Bài tập Hình học chương I lớp 1028914

AB   Vectơ – khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .0  Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.. Phân tích vectơ Để chứ

CHƯƠNG I VECTƠ

I VECTƠ

1 Các định nghĩa

 Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng Kí hiệu vectơ cĩ điểm đầu A, điểm cuối B là

AB



 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đĩ.

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu

AB



 Vectơ – khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

 Hai vectơ cùng phương cĩ thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cĩ cùng độ dài.

Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a b , ,  để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ 0

Mọi vectơ đều bằng nhau.0

2 Các phép tốn trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta cĩ:   AB BC AC 

 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta cĩ:   AB AD  AC

 Tính chất: a b    b a  ; a b    c  a  b c ;

a  0 a 

b) Hiệu của hai vectơ

 Vectơ đối của là vectơ sao cho a  Kí hiệu vectơ đối của là

b 

a



 Vectơ đối của là 0 0

 a b     a   b 

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta cĩ: OB OA    AB

c) Tích của một vectơ với một số

 Cho vectơ và số k a   R là một vectơ được xác định như sau:

ka 

+ ka  cùng hướng với nếu k  0, ngược hướng với nếu k < 0.

a 

ka 

a 

+ ka   k a.

 Tính chất: k a bka kb  ; ;

k l a ka la

(  )   k la  ( )kl a 

 k = 0 hoặc

ka  0 a 0

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b a    0cùng phương  k R b:ka 

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  k (  0):  ABk AC 

 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng

cùng phương a b , và x  tuỳ ý Khi đĩ duy nhất cặp số m, n  R:

x  ma nb  

Chú ý:

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB    MA MB 0  OA OB   2OM  (O tuỳ

 Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ABC  GA GB GC     0  OA OB OC     3OG  (O tuỳ ý)

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ

Bài 1. Cho tứ giác ABCD Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác ) cĩ điểm đầu 0

và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

Bài 2. Cho ABC cĩ A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh: BC  C A   A B 

b) Tìm các vectơ bằng B C C A     ,

Bài 3. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD,

AD, BC Chứng minh: MP QN ; MQ PN 

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD cĩ O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh: a)   AC BA  AD ; AB AD   AC

b) Nếu   AB AD  CB CD   thì ABCD là hình chữ nhật

Bài 5. Cho hai véc tơ a b ,  Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng:

a b    a b  

Bài 6. Cho ABC đều cạnh a Tính AB AC   ;   AB AC

Bài 7. Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính    AB AC AD

Bài 8. Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HC   , ,

Bài 9. Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các vectơ   AB AD ,

AB AC

 

AB AD

 

Bài 10.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Gọi H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC AO cắt (O) tài A’ ( A), BO căt (O) tại B’ ( B). 

a) Chứng minh:    AHB C HC' ; AB'

b) So sánh 2 vectơ: HM ,MA'

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phân tích vectơ

Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất của các hình.

- Tính chất vectơ - Khơng

Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

a)   AB DC AC DB   b)    AD BE CF     AE BF CD 

Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng

minh:

a) Nếu  AB CD thì  ACBD  b)   AC BD AD BC   2IJ 

c) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD       0

d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của

AD và BC Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN cĩ chung trung điểm

Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng

minh: 2(    AB AI JA DA ) 3 DB 

Bài 4. Cho ABC Bên ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS

Chứng minh: RJ IQ PS     0

Bài 5. Cho tam giác ABC, cĩ AM là trung tuyến I là trung điểm của AM

a) Chứng minh: 2IA IB IC     0

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OC     4OI 

Bài 6. Cho ABC cĩ M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm

đường trịn ngoại tiếp Chứng minh:

a)  AH2OM  b) HA HB HC     2HO  c) OA OB OC     OH 

Bài 7. Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt cĩ các trọng tâm là G và G

a) Chứng minh    AABBCC 3GG 

b) Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm

Bài 8. Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng

minh: AM 1AB 2AC

Bài 9. Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là

điểm thuộc AC sao cho CN 2 NA K là trung điểm của MN Chứng minh:

KD 1AB 1AC

Bài 10.Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC Chứng minh

rằng:

AM 1OB OA

2

  

BN 1OC OB

2

2

  

Bài 11.Cho ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:

AC 4CM 2BN

MN 1BN 1CM

  

Bài 12.Cho ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G

3

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH 1AC 5AB.

  

Bài 13.Cho hình bình hành ABCD, đặt  ABa AD ,b  Gọi I là trung điểm của CD, G

là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AG  , theo a b , 

Bài 14.Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơ BC và BD   theo các vectơ

AB và AF

 

Bài 15.Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích

vectơ  AM theo các vectơ

OA OB OC   , ,

Bài 16.Cho ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao

cho MB 3  MC NA, 3CN PA PB   ,  0

a) Tính PM PN  , theo AB AC  , b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng

Bài 17.Cho ABC Gọi A1, B1, C1lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

a) Chứng minh: AA BB CC   1 1 10

b) Đặt BB 1u CC ,1v  Tính BC CA AB   , , theo u và v  

Bài 18.Cho ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên

cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC

a) Tính   AI AF theo AB và AC,  

b) Gọi G là trọng tâm ABC Tính  AG theo AI và AF  

Bài 19.Cho ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B

a) Chứng minh: HA 5HB HC   0

b) Đặt  AGa AH , b  Tính   AB AC, theo a và b  

Bài 20 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC, đường chéo

BD theo thức tự ở E, F, M1 Biết: DE m DA DF  ; n DC. (m, n > 0) Hãy biểu diễn: qua và m, n

1

DM



DB



……….

VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a  , trong đĩ O và đã a  được xác định Ta thường sử dụng các tính chất về:

– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.

– Hình bình hành.

– Trung điểm của đoạn thẳng.

– Trọng tâm tam giác, …

Bài 1. Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC     0

Bài 2. Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường

thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI

a) Chứng minh: BN BA   MB 

b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI   ND  ;   NM BN NC .

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh rằng:    AB AC AD2 AC

b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AMAB AC    AD

Bài 4. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

a) Chứng minh: MN 1 AB DC

2

  

b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD       0

Bài 5. Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là

trung điểm của MN Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta cĩ:

SA SB SC SD   4SO

    

Bài 6. Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) 2IB 3IC  0 b) 2JA JC JB CA     

c) KA KB KC     2BC  d) 3LA LB   2LC  0

Bài 7. Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) 2IA 3IB 3BC  b) JA JB   2JC  0

c) KA KB KC     BC  d) LA 2LC AB 2 AC

Bài 8. Cho ABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IA IB IC  BC  b) FA FB FC       AB AC

c) 3KA KB KC     0 d) 3 LA2LB LC   0

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các

đẳng thức sau:

a) IA IB IC     4ID  b) 2FA 2FB  3FC FD  

c) 4KA 3KB 2KC KD   0

Bài 10.Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho  MDMC  AB, ME  MA BC   ,

Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M

MFMB CA

  

b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC và MD ME MF        

Bài 11. Cho tứ giác ABCD

a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD       0 (G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD).

b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta cĩ: OG 1OA OB OC OD

4

    

Bài 12. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD A, B, C, D lần lượt là trọng tâm của các

tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:

a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA, BB, CC, DD

b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác ABCD

Bài 13.Cho tứ giác ABCD Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k

sao cho các vectơ đều bằng v  với mọi điểm M:

k MI.

a) v   MA MB 2MC  b) v  MA MB   2MC 

c) v     MA MB MC MD   d) v  2 MA2  MB MC 3MD 

Bài 14 Cho đường trịn (O;R) và hai điểm cố định A, B Với mõi điểm M xác định M’ sao cho: MM  'MA MB Hãy xác định vị trí M’ biết M chạy trên (O;R)

Bài 15 Cho tam giác ABC (BC = a; CA = b; AB = a) Xác định điểm I sao cho:

a IA b IB c IC   0

………

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Hai điểm trùng nhau

 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức  ABk AC  , với k  0.

 Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức OM  ON  , với O là một điểm nào đĩ hoặc MN 0

Bài 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA 2OB 3OC 0 Chứng tỏ rằng A, B, C

thẳng hàng

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:

Chứng minh: A, K, H thẳng hàng

BH 1BC BK, 1BD

   

HD: BH    AHAB BK;   AKAB

Bài 3. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB 2IC , JC 1JA ,

2

 

KA KB

 

a) Tính IJ IK theo AB và AC  ,   (HD: IJ AB 4AC)

3

  

b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB).

Bài 4. Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M,

N, P sao cho MB 3 MC, NA 3CN , PA PB   0

a) Tính PM PN  , theo   AB AC,

b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao

cho AD = 1AF, AB = AE Chứng minh:

2

1 2 a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng

b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành

Bài 6. Cho ABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IA 3IC 0, JA 2JB 3JC 0

Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng

Bài 7. Cho ABC Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA 4 MB0, NB 3 NC0

Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC

Bài 8. Cho ABC Lấy các điểm M N, P: MB2 MC NA2 NCPA PB   0

a) Tính PM PN theo AB và AC  ,   b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 9. Cho ABC Về phía ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS

Chứng minh các tam giác RIP và JQS cĩ cùng trọng tâm

Bài 10.Cho tam giác ABC, A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B

qua C, C là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ chung trọng tâm

Bài 11.Cho ABC Gọi A, B, C là các điểm định bởi: 2 A B 3A C  0,

, Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ

B C B A

2 3 0 2C A  3C B  0

cùng trọng tâm

Bài 12.Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy các điểm A, B, C sao cho:

Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ chung trọng tâm

Bài 13.Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý Gọi A, B, C lần lượt là điểm đối xứng

của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng qui tại một điểm N

b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luơn đi qua trọng tâm G của

ABC

Bài 14.Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3 MA4MB 0,

Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ABC

CN 1BC

2



 

Bài 15.Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho

BDDEEC

  

a) Chứng minh   AB AC   AD AE

b) Tính  AS    AB AD AC  AE theo AI  Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng

Bài 16.Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức

BM BC2AB

  

CN x AC BC   a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.

b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC Tính IM

IN

Bài 17.Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c  0

a) Chứng minh rằng cĩ một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC    0 b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho  MPaMA bMB cMC    Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng

Bài 18.Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN  2MA 3  MB MC

a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA 3IB IC   0

b) Chứng minh đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định

Bài 19.Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN  2MA MB MC    

a) Tìm điểm I sao cho 2IA IB IC     0

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm

cố định

Bài 20.Cho tam giác ABC Các điểm P, Q thoả mãn: 2







 

  

a) Biểu diễn:  AP AQ, theo

,

AB AC

 

b) Chứng minh rằng: PQ đi qua trọng tâm của tam giác ABC

thoả mãn đẳng thức vectơ

Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đĩ

để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết Chẳng hạn:

– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ.

– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi đường trịn cĩ tâm

là điểm cố định và bán kính là khoảng khơng đổi.

– Tập hợp M qua A cĩ vtcp cho trước,

Bài 1. Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) MA MB      MA MB b) 2MA MB    MA 2MB 

Bài 2. Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

2

    

MA BC  MA MB

   

c) 2MA MB    4  MB MC d) 4MA MB MC      2MA MB MC    

Bài 3. Cho ABC

a) Xác định điểm I sao cho: 3IA 2IB IC   0

b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:

MN 2MA2MB MC

   

luơn đi qua một điểm cố định

c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA 2HB HC    HA HB  

d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: KA KB KC2    3KB KC  

Bài 4. Cho ABC

a) Xác định điểm I sao cho: IA 3IB 2IC 0

b) Xác định điểm D sao cho: 3DB 2DC 0

c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA 3 MB2MC   2MA MB MC    

Bài 5 Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

3 |MA MB MC     MD| 4 | MB MD MC    |

VẤN ĐỀ 5: Áp dụng vectơ giải tốn

Bài 1 Cho hai tam giác: ABC, A1B1C1 A2, B2, C2 theo thứ tự là trọng tâm các tam giác : BCA, CAB1, ABC1 G, G1, G2 theo thứ tự là trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 A2, B2,

C2

Chứng minh: G, G1, G2 Tính tỉ số: 2 ?

1

G G

G G

Bài 2 Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm M, trên BC lấy điểm N sao cho: AM = 3MC, NC = 2BN, gọi O là giao điểm của AN và BM Biết diện tích tam giác OBN bằng

1, tính diện tích tam giác ABC

Bài 3 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc cạnh AB và khơng trùng với các đỉnh ta cĩ: MC.AB < MA.BC + MB.AC

II TOẠ ĐỘ

1 Trục toạ độ

 Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị Kí hiệu e   O e;

 Toạ độ của vectơ trên trục: u ( )a  u  a e.

 Toạ độ của điểm trên trục: M k( )OM k e.

 Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a  ABa e.

Chú ý: + Nếu  AB cùng hướng với e  thì

ABAB Nếu  AB ngược hướng với e  thì

AB AB + Nếu A(a), B(b) thì AB b a

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC

2 Hệ trục toạ độ

 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần

lượt là i j  , O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.

 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u ( ; )x y  u  x i.y j.

 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y( ; )OM x i.y j.

 Tính chất: Cho a  ( ; ),x y b ( ; ),x y  kR, :

A x( ; ), ( ; ), ( ; )y B x y C x y

y y

 









a b   (x x y y ;  ) ka ( ; )kx ky

a  0 x kx và yky

 x y (nếu x  0, y  0).



+ AB (x Bx A;y By A)

+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: I x A x B I y A y B

+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: A B C A B C

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: M x A kx B M y A ky B

( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA k MB )

………

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục

Bài 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là 2 và 5.

a) Tìm tọa độ của  AB

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA 5 MB0

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA3NB 1

Bài 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là 3 và 1

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA2MB1

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA3NBAB

Bài 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2), B(4), C(1), D(6).

b) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh: IC ID IA  2

c) Gọi J là trung điểm của CD Chứng minh: AC AD AB AJ 

Bài 4. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C cĩ tọa độ lần lượt là a, b, c.

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC     0

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA3 NB NC

Bài 5. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý

a) Chứng minh: AB CD AC DB DA BC   0

b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL cĩ chung trung điểm

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục

Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:

a) a 2i 3 ;j b 1i 5 ;j c 3 ;i d 2j

3

            

b) a i 3 ;j b 1i j c; i 3 j d; 4 ;j e 3i

               