 105 340

Vậy đa thức cần tìm là 15x7 105x5 210x3 105x34

Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trước hết ta tách S

=x1 + x2 ; P= x1 x2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm x hiệu S; P từ đó tính được giá trị của biểu thức

VD4: Cho phương trình x2  x5 30 Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1, x2

Tính giá trị của biểu thức A = x1 2  x2 1

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

Hướng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 vế nghiệm x1 , x2

.Như vậy nếu để ý kỹ ta thấy  2

1

1 2  x 2

x

(Đề thi vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi năm học 2005-2006)

Có x1 + x2 = 5; x1 x2 = 3  x1 0, x2 0

Vì x1 là nghiệm của phương trình x2  x5 30 nên x12  x5 1 30

 x12 4x1 4x1 1

 x1 22 x1 1

  2 =

1 2

 x1 1= x1 2

Khi đó A = x1 1 x2 1

 A2 x1 x2 22 x1 x2 x1x2 1

 2= 5+2 - 2

A 5311

 A = 1 ( vì A 0

* ở VD7 sau không có mặt S4P3nhưng vội vằng bình phương 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc Thế nhưng nếu học sinh khéo thay thế x1 2 bởi x1 1như trên với bình phương 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đước 1 cách dễ dàng Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm

đó cũng là 1 phương án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều Với phương trình ax2 bxc0có 2 nghiệm x1 , x2 và S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Khi đó :

x x x x x Sx P

x2  1  2 1  1 2  1 

1

=

3

1

1 1

1 2

1

1.x x Sx P Sx Px

1 1

= S2 Px1 SP

x

x

1 3

3

1

1

4

VD 5: Cho phương trình x2  x2 10, có 2 nghiệm x1 , x2 ( x20 thì giá trị của các biểu thức :

A= x14 2x23 3x12 8x2 8

2 1

2 1 5

2

3 1

Hướng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1 áp dụng các hệ thức trên ta có:

;

1

2 1

2

1  x 

2  x 

x

4 1 2 2.1 5 2 2

3

2   x   x 

x

8 2.2.1 1 1.4 1 12 1 5

4

1   x    x 

x

5

12 2

4

2  x 

x

1 1

1 4

1

1

5

1 x x x 12x 5 12x 5x

= 122x1 15x1 29x1 12

Ta có :

A= x14 2x23 3x12 8x2 8

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

40 4 ) (

18

4 18

18

8 8 3 6 4 10 5

12

8 8 ) 1 2 ( 3 ) 2 5 ( 2 5

12

2

1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1















































x

x

x

x

x x

x x

x x

x x

2 1

2

1

5

2

3 1

2 1

2 1 1 2

2

3 1 3

5

12x  x  x  x   x   x

2

3 1 6

9x12  x1   x22  x2 

2

3 1

3x1   x2 

Vì phương trình có ac = -1 0 nên ,  x1 x2trái dấu mà x20x10Khi đó

2

3

1   x 

x

2

1

3 2

3 1

1  x    x x 

x

= 3.2 -

0

11 2

1 

* Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình Để làm được các bài tập kiểu này ta phải tìm S,P trong từng phương trình rồi xem xét, thay thế 1 cách hợp lý ( thường thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tách được giá trị của biểu thức đó

VD2: Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phương trình x2  ax10và x3, x4là nghiệm của phương trình x2  bx10 Tính giá trị của biểu thức:

M = x1 x3.x2 x3.x1  x4.x2 x4 theo a và b

Hướng dẫn: Theo hệ thức Viét ta có:

và















1

2

1

2

1

x

x

a

x

x













 1 4 3

4 3

x x

b x x

Do đó x1 x3.x2  x4x1x2  x1x4 x2x3 x3x4

= 1 + x1x4  x x2 3 1 = x1x4 x2x3

và x2 x3.x1  x4 x1x2 x2x4 x1x3 x3x4

= 1 + x2x4  x x1 3 1 = x2x4 x1x3

 M = x1x4 x2x3.x2x4 x1x3

3 2 1 4 3 2 2 4 3 2 1 2 4 2

1x x x x x x x x x x x

3 2 2 2 1 2

4 x x x

2 2 1 2 4 2

3 x x x

2 2 1 4 3 2 4

3 x 2x x x x 2x x

M= 2   2  2 2

2

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

VD 6: Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình : x2  px10

b,c là hai nghiệm của phương trình : x2  qx20

Chứng minh hệ thức ba.bc pq6

Hướng dẫn: Vì a,b là hai nghiệm của phương trình : x2  px10

b,c là hai nghiệm của phương trình : x2  qx20 nên theo định lý Viét ta

có :

;















1

ab

p b

a













 2

bc

q c b

Ta có b abc= b2 abbcac

= b2 abbcac2abbc = bab c ab 2abbc = abbc 2 abbc =     p q 212 pq6 ( Điều phải chứng minh)

Bài tập áp dụng :

BT1 Cho phương trình : 2x2  x20 Không tính nghiệm của phương trình hãy tính:

2

3

1 x

x 

b x1 x2

c

1

2 2 2

2

1





x x

x

d x1 x2 x2 x1

e x1  x2

BT2 Cho phương trình : 5x2  x3 10 Không tính nghiệm của phương trình , hãy tìm giá trị của mỗi biểu thức:

2 1 3 2 2 2 1 3

2x  x x  x  x x

1

2 1 2 2

1 2

1











x

x x

x x

x x

x













 2 1

1 1

x x

C 2x1 x2  2x2 x1

BT3 Cho phương trình x2 mxm70 Không tính nghiệm và x1 x2theo m, hãy tính

2 2

1 x

x 

B =

1

2 2 2

2 1





x x

x

2 1 2 2 1

2 2 2 1 2

1 3 4 4

x x x x

x x x x







4 Cho phương trình ax2 bxc0 a0 có 2 nghiệm x1; x2 Tính theo a,b,c các biểu thức

A= 5x1 3x25x2 3x1

B=

2 1 2 1

2

1

3

x x

x

x







5 cho phương trình x2  x5 10gọi x1; x2là các nghiệm của phương trình trên Tính :

A= x12 4x1 1.x22 4x2 1

B = x13 5x12 2.x23 5x22 2

6 Cho phương trình x2 a4xa2 3a30gọi x1; x2là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị của a để

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

( thi học sinh giỏi năm 2002 -2003) 9

8 1

2 2 1

2





ax x

ax

7 Cho phương trình x2  x10 có 2 nghiệm x1; x2 hãy tính giá trị của biểu thức

A = x1 3x2

2 8

1 x 13x

x  

8 Cho phương trình x2  x10gọi là nghiệm âm của phương trình Tính giá trị của biểu x1

1 10x 13 x

9 Cho phương trình ax2 bxc0a0 có 2 nghiệm x1; x2.thoả mãn x1 x22

CMR : b3 a2cac2 3abc

10 Giả sử phương trình x2 axb0 có nghiệm x1; x2và phương trình x2 cxd 0 có nghiệm x3,x4

CMR 2x x x x x x x x   bd2 a2 c2 bd  ac 2 bd

4 2 3 2 4 1 3

Dạng 3: ứng dụng địng lý Viét vào việc tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.

Nếu hai số v và V có tổng v + V = S và tích u.v =p thì v và V là nghiệm của phương trình x2 SxP0(*) Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là S2 4P0hay

Đó chính là điều kiện tồn tại hai số v và V mà tổng v + V = S và v V =P Như

P

S2 4

vậy khi biết tổng hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua tích giải phương trình bậc hai

VD2: Tính hai cạnh của 1 hình chữ nhật cho biết chu vi bằng 4a và diện tích bằng b2 ( a,b 0  cho trước)

Hướng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật ( 0x;y2a)

Theo giả thiết ta có x+y= 2a

x.y= b2

Do đó x,y là nghiệm của phương trình

(1) 0

2  aX b 

X

Có a2 b2 ab.ab

Vì a,b  0 a+b 0

* Nếu a b    0 Phương trình (1) có nghiệm là :

2 2

1 a a b

2 2

2 a a b

Vì P0 S  0 0X2X1 Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là:

hoặc





















2 2

2 2

b a

a

y

b a

a

x





















2 2

2 2

b a a y

b a a x

Nếu a=b  =0 (1) có nghiệm kép là x1 x2 a Khi đó hình chữ nhật là vuông cạnh a Nếu a b     0 (1) vô nghiệm khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn đầu bài VD1: Tìm 2 số a,b biết

a a+b = 10 và ab = 32

b a+b = 5 và a2 +b2 = 13

c a –b = 2 và ab = 80

d a2 +b2 = 29 và ab = 10

Các số a,b cần tìm ( nếu có) là nghiệm của phương trình x2-10x+ 32 = 0 có S2 4P

( hay 0)