Chuyên đề luyện thi THPT quốc gia 2016 2017 môn Toán28702

Gi i ph ng trìnhfx gx.

CHUYểN NG D NG TệCH PHỂN BAO G M CÁC D NG TOÁN CÓ L I

GI I CHI TI T, 70 BÀI T P TR C

NGHI M CÓ L I GI I CHI TI T VÀ 260 BÀI T P TR C NGHI M CÓ ÁP ÁN

LIÊN H : 0934286923

NG I BU N C NH CÓ VUI ỂU BAO GI

NG D NG TÍCH PHÂN

I Di n tích hình ph ng

1 Các d ng bài t p

D ng 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng

y f(x), x a, x b và tr c hoành

Ph ng pháp

B c 1 L p b ng xét d u hàm s f(x) trên đo n [a; b]

B c 2 D a vào b ng xét d u tính tích phân

b

a

f(x) dx S

Ví d 0 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 x 0, x 2 và Ox

Gi i

Trên [0;2] ta có x2   0 x [0;2]

V y di n tích hình ph ng đư cho

2

0

S x dxx dx x 

Ví d 1 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i

2

y x 4x 3, x 0, x 3 và Ox

Gi i

B ng xét d u

x 0 1 3

y ậ 0 + 0

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx x 4x 3 dx

Ví d 2 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y ln x, x 1, x e và Ox

Gi i

Do ln x 0 x 1; e nên:

e 1

S ln x dx ln xdx x ln x 1 1

Ví d 3: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y ln x2

x

 ,

y0,x 1,x e. 

0, x 1; e

x    nên di n tích hình ph ng c n tìm là:

e 2 e 2

t: t ln x dt 1dx

x

i c n: V i x 1 ta đ c t 0

V i x e ta đ c t 1

Khi đó:

1 1

0 0

1

3

   V y: Di n tích hình ph ng c n tìm b ng

1

3

Ví d 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng

y  x x x y

Gi i

Ta có        x 2 (x 2) 0 x [0;3]

V y di n tích c n tính là

3

21

x

        

 

Ví d 5: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s ( ) 2

1

x

x

 

 ,

tr c hoành và các đ ng th ng x 1,x 0

Gi i

2

1

x

x x



BXD

x - -2 1 +

2

1

x

x

 



- + -

1

x

x x



V y di n tích c n tính là

0

1

3



     

     

Ví d 6: Cho hàm s yx3 3x2 2 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i tr c hoành, tr c tung và đ ng th ng x = 2

Gi i

Tr c tung có ph ng trình x = 0

3 2 1 [0;2]

2 [0;2]

x

x

 



      

BXD:

x - 1 2 + 

3 2

x  x  + - +

D a vào BXD ta có x3 3x2    2 x [0;1], x33x2    2 x [1;2]

V y di n tích càn tính là

5

        

        

D ng 2: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng

y f(x), y g(x), x a, x b

Ph ng pháp

B c 1 L p b ng xét d u hàm s f(x) g(x) trên đo n [a; b]

B c 2 D a vào b ng xét d u tính tích phân

b

a

f(x) g(x) dx S

Ví d 0: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng

2

yx y  x x x

Gi i

t f x( )x g x2, ( )  2x 3 ta đi xét d u ( )f x g x( )

3 [0;2]

x

x

 



          

BXD:

x 0 1

2

f x g x - / +

V y di n tích hình ph ng đư cho

S x  x dx x  x dx  x  x dx

            

Ví d 1 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các

đ ng:y x3 11x 6, y 6x , 2 x 0, x 2

Gi i

h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (lo i)

B ng xét d u

x 0 1 2 h(x) ậ 0 + 0

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx

Ví d 3: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th c a hai hàm

s yx33x2  x 3, y  x3 4x2  x 4 và hai đ ng th ng x0,x 2

Gi i

t: f x( ) x3 3x2  x 3, ( )g x   x3 4x2  x 4

3 2

1 [0;2]

2

1 [0;2]

x

x



  





          

   





V y di n tích c n tính là

S x x  x dx  x x  x dx   x x  x dx 

Ví d 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i yx2 2 ,x yx2 1,x 1,x2

Gi i

Ph ng trình hoành đ giao đi m: 2 1 0 1

2

x     x

Di n tích c n tính là

1

1

2

1 1

2

13

2







            

D ng 3: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y f(x), y g(x)

Ph ng pháp

B c 1 Gi i ph ng trìnhf(x) g(x)

B c 2 L p b ng xét d u hàm s f(x) g(x) trên đo n ; Trong đó , là nghi m nh nh t và l n nh t c a ph ng trìnhf(x) g(x)

B c 3 D a vào b ng xét d u tính tích phân f(x) g(x) dx S

Ví d 0: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng 2

yx y x

Gi i

t f x( )x g x2, ( ) x 2

2

x

x

 



        

V y di n tích hình ph ng c n tính là

2

           

Ví d 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng cong y (x 1)lnx và

đ ng th ng y  x 1

+) Xét ph ng trình: (x-1)lnx = x-1  x = 1 ho c x = e

+ Di n tích c n tìm là:

2

( 1)(ln 1) ( 1)(ln 1) (ln 1) ( )

2

x

S x x dx  x x dx   x d  x 

2

2

1

1 1

e



2

4 5

4

e  e

 (đvdt)

Ví d 3: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b iy x , y3 4x

Gi i

Ph ng trình hoành đ giao đi m:x3 4x x 2 x 0 x 2

S x 4x dx x 4x dx

Ví d 4 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các

đ ngy x3 11x 6, y 6x 2

Gi i

h(x) 0 x 1 x 2 x 3

B ng xét d u

x 1 2 3 h(x) 0 + 0 ậ 0

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx

Ví d 5: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s 4 2

y  x x 

V i tr c hoành

Gi i

Tr c tung có ph ng trình x = 0

Xét ph ng trình 4 2 1

2

x

x

 



       

BXD:

x - -2 -1 1 2 +

4 2

   - + - + -

D a vào BXD ta có:

V y di n tích c n tính là





           

               

Ví d 6: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s 2

y x  x

Và đ ng th ng y  x 1

Gi i

t f x( )x2 3x2, ( )g x  x 1

3

x

x





        

Di n tích c n tính là

4

x

2 Bài t p tr c nghi m có l i gi i chi ti t

Dien tich hinh phang

Câu 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s x 1

y

x 2





 và các tr c

t a đ Ch n k t qu đúng:

A. 2 ln3 1

2  B. 5 ln3 1

2  C. 3ln3 1

2  D. 3ln5 1

2 

Câu 2: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i hai đ th hàm s

y    x 2x 1; y   2x  4x 1 

A. 5 B. 4 C. 8 D. 10

Câu 3: Tính di n tích S c a hình ph ng (H) đ c gi i h n b i các đ ng

 

2

y  x  2x  2 P và các ti p tuy n c a (P) đi qua đi m A 2; 2  

A. S  4 B. S  6 C. S 8  D. S  9

Câu 4: Tính di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i các đ ng x

x  0; y  e ; x  1

A. e 1  B. 1e 1

2  2 C. 3e 1

2  2 D. 2e 3 

Câu 5: Tính di n tích S hình ph ng đ c gi i h n b i đ th hai hàm s

2

2

   

A. S 64

3

3

Câu 6: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s 3

y  x  x và đ th

y  x  x

A. 1

4

Câu 7: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng th ng x  0, x  1, đ th

y  x  3x  1 và tr c hoành

A. 11

5

Câu 8: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i parabol 2

y   2 x và đ ng th ng y   x

b ng:

A. 9

4(đvdt) B. 9

2(đvdt) C. 9(đvdt) D. 18 (đvdt)

Câu 9: Di n tích hình ph ng (H) gi i h n b i hai parabol   2

P : y  x  3x và đ ng

th ng d : y  5x  3 là:

A. 32

3

Câu 10: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y  e 1 x và

 x 

y  e  1 x

A. e 1

2 

Câu 11: hình bên, ta có parabol 2

y  x  2x  2, ti p tuy n v i nó t i đi m M 3;5 

Di n tích ph n g ch chéo là:

A. 9 B. 10 C. 12 D. 15

Câu 12: Di n tích hình ph ng gi i h n b i 2

y   1 x và x   3 là:

A. 512

15 (đvtt) B. 32

3 (đvtt) C. 32

3

 (đvtt) D. 32

3

 (đvtt)

Câu 13: Tính di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i đ th hàm s 4 2

y  x  10x  9

và tr c hoành

A. 16 B. 32 C. 48 D. 64

Câu 14: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng th ng x   y 0 và đ th hàm

s 2

x  2x   y 0

A. 9

Câu 15: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s x2

y 4

4

  và đ th hàm s

2

x

y

4 2



A. 2   4 B. 2 4

3

3

3

Câu 16: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y  x; y   x 2; y  0

A. 3 B. 10 C. 10

10

Câu 17: Tính di n tích hình ph ng S gi i h n b i đ th hàm s 3

y    x 3x 2  và

đ th hàm s y    x 2

A. S 8  B. S  4 C. S 16  D. S  2

Câu 18: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  2x và đ th hàm s

y  x  x

A. 37

12

Câu 19:Xét đa th c P(x) có b ng xét d u trên đo n  1; 2 nh sau:

x -1 0 1

2

P(x) | - 0 - 0 +

|

G i S là di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  P x , tr c hoành và

các đ ng th ng x   1; x  2 Ch n kh ng đ nh đúng

A. 1   2  

S P x dx P x dx



S P x dx P x dx P x dx



C. 0   1   2  

S P x dx P x dx P x dx



S P x dx P x dx



  

Câu 20: (1) cho y 1  f x 1  và y 2  f 2 x là hai hàm s liên t c trên đo n  a; b Gi

s :

 và , v i a      b, là các nghi m c a ph ng trình f x 1  f 2 x  0 Khi đó

di n tích c a hình ph ng gi i h n b i 2 đ ng th ng và đ th đ c cho b i công

th c:

a





(2) C ng v i gi thi t nh (1), nh ng:

a

S f x f x dx f x f x dx f x f x dx





A.(1) đúng nh ng (2) sai B. (2) đúng nh ng (1) sai

C. C (1) và (2) đ u đúng D. C (1) và (2) đ u sai

Câu 21: Cho hàm s f(x) xác đ nh và đ ng bi n trên  0;1 và có f1 / 2 1, công

th c tính di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i các hàm s

     2

y  f x y  f x x  x  là:

A            

1

1 2

1 0

2

f x  f x dx  f x f x  dx

2

0

f x  f x dx



C 1       

2

0

f x  f x dx

1

1 2

1 0

2

f x  f x dx  f x f x  dx

Câu 22 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng cong   2

C y  x  x  và

 d : y   x 3

A 109

105

103

127

7

Câu 23: Tính diên tích hình ph ng gi i h n b i y  cos x và y  s inx;x  0; x  

Câu 24: Di n tích hình ph ng ph n bôi đen trong hình sau đ c tính theo công

th c

A ( ) ( )

S  f x dx   f x dx

c

a

c

a

S   f x dx

Câu 25: G i S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th 3

3

y  x  x ;y  x V y

S b ng bao nhiêu ?

Câu 26: Tính di n tích c a mi n ph ng b gi i h n b i các đ ng th ng:

2

y x 4x

y 2x

  







A S 50

3

 B S 51

3

 C S 52

3

 D S 53

3



Câu 27: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng th ng

y x.sin 2x

y 2x

x 2



 







 

 



A

2

 

 B

2

 

 C

2

4



4



Câu 28: Tính di n tích hình ph ng đ c gi i h n nh hình v :

y

4

0 x

- 2 2

A 28

3

Câu 29: Cho hình ph ng D đ c gi i h n b i y tan x; x 0; x   ; y 0 

di n tích hình ph ng gi i h n b i D, V là th tích v t tròn xoay khi quay D quanh

Ox Ch n m nh đ đúng trong các m nh đ sau:

A S ln 2, V 3

3



    



    

C S ln 3, V 3

3



    



    

Câu 30: Cho đ th hàm s y  f x  Di n tích hình ph ng ( ph n g ch chéo ) trong hình là?

A 3  

2

f x dx



B 2   3  

f x dx f x dx





C 0   0  

f x dx f x dx





D 0   3  

f x dx f x dx





Câu 31 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th

hàm s y  x4 5 x2 , tr 4 c hoành và hai đ ng th ng x  0; x  1

A 7

8

38

64

25

Câu 32: Cho (P) 2

1

y  x  và (d)y  mx  2 Tìm m đ di n tích hình ph ng gi i h n (P) và (d) đ t giá tr nh nh t ?

A 1

Câu 33 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s 3 2

y  x  x  x , tr c tung và ti p tuy n t i đi m có t a đ th a mãn y "  0 đ c tính b ng công th c nào sau đây ?

0

6 12 8

0

6 12 8

x  x  x  dx

0

6 10 5

0

6 10 5

x  x  x  dx

Câu 34 Di n tích hình ph ng gi i h n b i hai đ ng 2

1

y  x  và 2

y    x x  không đ c

tính b ng công th c nào sau đây ?

2

1

2



1



     

2

2

2 2 4



2 2

1

2 2 4



  

Câu 35: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th : 2

2

y  x  x và 2

y    x x k t

qu là:

A 10

3 B 9 C 9

8 D 12

Câu 36: Tính di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i đ ng cong

:

1

x

C f x

x

 



 và hai tr c t a đ

A 1 ln9

4

 B   1 2ln 2 C   1 ln 7 D 1 ln5

3

 

Câu 37 Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng 2

1

y  x   x và 4

1

y  x   x

là:

A 4

15 B 15

4 C 4,15 D C A, B và C đ u sai

Câu 38: Di n tích hình ph ng gi i h n b i hai đ th hàm s   3 2

f x  x  x  x  và

g x  x   x là

Câu 39: Di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i các đ th hàm s 2

y    x x  x  x  và

tr c Ox

A.8

2 3

4 3

L i gi i chi ti t

Ph ng trình hoành đ giao đi m x 1

x 2



    



0 1

Ph ng trình hoành đ giao đi m

x 2x 1 2x 4x 1 3x 6x 0 x 0

           ho c x  2

Di n tích c n tìm là:

S    x 2x 1   2x  4x 1 dx  3x  6x dx   3x  6x dx

2

2

0 0

Các ti p tuy n c a (P) đi qua A 2; 2   là:

y   2x  2; y  6x 14 

Các hoành đ giao đi m l n l t là 0,2,4

2 2

S x dx  x  4 dx  8

Áp d ng công th c tính di n tích hình ph ng ta có

1 x

0

S e dx   e 1

Ph ng trình hoành đ giao đi m

2 2

2

2

2 2

x

x 0

2



      



       



V y

2

4



 

     

 



Ph ng trình hoành đ giao đi m 3 2 x 0

x x x x

x 1





     



V y

1

3 2 HP

S x x dx

3 4 12



1

HP

0

11

5

    

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a parabol và đ ng th ng

2 x x x x 2 0

x 2

 



         



Ta có: 2     2 

2 x x dx 2 x x dx

       

2

1

            

V y S 9 9

  (đvdt)

Xét ph ng trình 2 2

x  3x  5x   3 x  2x 3      0 x 1 và x  3

G i S là di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol   2

P : y  x  3x và đ ng th ng

 d : y  5x 3  là:

S 5x 3 x 3x dx 3 2x x dx 3x x

V y S 32

3

 (đvdt)

Chú ý: tính 3  

2

1

5x   3 x  3x dx

 ta dúng MTCT đ nhanh h n

Ph ng trình hoành đ giao đi m:

x

x 1

e e

          

S  x e e  dx x e e  dx

T i đây s d ng công th c t ng ph n ho c b ng casio ta tìm đ c e

2

 

t   2

1

f x  x  2x  2 Ta có f ' x 1   2x  2, f ' 3 1   4 Ti p tuy n c a parabol đư cho

t i đi m M 3;5  có ph ng trình y 5   4 x 3    y 4x 7 

t f 2 x  4x 7  Di n tích ph i tìm là:

2

f x  f x dx  x  2x  2  4x  7 dx

3 3

2 2

0

x 3

3

  

        

y      1 x x 1 y , ph ng trình tung đ giao đi m 2 y 2

1 y 3

y 2

 



     



Do đó 2 2 

32

S 1 y 3 dy 4 y dy

3

       

Câu 13: áp án B

PTH G 4 2

x  10x         9 0 x 1 x 3

V y

3

1

S  x  10x  9 dx  32

PTH G : 2

2x  x       x x 0 x 3 Khi đó 3 2

HP 0

9

S 3x x dx

2

Ph ng trình hoành đ giao đi m:

 

2

2

x 16 l

4 4 2 x 8

  



 Khi đó 2 2 2 2

2 2



      

B c 1: chuy n sang x theo y: 2

y  x; y   x 2; y    0 x y ; x   y 2

L p ph ng trình n y: 2  

y     y 2 y 2; y   1 L

B c 2: 2 2  

10

S y y 2 dy y y 2 dy

3

       

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a đ th hai hàm s 3

y    x 3x 2  và y    x 2

là:

x 3x 2 x 2 x 4x 0

x 2





            



S x 4x dx x 4x dx x 4x dx

      

37

S x x 2x dx x x 2x dx

12



D a vào b ng xét d u:

Ta có di n tích hình ph ng 1   2   1   2  

S P x dx P x dx P x dx P x dx





Chú ý r ng v i m i x    ;   , f x 1  f 2 x  0 Vì f x 1  và f 2 x đ liên t c trên

kho ng   ;   , f x 1  f 2 x gi nguyên d u N u f x 1  f 2 x  0 thì ta có:

f x f x dx f x f x dx f x f x dx

N u f x 1  f 2 x  0 thì ta có:

f x f x dx f x f x dx f x f x dx

V y trong m i tr ng h p ta đ u có: f x 1  f 2 x dx f x 1  f 2 x dx

T ng t nh th đ i vs i 2 tích phân còn l i vì v y, hai công th c (1) và (2) là

nh nhau

Câu 21:

Công th c t ng quát ng v i

y  f x y  g x x  a x  b a  b

b

a

S  f x  g x dx

Do f x  đ ng bi n nên ta có:

2

f x    x f x    x

         

2

1

        

1

1 2

1 0

2

f x f x dx f x f x dx

V y đáp án đúng là D

L u ý: Cách phá d u tr tuy t đ i áp án A sai do bi u th c đ u ch a kh ng đ nh

đ c f x  0 nên không th vi t nh th đ c mà đáp án D m i đúng

Câu 22 áp án D

Ph ng trình hoành đ giao đi m: 2

x  x    x

 

2

2

;1 3;

0 1;3

x

x x

    





     



 

     



5

2

0

127

7

      

Câu 23: áp án A

Di n tích c n tính

4

4





Câu 24: áp án A

Câu 25: áp án C

Tr c tiên ta ph i tìm giao đi m c a hai đ th 3

3

y  x  x và y  x

Ph ng trình hoành đ giao đi m là