Bài tập 2: Người ta định đánh số những chiếc ghế trong một giảng đường bằng cách ghi những chữ cái và tiếp theo là một số nguyên dương có hai chữ số.. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo
Trang 1ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
§1 Hai quy tắc đếm cơ bản
* Giả sử để hoàn thành một cộng việc ta thực hiện 1
theo phương án A hoặc phương án B
Trong đó:
có n cách thực hiện phương án A
m cách thực hiện phương án B
n + m (cách chọn) để hoàn thành một công việc
Giả sử để hoàn thành một công việc ta thực hiện liên tiếp 2 phương án , phương án A và
phương án B
Trong đó:
có n cách thực hiện phương án A
m cách thực hiện phương án B
n m ( cách chọn) để hoàn thành một công việc
* Mở rộng:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một
trong k phương án A1, A2, , Ak
Trong đó:
có n1 cách thực hiện phương án A1
n2 cách thực hiện phương án A2
nk cách thực hiện phương án Ak
n1 + n2 + + nk cách
* Mở rộng:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn
A1, A2, , Ak Trong đó:
có n1 cách thực hiện phương án A1
n2 cách thực hiện phương án A2
nk cách thực hiện phương án Ak
n1 n2 nk cách
Trong công việc có những từ: “ hoặc” , “trường
hợp” , “ một trong hai”
Trong công việc có những từ: “ và”
*Ví dụ áp dụng :
a,VD 1 : Lớp 11C cỳ 40 HS trong đó có 25 nam và 15 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một HS để đi tham dự Đại hội Đoàn trường ?
HD : Nếu một HS được chọ là HS nam thì có 25 cách chọn, nếu HS được chọn là HS nữ thì có 15 cách chọn do đó có 25 + 15 cách chọn
b, VD2:Từ thành phố A đến thành phố B có 7 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 5 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D qua B và C ?
HD: Đi từ thành phố A đến thành phố B có 7 con đường
Với mỗi cách chọn một con đường đi từ A đến B có 5 cách chọn đường đi từ B đến C
Mỗi cách chọn con đường đi từ A đến B và một con đường đi từ B đến C có 2 con đường đi từ C đến D
Vậy sẽ có 7.5.2 con đường đi từ A đến D
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn HS ngồi vào bàn học gồm 4 chỗ ngồi
HD: Gọi 4 vị trí bàn học lần lượt là 1, 2, 3, 4
Có 4 cách xếp một bạn HS ngồi vào vị trí thứ nhất
Trang 2Với mỗi cách xếp 1 HS vào vị trí 1 có 3 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 2
Với mỗi cách xếp 2 HS vào vị trí 1,2 có 2 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 3
Với mỗi cách xếp 3 HS vào vị trí 1,2,3 có 1 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 4
Vậy có 4.3.2.1 cách xếp 4 HS ngồi vào bàn học gồm 4 chỗ ngồi
3 Bài tập:
Bài tập 1: Trường THPT X có 500 HS lớp 10, 450 HS lớp 11 và 400 HS lớp 12 cần chọn một HS đại diện cho trường tham gia Ban chấp hành hội HS SV của thành phố Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Bài tập 2: Người ta định đánh số những chiếc ghế trong một giảng đường bằng cách ghi những chữ cái và tiếp theo là một số nguyên dương có hai chữ số Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu cái ghế
Bài tập 3: Từ các chữ só 1, 2, 3, 4, 5, 6 có bao nhiêu cách chọn:
a Số chẵn có sáu chữ số
b Số lẻ có sáu chữ số đôi một khác nhau
1 Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hỏi có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 4 chữ số
b) Số gồm 4 chữ số và chia hết cho 5
c) Số lẻ gồm 4 chữ số
d) Số chẵn gồm 4 chữ số
e) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
f) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
g) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
h) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
2 Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 , 8 , 9 } Hỏi có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 5 chữ số
b) Số gồm 5chữ số và chia hết cho 5
c) Số lẻ gồm 5 chữ số
d) Số chẵn gồm 5 chữ số
e) Số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
f) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
g) Số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
h) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 nếu:
a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau?
b) Các chữ số của nó khác nhau?
c) Các chữ số của nó hoàn toàn như nhau?
4 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 3, 5, 7 và lớn hơn 4000 nếu :
a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau?
b) Các chữ số của nó khác nhau?
Bài 5:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi 1 khác nhau (Chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0, nhưng không có mặt chữ số 1
Kết quả: 33600
Trang 3§2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Hoán vị
Đ
Ị
N
H
N
G
H
Ĩ
A
* Cho tập hợp A có n phần tử
Mỗi cách sắp xếp n phần tử
này theo một thứ tự ta được
một hoán vị của tập A.
* Cho tập hợp A gồm n phần tử và
số nguyên dương 1 k n
Khi lấy ra một tập con gồm k phần
tử của A và sắp xếp chúng theo
một thứ tự, ta được một chỉnh hợp
chập k của n phần tử của A (gọi tắt
là một chỉnh hợp chập k của A)
* Cho tập hợp A gồm n phần tử
và 1 k n
Mỗi tập con của A gồm k phần tử được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập k của
A)
KÍ
HIỆU * Số các hoán vị của một tập
hợp có n phần tử được ký
hiệu là Pn và bằng n!
* Số chỉnh hợp chập k của một tập hợp n phần tử được ký hiệu là Akn * Số các tổ hợp chập k của một tập hợp
n phần tử được ký hiệu là k
n
C
CÔNG
THỨC
n n! = n(n - 1)(n - 2) 2.1
p
k)!
-(n
n!
1)
k -(n 2) -1)(n -n(n
(Với 0 k n)
Với quy ước A0n 1 và 0! = 1,
k)! -(n k!
n! k!
1)
k -(n 2) -1)(n -n(n k!
A C
k n k
với 0 k n
Các tính chất của : k
n
C
k = ;
n
C n - k
n
C
k 1 n
n
C k - 1
n
C
DẤU
HIỆU
NHẬN
BIẾT
Có n phần tử sắp xếp n phần
tử Có n phần tử sắp xếp k phần tử ( Quan tâm thứ tự của các phần tử)
“ Kể thứ tự”
Có n phần tử sắp xếp k phần tử
( Không quan tâm thứ tự của các phần tử)
“ Kể thứ tự”
*Dạng 1: Hoán vị
*Phương pháp: +, Dùng khi xếp n phần tử vào n vị trí có thứ tự
+, Dùng công thức P n n! Dùng quy tắc đếm
*Ví dụ áp dụng:
a, VD1: Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn A, B, C, D vào bốn chiếc ghế kê thành hàng?
HD: Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của bốn bạn và ngược lại Vậy số cách xếp là: P4 = 4! = 24 (cách)
b,VD2: một HS có 12 quyển sách đôi một khác nhau trong đó có 2 quyển sách Toán, 4 sách văn, 6 sách Anh văn Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cũng muốn
được xếp kề nhau
*Dạng 2: Chỉnh hợp
* Phương pháp: +, Dùng khi chọn k phần tử từ n phần tử có thứ tự ( bài toán về các số, chọn người có chức
danh, có nhiệm vụ khác nhau)
+, Dùng công thức ( 1) ( 1) ! !
k n
n
n k
+, Dùng quy tắc đếm
Trang 4*Ví dụ áp dụng:
a,VD: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm năm chữ số khác không và đôi một khác nhau ?
HD: Mỗi số cần tìm có dạng a a a a a1 2 3 4 5 trong đó a i a j với i j và a i1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 ,i1, , 5 Như vậy có thể coi mõi số dạng trên là một chỉnh hợp chập 5 của 9 (chữ số) Do đó, số các số cần tìm là:
(số)
5
9
9!
9.8.7.6.5 15120
4!
b,VD2:Một lớp học có 30 học sinh gồm 18 nữ và 12 nam Ta muốn lập một ban chấp hành lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó văn thể mĩ và một thư kí Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban chấp hành khác nhau, nếu:
a,Chọn tuỳ ý(Không phân biệt nam, nữ)
b, Lớp trưởng là nam sinh, lớp phó là nữ sinh
c, Lớp trưởng là nữ sinh và thư kí là nam
*Dạng 3: Tổ hợp
*Phương phỏp:
+, Dùng khi chọn k phần tử từ n phần tử không chú ý đến thứ tự
+, Dùng công thức ( 1) (! 1) ! ! !
k n
C
+, Dùng quy tắc đếm
*Ví dụ áp dụng:
a,VD1: Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau ?
HD: Kết quả sự phân công là một nhóm gồm ba bạn, tức là một tổ hợp chập 3 của 10 bạn Vậy số cách phân
công là: 103 10! 120 (cách)
3!(10 3)!
b,VD2: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành ba nhóm: một nhóm 5 người, một nhóm 3 người và một nhóm 2 người?
1 Một nhóm học sinh có 10 nam và 4 nữ Chọn 4 học sinh để trực nhật lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu
a) Chọn học sinh nào cũng được?
b) Trong 4 học sinh được chọn có đúng một nữ?
c) Trong 4 học sinh được chọn có ít nhất một một nữ?
Bài 18 Một lớp học có 25 nam và 15 nữ Cần chọn ra một ban cán sự gồm 3 người Hỏi coa bao nhiêu cách
chọn ban cán sự có ít nhất 1 nam
Bài 19 Có bao nhiêu cách chia một lớp 50 học sinh (30 nam, 20 nữ) thành 5 tổ mỗi tổ 6 nam, 4 nữ
Bài 20 Có 5 hành khách và 3 toa tàu đều có chỗ trống Có bao nhiêu cách xếp khách lên các toa tàu để mỗi
toa có ít nhất 1 khách
Bài 21 Một đội văn nghệ có 20 người trong đó 10 nam, 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
a Có 2 nam
b Có ít nhất 2 nam
c có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ
Bài 22 Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước khác nhau từng đôi một Có bao nhiêu cách chọn ra 6
bi sao cho
a trong đó có đúng hai viên bi đỏ
b Số bi xanh bằng số bi đỏ
Bài 23 Một đội văn nghệ có 10 hs (6 nam, 4 nữ),
a có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm sao cho:số người bằng nhau và số nữ bằng nhau
b Có bao nhiêu cách chọn ra nhóm 5 người trong đó có không quá 1 nam
Bài 24 Trên mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đó
Bài 25 Trên mp cho 10 đường thẳng và 10 đường tròn Tính số giao điểm tối đa có thể có giữa các đường.
Trang 5Bài 26 Cho thập giác lồi Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác
Bài 27 Cho đa giác đều 2n cạnh nội tiếp đường tròn (O)
a Cho n = 6 Tính số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của
đa giác
b Giả sử n≥2 ta thấy số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh là
đỉnh của đa giác Tìm n?
Bài 28 Có 30 câu hỏi khác nhau, trong đó có 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ Có bao nhiêu cách tạo đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho có đủ loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 2
Bài 29 Đội thanh niên xung kích của trường có 12 học sinh gồm 5 hs khối 12, 4 hs khối 11 và 3 hs khối 10.Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho trong 4 hs thuộc không quá hai trong 3 khối
4 Phương trình, BPT tổ hợp.
Bài 30 Gải các phương trình
2
2
2A x 50 A x
3
1
1
24 23
n n
A
g C1x6C x26xC x3 9x214x h 2 2
2 4
14.3!.C x x A x
Bài 31 Giải các hệ phương trình
3 2
5 5
7
1
1
2
126
720
x
y y x
y x x
A
C P
P
5
3 720 5
120
x y x y x y
x y
P
1 1
1
5 2
5 4 2
x y x y x y
Bài 32 Giải các BPT, hệ PT
5 15( 3)( 2)( 1)
x
c A12n2A22n 6A23n 7n d
3 2 2
24 120
x y
x y
A P x
e
3
4
1
3 1
14
1 P A
C
n
n
