Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.. c Tìm m để hàm s
Trang 1Xét hàm số bậc ba : y=ax3+bx3+ +cx d⇒ y′=3ax2+3bx+c
DẠNG 1 TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
3
b
Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị
Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức
là ∆≤ 0
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị
3
Hướng dẫn giải:
Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên
miền xác định), điều đó xảy ra khi y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
′
Hàm số có hai cực trị khi y′ đổi dấu trên miền xác định, điều đó xảy ra khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
2
2
> +
−
<
m
m
Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi 3 5 3 5
m
- Hàm số có hai cực trị khi 3 5; 3 5
y mx m x mx m tùy theo giá trị của tham số m
Hướng dẫn giải:
Ta có y′ =3mx2+2(m−2)x+2 m
TH1 : m = 0
Khi đó y′= −4 ;x y′= ⇔ =0 x 0, trong trường hợp này hàm số có một cực trị
TH2 : m ≠ 0
Hàm số không có cực trị khi 2
0
2 2 6
2 2 6 0
5
2 2 6
5 5
≠
≠
≠
m
m m
m m
Tài liệu tham khảo:
02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng
Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
0 0
0
≠
≠
⇔∆ >′ ⇔ + − < ⇔ ≠
m
m
Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi 2 2 6; 2 2 6
- Hàm số có một cực trị khi m = 0
- Hàm số có hai cực trị khi
0
− − < <− +
≠
m m
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1 Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu:
b) y=x3−3(m−1)x2+(2m2−3m+2)x−m m( −1)
Bài 2 Tìm m để hàm số y= + −x3 (1 2m x) 2+ −(2 m x) + +m 2 không có cực trị
3
DẠNG 2 TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại và cực
tiểu)
Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x1 ; x2 Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
B
A C
x x A Phương pháp thực hiện :
+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔∆ > 0, (*)
+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng
Ta xét một số dạng tính chất điển hình
Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x o
Cách 1 (sử dụng điều kiện cần và đủ):
+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x=x o ⇔ y x′( )o = 0 →m
+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay
cực tiểu tại điểm x o hay không
Cách 2 (sử dụng y’’) :
+ Hàm số đạt cực đại tại ( )
( )
0
0
′
′′ <
o o
o
y x
+ Hàm số đạt cực tiểu tại ( )
( )
0
0
′
′′ >
o o
o
y x
Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại ( )
( )
0 0
′
o o
o
y x
3
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0
Trang 3c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Hướng dẫn giải :
Ta có y′=x2−2(m+2)x−m⇒y′′=2x−2(m+2 )
4
> −
′
< −
m
m
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0
Cách 1:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y′( )0 = ⇔ =0 m 0
+ Với m = 0 thì ta có 2 4 0 0
4
=
=
x
x
Ta có bảng biến thiên:
x −∞ 0 4 +∞
y’ + 0 − 0 +
y
CĐ +∞
−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
Cách 2:
Hàm số đạt cực đại tại ( )
( )
′
m y
Vậy m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 2
Cách 1:
5
2
5
=
=
x
x
Ta có bảng biến thiên:
x
−∞ 2
5 2 +∞
y’ + 0 − 0 +
y
CĐ +∞
−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2
5
= −
m là giá trị cần tìm
Cách 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại ( )
( )
4
0
′
− >
m y
m
5
= −
m thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho hàm số y= − +x3 (2m−1)x2+2mx−3
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = −1
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 3
Trang 4Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng
Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước
Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương
1 2
0 0
0
0
0
B
A
−
>
Hai điểm cực trị cùng có hoành độ âm
1 2
0 0
0
0
0
B
A
−
<
= + <
Hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu
Khi đó ta có x1 0 x2 P x x1 2 0 C 0
A
Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α
α
2α
A
A
Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α
α
2α
A
A
Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x1 < α < x2
Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
B
A C
x x A
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn + = 1 2
2x x .
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1
Hướng dẫn giải:
Ta có y′ =3x2+2(m−1)x−3m
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
( )
7 3 5 2
7 3 5 2
>− +
′
<− −
m
m
Trang 5Vậy với
7 3 5 2
7 3 5 2
>− +
<− −
m
m
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu
b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0
Theo định lí Vi-ét ta được 1 2
1 2
2(1 ) 3
−
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 1 13
6
m=− +
là giá trị cần tìm
c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0
Theo định lí Vi-ét ta được 1 2
1 2
2(1 ) 3
−
m
3
8
8 0
3
5 5
+
> −
< −
< −
m
m
m m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 8 7 3 5
2
− < < là giá trị cần tìm
d) Ta có
1 2
2
1 6
1 6
m
m
Bảng biến thiên
x −∞ x1 x2 +∞
y’ + 0 − 0 +
y
CĐ +∞
−∞ CT
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ 1 1
6
′
− − ∆
x
Theo bài ta có
( )
5 0 1
− − ≥
′
′
∆ < − −
m m
m
≤ −
> −
m m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 8 7 3 5
2
− < < là giá trị cần tìm
// Ví dụ này thầy tính nhầm nhé, hê hê //
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1−x2 ≤2.
Hướng dẫn giải:
Trang 6Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng
Ta có y′ =3x2−6(m+1)x+9
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2⇔ ∆ >′ 0
( )
> − +
< − −
m m
m
Theo định lý Vi-et ta có 1 2
1 2
2( 1) 3
=
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3 1 3
− ≤ < − −
m m
là các giá trị cần tìm
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn 1− 2 >1
3
Hướng dẫn giải:
Ta có y′=3x2+2(1 2− m x) +2−m
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2
( )
5
1
>
′
< −
m
m
Theo định lý Vi-et ta có
1 2
(1 2 ) 3 2
2
3
−
−
m
m
x x
1
1
9
2
8
8
> +
−
<
m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
8 1
> +
< −
m m
là các giá trị cần tìm
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1+2x2=1.
Hướng dẫn giải:
Ta có y′ = −x2 2(m−1)x+3(m−2)
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆ =′ m2−5m+ >7 0, ∀m
Khi đó ta có
( )( )
4
− ±
4
− ±
=
m là các giá trị cần tìm
Ví dụ 5: Cho hàm số y=x3+(1 – 2 )m x2+(2 –m x) + +m 2.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1
Hướng dẫn giải:
Ta có y′ =3x2+2(1 2 )− m x+ − =2 m g x ( )
Do hệ số a = 3 > 0 nên yêu cầu bài toán trở thành y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn
Trang 71
−
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 = −4x 2
Hướng dẫn giải:
Ta có y′=12x2+2mx−3⇒∆ =′ m2 +36>0 Khi đó
1 2
4
9
1 4
= −
= −
m
x x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số y= +x3 (m+2)x2−(m−1)x+2
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x12+x22<10
d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1
Bài 2: Cho hàm số y=2x3−3(m+3)x2+6 5( m+1)x−4m3−1
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2
y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2
3
y x m x m m x m Gọi x1, x2 là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm số
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1
b) Tìm m sao cho biểu thức P= x x1 2−2(x1+x2) đạt giá trị nhỏ nhất
3
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 1 1
3
+
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Tính chất 4: Các cực trị nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị với
yCĐ.yCT < 0
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với yCĐ.yCT >
0
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3+3x2+mx+m– 2, với m là tham số
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành
Hướng dẫn giải:
Ta có y′ =3x2+6x+m , hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Tức là ∆ = −′ 9 3m> ⇔ <0 m 3
Trang 8Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng
1
= −
x
Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
− = − ≠
Vậy m < 3 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2: Cho hàm số y= − +x3 (2m+1)x2−(m2−3m+2)x−4, với m là tham số
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
Hướng dẫn giải:
Ta có y′= −3x2+2(2m+1)x−(m2−3m+2)
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( )2 ( 2 )
′
2
13 3 21 2
13 3 21 2
>− +
− −
<
m
m Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu
3 m −3m+ < ⇔ < <2 0 1 m 2
Kết hợp điều kiện ta được 1 < m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
3
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung
Hướng dẫn giải:
Ta có y′= −x2 2mx+2m−1
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔′ 0 m2−2m+ > ⇔ ≠1 0 m 1
Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm cùng
2
⇔ac> ⇔ m− > ⇔ >m
Kết hợp điều kiện ta được 1 1
2< ≠m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Tính chất 5: Các bài toán cực trị khi y′′′′ = 0 giải được nghiệm ‘đẹp’
Khi phương trình y′ = 0 có ( )2
ax b
∆ = + thì điều kiện để hàm số có cực trị là ( )2
a
2
y
=
=
và sử dụng yêu cầu của đề bài để giải ra tham số
Tìm giá trị của m để hàm số có cực trị Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng 2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O
Hướng dẫn giải :
Ta có y′=3x2−6mx+3(m2−1)⇒y′= ⇔0 x2−2mx+m2− =1 0
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = > ∀′ 1 0, m
0
y
Do hệ số a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của hàm số
3 2 2
= − −
m
m
Vậy m= − ±3 2 2 là các giá trị cần tìm
Trang 9Ví dụ 2: Cho hàm số ( − )
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 3+ 3>
d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2+ 2=
Hướng dẫn giải :
Ta có y′=x2−(3m−1)x+3m−2⇒y′= ⇔0 x2−(3m−1)x+3m− =2 0
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
b) Với
( ) ( )
1 2
2
x
′
Hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu lớn hơn 2 khi 3m− > ⇔ >1 2 m 1
Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu lớn hơn 2
4
3
d) Do vai trò bình đẳng của x1 ; x2 nên ta có hai trường hợp xảy ra
1 10
3
Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được 1 10
3
Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được 2 22
6
3
120
AOB
Hướng dẫn giải :
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4)
Ta có OA=(0; ), m OB= −( 2;m+4) Để 1200 cos 1
2
2
4
12 2 3
3
− < <
− < <
− +
=
m
m m
m
m m
3
= − +
m là giá trị cần tìm
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x + 8y −−−− 74 = 0
Hướng dẫn giải :
2
=
=
x
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇒ m ≠ 0
Trang 10Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng
Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là A(0; 3− m−1),B m m(2 ;4 3−3m−1)⇒AB m m(2 ;4 3)
Trung điểm I của AB có toạ độ I m m( ; 2 3−3m−1)
Đường thẳng d: ( )d :x+8y−74=0 có một véc tơ chỉ phương u= −(8; 1)
∈
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
2
m
Tìm m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu
b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2
c) hàm số đạt cực đại tại x = 0
d) hàm số không có cực đại, cực tiểu
e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1
Hướng dẫn giải :
2
m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Ta có điều kiện ( )2
Vậy với m ≠ 2 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi hệ sau có nghiệm (2) 0, ( )
(2) 0
′′ >
y
I y
Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó ( ) 4 2 1 0 3 3
Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm (0) 0, ( )
(0) 0
′′ >
y
I y
Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ ( ) 1 0 1 1
Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm
d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔∆≤ 0 ⇔ (m – 2)2≤ 0
Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị
e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x2 – mx + m – 1 = 0
2
2
1
2 2
2
1
m
y
m
−
+ −
=
Gọi A(x1, y1) và B(x2, y2) là các điểm cực đại, cực tiểu Khi đó
2
2
Đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với d : y = 9x + 1 khi
2
m
−
−
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1
2(2 1) 3
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm
